Pembahasan Matematika Olimpiade Guru SMA 2018 LOSPI (Part-1)

Bapak/Ibu guru, rekan-rekan seperjuangan di dalam dunia pendidikan, kali ini catatanmatematika.com share Pembahasan Matematika Guru SMA Olimpiade Sains Plus 2018 untuk guru. Adapun pembahasan berdasarkan hasil pemikiran penulis dan ini masih jauh dari kata "SEMPURNA". Untuk itu saya berharap untuk jika Bapak/Ibu guru mendapati ada pembahasan yang kurang tepat, saya berharap kiranya bapak/ibu berkenan memberi saran dan pendapatnya di kolom komentar di bawah postingan ini. Tujuan saya share ini, karena Berbagi Itu Indah.

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 1
Digit terakhir dari $(2002)^{2002}$ adalah ....
A. 8    B. 4    C. 2    D. 1    E. 0
Pembahasan:
Karena yang ditanya digit terakhir, cukup kita pandang $2002^{2002}$ sebagai $2^{2002}$.
$2^1$ = 2, maka digit terakhir 2
$2^2$ = 4, maka digit terakhir 4
$2^3$ = 8, maka digit terakhir 8
$2^4$ = 16, maka digit terakhir 6
$2^5 = 2^{4 + 1}$ = 32, maka digit terakhir 2
$2^6 = 2^{4 + 2}$ = 64, maka digit terakhir 4
$2^7 = 2^{4 + 3}$ = 128, maka digit terakhir 8
$2^8 = 2^{4.4}$ = 256, maka digit terakhir 6
Dari sampel di atas terlihat pola yang berulang, sehingga:
$2^{(4k + 1)}$, maka digit terakhirnya 2
$2^{(4k + 2)}$, maka digit terakhirnya 4
$2^{(4k + 3)}$, maka digit terakhirnya 8
$2^{4k}$, maka digit terakhirnya 6
Kembali ke soal:
$2^{2.002} = 2^{4.(500) + 2}$, maka digit terakhirnya 4.
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru  No. 2
Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah tiga bilangan bulat positif berbeda yang memenuhi $abc$ = 16. Nilai terbesar yang memenuhi dari $a^b - b^c + c^a$ adalah ...
A. 263   B. 253   C. 249   D. 200   E. 63
Pembahasan:
$a.b.c = 16$; a, b, c bilangan bulat positif berbeda
Kemungkinan-kemungkinannya adalah:
$a.b.c = 1.2.8$ maka $a^b - b^c + c^a = 1^2 - 2^8 + 8^1 = -247$
$a.b.c = 1.8.2$ maka $a^b - b^c + c^a = 1^8 - 8^2 + 2^1 = -61$
$a.b.c = 2.1.8$ maka $a^b - b^c + c^a = 2^1 - 1^8 + 8^2 = 65$
$a.b.c = 2.8.1$ maka $a^b - b^c + c^a = 2^8 - 8^1 + 1^2 = 249$
$a.b.c = 8.2.1$ maka $a^b - b^c + c^a = 8^2 - 2^1 + 1^8 = 63$
$a.b.c = 8.1.2$ maka $a^b - b^c + c^a = 8^1 - 1^2 + 2^8 = 263$
Jadi, nilai terbesar adalah 263.
Kunci: A

Untuk menjawab soal No.3 dan No.4 menggunakan rumus suku ke-n barisan bertingkat. Baca:
Barisan dan Deret Bilangan Bertingkat

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 3
Empat bilangan pertama dari barisan 3, 5, 9, 15, 23, .... Suku ke-16 barisan tersebut adalah ....
A. 235   B. 239   C. 243   D. 245   E. 249
Pembahasan:
3,     5,     9,    15,    23, ....
   +2    +4    + 6    +8
         +2    +2    + 2
$a = 3$
$a_1 = 2$
$a_2 = 2$ 
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2\\
&= 3 + (n-1).2 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.2\\
&= 3 + 2n - 2 + n^2 - 3n + 2\\
U_n &= n^2 - n + 3 \\
U_{16} &= 16^2 - n + 3 \\
&= 243
\end{align*}$
Kunci: C

