Induksi Matematika

Pengertian induksi adalah membuat pernyataan umum dari hasil sejumlah pernyataan khusus yang tersedia. Dalam matematika ada beberapa cara untuk membuktikan suatu rumus, salah satunya adalah dengan induksi matematika. kegunaan induksi matematika adalah untuk membuktikan rumus yang berlaku untuk semua bilangan asli.
Suatu rumus P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli, dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n = 1
2. Jika P(k) benar untuk n = k maka dibuktikan benar untuk n = k + 1.

---

Contoh 1.
Dengan menggunakan induksi matematika, buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:
$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2$
Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1
1 = $1^2$ (BENAR)
Langkah 2.
Untuk n = k maka $1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) = k^2$ (BENAR)
akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1 yaitu:
$1 + 3 + 5 + ... + (2.k - 1) + [2.(k + 1) - 1]$ = $(k + 1)^2$
$\begin{align} k^2 + 2(k + 1) - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 2 - 1 &= (k + 1)^2 \\ k^2 + 2k + 1 &= (k + 1)^2 \\ (k + 1)^2 &= (k + 1)^2 \end{align}$
Ruas kiri = Ruas kanan (terbukti)

---

Contoh 2.
Gunakan induksi matematika membuktikan bahwa:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$ (untuk n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!$ = $(n+1)!-1$
Langkah 1
Untuk n = 1, maka
1.1! = (1 + 1)! - 1
1 = 2 - 1
1 = 1 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k maka:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ = $(k+1)!-1$ (BENAR)
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
$1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k!$ + $(k + 1)(k + 1)!$ = $[(k+1) + 1]!-1$
$(k + 1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$ = $(k+2)! - 1$
$(k + 1)! + (k+1)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$[1 + (k + 1)](k+1)! - 1$ = $(k+ 2)! -1$
$(k+2)(k+1)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
$(k+2)! - 1$ = $(k+2)! - 1$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).

---

Contoh 3.
Gunakan induksi matematika membuktikan bahwa:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
(n bilangan asli).
Pembuktian:
Misalkan:
$P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)$ = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Langkah 1
Untuk n = 1 maka:
1.2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
2 = 2 (BENAR)
Langkah 2
Untuk n = k, maka:
$1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1)$ = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ (BENAR).
Akan dibuktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1 yaitu:
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + $k.(k+1)$ + $(k+1)[(k+1) + 1]$ = $\frac{(k + 1)[(k+1)+1][(k+1) + 2]}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + (k+1)(k+2) = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + $\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$\frac{(k+1)(k+2)(k + 3)}{3}$ = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
ruas kiri = ruas kanan (terbukti).

---

Contoh 4.
Dengan induksi matematika buktikan bahwa:
P(n) = n(n+1)(n+5) adalah kelipatan 3 untuk n bilangan asli.
Pembuktian:
Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
P(1) = 1(1+1)(1+5) = 12 (kelipatan 3), BENAR.
Langkah 2.
Untuk n = k, maka:
$P(k) = k(k+1)(k+5)$ = $k^3 + 6k^2 + 5k$ adalah kelipatan 3.
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3 yaitu:
$P(k + 1)$ = $(k+1)[(k+1) + 1][(k+1) +5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $(k^2 + 3k + 2)(k+6)$
= $k^3 + 6k^2 + 3k^2 + 18k + 2k + 12$
= $k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
= $(k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
= $k(k^2 + 6k + 5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
= $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
karena $k(k+1)(k+5)$ adalah kelipatan 3 menurut hipotesis dan $3(k^2 + 5k + 4)$ juga merupakan kelipatan 3, akibatnya $k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$ adalah kelipatan 3.
Terbukti bahwa P(k + 1) kelipatan 3.
Jadi, P(n) = n(n+1)(n+5) adalah kelipatan 3 terbukti.

---

Semoga postingan: Induksi Matematika ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :