Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil dalam Integral

Fungsi Genap adalah fungsi yang memenuhi $f(-x)=f(x)$, sedangkan Fungsi Ganjil adalah fungsi yang memenuhi $f(-x)=-f(x)$. Grafik $f(-x)$ simetri terhadap sumbu-$y$; grafik $-f(x)$ simetri terhadap titik asal.

Contoh:
1. Fungsi $f(x)=\cos x$ adalah fungsi genap,
Bukti:
$\begin{array}{rl}f(x)& =cosx\\ f(-x)& =cos(-x)\\ f(-x)& =cosx\\ f(-x)& =f(x)\end{array}$
2. Fungsi $f(x)=sinx$ adalah fungsi ganjil.
Bukti:
$\begin{array}{rl}f(x)& =sinx\\ f(-x)& =sin(-x)\\ f(-x)& =-sinx\\ f(-x)& =-f(x)\end{array}$

Berikut adalah teorema integrasi yang bermanfaat untuk fungsi yang demikian.
Teorema Simetri

• Jika $f(x)$ adalah fungsi genap, maka ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$
• Jika $f(x)$ adalah fungsi ganjil, maka ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

Contoh Soal:
SBMPTN 2017 Kode 168 No. 9/Kode 140 No. 9/Kode 106 No. 9/Kode 138 No.9
Jika ${\int }_{-4}^{4}f(x)(sinx+1)dx=8$ dengan f(x) fungsi genap dan ${\int }_{-2}^{4}f(x)dx=4$ maka ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=...$
Pembahasan:
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $sinx$ fungsi ganjil maka $f(x).sinx$ merupakan fungsi ganjil, sehingga ${\int }_{-4}^{4}f(x).sinxdx=0$ dan karena $f(x)$ fungsi genap maka ${\int }_{-4}^{4}f(x)dx=2{\int }_0^{4}f(x)dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{array}{rl}{\int }_{-4}^{4}f(x)(sinx+1)dx& =8\\ {\int }_{-4}^{4}f(x)sinxdx+{\int }_{-4}^{4}f(x)dx& =8\\ 0+2.{\int }_0^{4}f(x)dx& =8\\ {\int }_0^{4}f(x)dx& =4\end{array}$
Maka:
$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{4}f(x)dx& =4\\ {\int }_{-2}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{4}f(x)dx& =4\\ {\int }_{-2}^{0}f(x)dx+4& =4\\ {\int }_{-2}^{0}f(x)dx& =0\end{array}$

by: Catatan Matematika

Share :

You may like these posts :

• 
  Jurusan Tiga Angka
• 
  Masalah Fungsi Turunan
• 
  Cara Menentukan Besar Sudut Yang Dibentuk Jarum Jam
• 
  Mengapa Orang Belajar Matematika?
• 
  Penerapan Trigonometri (Matematika Peminatan) dalam Kehidupan Sehari-hari
• 
  Pernyataan Majemuk (Logika Matematika)
• 
  Alat Peraga Matematika
• 
  Cinta dan Logika Matematika