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 4
Empat bilangan pertama dari barisan segitiga 1, 3, 6, 10, .... Bilangan ke-10 dari barisan segitiga tersebut adalah ....
A. 45    B. 55    C. 66    D. 70    E. 78
Pembahasan:
1,     3,     6,    10,  ....
   +2    +3    + 4 
         +1    +1 
$a = 1$
$a_1 = 2$
$a_2 = 1$ 
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2\\
&= 1 + (n-1).2 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.1\\
&= 1+ 2n - 2 + \frac{n^2 - 3n + 2}{2}\\
&= \frac{1}{2}.(n^2 + n) \\
U_n &= \frac{n(n+1)}{2} \\
U_{10} &= \frac{10(10+1)}{2} \\
&= 55
\end{align*}$
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 5
Dua puluh empat anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, maka banyak anak yang harus ditambah adalah ... orang.
A. 5    B. 6    C. 7   D. 9    E. 11
Pembahasan:
$banyak \ pekerja \times waktu = total \ pekerjaan$
$24 \times 90 = 2160$
Bekerja 46 jam, maka:
$pekerjaan \ yang \ selesai = 24 \times 46 = 1104$
Karena istirahat 12 jam, maka sisa pekerjaan = 2160 - 1104 = 1056,
dan waktu yang tersisa = 90 - 46 - 12 = 32 jam. Akibatnya, perlu tambahan $x$ pekerja.
$\begin{align*} 32 \times (24 + x) &= 1056\\
24 + x &= 33\\
x &= 9\end{align*}$
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 6
Suatu angkutan kota mempunyai aturan pembayaran sebagai berikut: Pada saat naik setiap penumpang harus membayar Rp. 600, setelah 4 km pertama harus membayar Rp. 1.400, dan setiap menempuh 2 km berikutnya harus membayar Rp. 150, dan membayar Rp. 100 setelah 1 km. Budi menaiki angkutan kota tersebut sejauh 21 km. Berapakah minimal uang yang harus dibayar Budi untuk jasa angkutan kota itu?
A. Rp. 2.500
B. Rp. 2.700
C. Rp. 3.000
D. Rp. 3.300
E. Rp. 3.500
Pembahasan:
1 - 4 km bayar Rp. 600
4 km bayar Rp. 1.400
sisa perjalanan = 21 - 4 = 17 km
17 km = 2 km x 8 + 1 km, bayar = 150 x 8 + 100 = Rp. 1.300
Total = 600 + 1.400 + 1.300 = Rp. 3.300
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 7
Diketahui $-2 \le x \le 5$, $-3 \le y \le 5$, $4 \le z \le 8$, dan $w = xy - z$. Berapakah nilai terkecil dari $w$ yang memenuhi?
A. -23   B. 23   C. 24   D. -24   E. 20
Pembahasan:
agar $w = xy - z$ maka $xy$ harus minimum dan $z$ harus maksimum.
karena $4 \le z \le 8$, maka kita ambil $z = 8$.
karena $-2 \le x \le 5$, $-3 \le y \le 5$, $4 \le z \le 8$, agar $xy$ minimum maka kita ambil $x = 5$ dan $y = -3$
maka $w = xy - z \leftrightarrow w = 5.(-3) - 8 \leftrightarrow w = -23$
Kunci: A


Soal Lospi Olimpiade Guru No. 8
Misalkan titik A terletak pada garis $l$, yaitu $y = 5x + 3$. Koordinat titik B adalah (-3, -2). Bila titik T berada di tengah-tengah AB sehingga AB tegak lurus dengan garis $l$, tentukan persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui T.
A. $y = 5x + 7$
B. $y = x + 5$
C. $y = 4x + 2$
D. $y = 3x + 7$
E. $y = 2x + 6$
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut:

dari ilustrasi gambar jelas bahwa garis T (garis k) sejajar dengan garis y = 5x + 3, dan gradien dua buah garis sejajar adalah sama, maka dengan melirik opsi jawaban, jelas yang memenuhi hanya opsi A.

Kunci: A

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 9
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ... hari.
A. 3    B. 4    C. 5    D. 6    E. 7
Pembahasan:
dari persoalan di atas maka diperoleh:
$V_{makan \ kambing}$ = 1 lapangan bola per 7 hari$
Nah, terdapat 3 ekor kambing dan rumput 3 ukuran lapangan bola, maka masing-masing kambing memakan rumput 1 lapangan bola, maka 3 ekor kambing dapat menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola sebanyak 7 hari.
Kunci: C

