Induksi Matematika
Suatu rumus P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli, dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
- Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1
- Jika P(k) benar untuk n = k maka dibuktikan benar untuk n = k + 1.
Contoh 1.
Dengan menggunakan induksi matematika, buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:
$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2$
Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1
1 = $1^2$ (BENAR)
Langkah 2.
Untuk n = k maka $1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) = k^2$ (BENAR)
akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1 yaitu:
$1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) + [2.(k + 1) - 1]$ = $(k + 1)^2$
$\begin{align} k^2 + 2(k + 1) - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 2 - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 1 &= (k + 1)^2 \\ (k + 1)^2 &= (k + 1)^2 \end{align}$
Ruas kiri = Ruas kanan (terbukti)
Contoh 2.
Gunakan induksi matematika membuktikan bahwa:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$ (untuk n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$
Langkah 1
Untuk n = 1, maka
1.1! = (1 + 1)! - 1
1 = 2 - 1
1 = 1 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k maka:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ = $(k+1)!-1$ (BENAR)
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ + $(k + 1)(k + 1)!$ = $[(k+1) + 1]!-1$
$(k + 1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$ = $(k+2)! - 1$
$(k + 1)! + (k+1)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$[1 + (k + 1)](k+1)! - 1$ = $(k+ 2)! -1$
$(k+2)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$(k+2)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).
Contoh 3.
Gunakan induksi matematika membuktikan bahwa:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
(n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Langkah 1
Untuk n = 1 maka:
1.2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
2 = 2 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k, maka:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1)$ = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ (BENAR).
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + $k.(k+1)$ + $(k+1)[(k+1) + 1]$ = $\frac{(k + 1)[(k+1)+1][(k+1) + 2]}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + (k+1)(k+2) = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + $\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{(k+1)(k+2)(k + 3)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).
Contoh 4.
Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
P(n) = n(n+1)(n+5) adalah kelipatan 3 untuk n bilangan asli.
Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
P(1) = 1(1+1)(1+5) = 12 (kelipatan 3), BENAR.
Langkah 2.
Untuk n = k, maka:
$P(k) = k(k+1)(k+5)$ = $k^3 + 6k^2 + 5k$ adalah kelipatan 3.
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3 yaitu:
$P(k + 1)$ = $(k+1)[(k+1) + 1][(k+1) +5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $(k^2 + 3k + 2)(k+6)$
= $k^3 + 6k^2 + 3k^2 + 18k + 2k + 12$
= $k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
= $(k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
= $k(k^2 + 6k + 5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
= $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
karena $k(k+1)(k+5)$ adalah kelipatan 3 menurut hipotesis dan $3(k^2 + 5k + 4)$ juga merupakan kelipatan 3, akibatnya $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$ adalah kelipatan 3.
Terbukti bahwa P(k + 1) kelipatan 3.
Jadi, P(n) = n(n+1)(n+5) adalah kelipatan 3 terbukti.
mohon ditambahkan pula yang berbentuk ketidaksamaan.
ReplyDelete