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 10
Tentukan banyaknya digit (angka) pada bilangan $2^{2.004}.5^{2.003}$ adalah ...
A. 2003 buah
B. 2005 buah
C. 2006 buah
D. 2004 buah
E. 2007 buah
Pembahasan:
$\begin{align*} 2^{2.004}.5^{2.003} &= 2.2^{2.003}.5^{2.003} \\
&= 2.(2.5)^{2.003} \\
&= 2.10^{2.003} \\
&= 2 \times 10000....0000 \ dengan \ 0 \ sebanyak \ 2.003 \ buah \\
&= 200000....0000 \ dengan \ 0 \ sebanyak \ 2.003 \ buah \\
\end{align*}$
maka digit (angka) seluruhnya adalah 2004 buah.
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 11
Tentukan semua nilai $n$, sehingga $n$ dan $\frac{n+3}{n-1}$ keduanya merupakan bilangan bulat.
A. -1, -2, -4, 0, 1, dan 2
B. -5, -3, -2, 0, dan 3
C. -5, -4, -3, 1 dan 3
D. -1, -2, 0, 1, 2, dan 4
E. -5, -3, -2, 0, 1, dan 3
Pembahasan:
$\frac{n+3}{n-1} = \frac{(n - 1) + 4}{n-1}$
$\frac{n+3}{n-1} = 1 + \frac{4}{n-1}$
agar $\frac{n+3}{n-1}$ bilangan bulat maka $\frac{4}{n - 1}$ juga harus bilangan bulat, maka $n-1$ adalah faktor dari 4, dengan kata lain $n - 1$ adalah elemen dari {-4, -2, -1, 1, 2, 4}.
kita peroleh:
$n - 1 = -4 \leftrightarrow n = -3$
$n - 1 = -2 \leftrightarrow n = -1$
$n - 1 = -1 \leftrightarrow n = 0$
$n - 1 = 1 \leftrightarrow n = 2$
$n - 1 = 2 \leftrightarrow n = 3$
$n - 1 = 4 \leftrightarrow n = 5$
n = {-3, -1, 0, 2, 3, 5}
Kunci: Tidak ada opsi

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 12
Misalkan $N = \frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + ... + \frac{11}{10^{11}}$ dalam bentuk desimal. Carilah nilai N.
A. N = 0,12345679011
B. N = 0,12356679011
C. N = 0,123456788911
D. N = 0,12456790011
E. N = 0,12556789011
Pembahasan:
$\begin{align*} \frac{1}{10} &= 0,1 \\
\frac{2}{10^2} &= 0,02 \\
\frac{3}{10^3} &= 0,003 \\
\frac{4}{10^4} &= 0,0004 \\
\frac{5}{10^5} &= 0,00005 \\
\frac{6}{10^6} &= 0,000006 \\
\frac{7}{10^7} &= 0,0000007 \\
\frac{8}{10^8} &= 0,00000008 \\
\frac{9}{10^9} &= 0,000000009 \\
\frac{10}{10^{10}} &= 0,00000000010 \\
\frac{11}{10^{11}} &= 0,000000000011 \\
\frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + ... + \frac{11}{10^{11}} &= 0,12345679011
\end{align*}$
Kunci: A

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 13
Sisa pembagian dari $2^{13}$ dengan 13 adalah ...
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4    E. 5
Pembahasan:
$2^13$ modulo 13
$2^4.2^4.2^4.2$ modulo 13
$3 \times 3 \times 3 \times 2$ modulo 13
54 modulo 13
(4.13 + 2) modulo 13
2 modulo 13
Jadi sisa pembagian $2^13$ dengan 13 adalah 2
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 14
Diketahui $x$ dan $y$ dua bilangan positif dan rata-rata dari 4, 20, dan $x$ sama dengan rata-rata $y$ dan 16. Berapakah rasio $x$ : $y$
A. 1:2    B. 2:4    C. 2:3    D. 3:4  E. 3:2
Pembahasan:
$\begin{align*} \frac{4 + 20 + x}{3} &= \frac{y+16}{2} \\
\frac{x+24}{3} &= \frac{y + 16}{2} \\
2x + 48 &= 3y + 48 \\
2x &= 3y \\
\frac{x}{y} &= \frac{3}{2} \\
x : y &= 3 : 2
\end{align*}$
Kunci: E

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 15
Suatu keluarga mempunyai 4 orang anak, anak termuda berumur setengah dari anak tertua, anak kedua 3 tahun lebih tua dari anak termuda, dan anak ketiga 5 tahun lebih mudah daripada anak tertua. Bila rata-rata umur mereka 16 tahun, maka umur anak tertua adalah ... tahun.
A. 16    B. 18    C. 20    D. 22    E. 24
Pembahasan:
Misal keempat anak itu dari tertua hingga termuda adalah: a, b, c, d, maka:
a = 2d
b = d + 3
c = a - 5
c = 2d - 5
$\frac{a + b + c + d}{4} = 16$
a + b + c + d = 64
2d + (d + 3) + (2d - 5) + d = 64
6d = 66
d = 11
a = 2d = 22
Kunci: D
Semoga bermanfaat bagi kita semua!
Motto: Berbagi Itu Indah
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Olimpiade Guru SMA 2018 LOSPI (No. 16 - 30)

Semoga postingan: Pembahasan Matematika Olimpiade Guru SMA 2018 LOSPI (Part-1) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :