Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2017 Kode 106
Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2017 Kode 106. Semoga dengan adanya pembahasan ini adik-adik dan teman-teman sekalian bisa berlatih menjawab soal-soal SBMPTN dengan lebih semangat. Belajar dan berlatihlah dengan semangat demi menuju masa depan yang lebih cerah. Ingat jangan lengah pesaing anda juga sedang belajar... hehehehe. Jika ada sesuatu yang kurang jelas... boleh kita saling berbagi di kolom komentar. Dan jika suka... tidaklah rugi memberikan like, betul gak...? Oh iya... jika ingin file pdfnya silahkan download di akhir postingan.
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 1
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{a+2b}+\frac{1}{a-2b}=2 \\ \frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1 \\ \end{matrix} \right.$ maka $a-b^2$ = ….
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 9
Pembahasan:
$\frac{9}{a+2b}+\frac{1}{a-2b}=2$
$\frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1$
-------------------------------(-)
$\frac{3}{a-2b}=3$
$a-2b=1 \rightarrow a=2b+1$
Substitusi ke:
$\frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1$
$\frac{9}{2b+1+2b}-\frac{2}{2b+1-2b}=-1$
$\frac{9}{4b+1}-2=-1$
$\frac{9}{4b+1}=1$
$4b+1=9$
$4b=8$
$b=2$
$a=2b+1$
$a=2.2+1=5$
$a-b^2=5-2^2=1$
Kunci: A
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ….
A. $2\left( \sqrt[10]{2}-1 \right)$
B. $2\left( \sqrt[5]{2}-1 \right)$
C. $2\left( \sqrt{2} \right)$
D. $2\left( \sqrt[5]{2} \right)$
E. $2\left( \sqrt[10]{2} \right)$
Pembahasan:
Missal, $M_0=x$, $M_n=2x$ dan $i$ = persentase bunga per semester. Periode = 5 tahun = 5 x 2 semester maka $n=10$.
$M_n=M_0(1+i)^n$
$\begin{align} 2x & =x(1+i)^{10} \\ 2 & =(1+i)^{10} \\ \sqrt[10]{2} & =1+i \\ \sqrt[10]{2}-1 & =i \\ \end{align}$
Tingkat suku bungan per tahun adalah:
= 2i
= $2(\sqrt[10]{2}-1)$
Kunci: A
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 3
Himpunan penyelesaian dari $\frac{x}{x+{{x}^{2}}}\ge -\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}}$ adalah … A. $\{x|-\frac{1}{2}\le x < 0\text{ atau }0 < x\le \frac{1}{2}\}$
B. $\{x|-\frac{1}{2} < x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
C. $\{x|-\frac{1}{2}\le x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
D. $\{x|-1 < x < 0\text{ atau }0 < x \le \frac{1}{2}\}$
E. $\{x|-1 < x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
Pembahasan:
$\begin{align} \frac{x}{x+{{x}^{2}}}& \ge -\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}} \\ \frac{x}{x+{{x}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}} &\ge 0 \\ \frac{x}{x(1+x)}+\frac{{{x}^{2}}}{x(1-x)}&\ge 0 \\ \frac{x(1-x)+{{x}^{2}}(1+x)}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{3}})}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x+{{x}^{3}}}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x({{x}^{2}}+1)}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \end{align}$
$x\ne -1,x \ne 0,x\ne 1$
$\{x|-1< x < 0 \text{ atau }0 < x < 1\}$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 4
Diketahui vector $\vec{a},\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ adalah vector di bidang kartesius dengan $\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}$ dan sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{w}$ adalah $60^o$. Jika $\vec{a} = 4\vec{v}$ dan $\vec{a}.\vec{u} = 0$ maka …A. ||u||=2||v||
B. ||v||=2||w||
C. ||v||=2||u||
D. ||w||=2||v||
E. ||w||=2||u||
Pembahasan:
$\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}$ (kali kedua ruas dengan 4)
$4\vec{v}=4\vec{w}-4\vec{u}$ ; diketahui $\vec{a} = 4\vec{v}$, maka:
$\vec{a}=4\vec{w}-4\vec{u}$; (kali kedua ruas dengan $\vec{u}$)
$\vec{a}.\vec{u}=4\vec{u}.\vec{w}-4.\vec{u}.\vec{u}$; diketahui $\vec{a}.\vec{u} = 0$, maka:
$0=4\vec{u}.\vec{w}-4|\vec{u}{{|}^{2}}$
$4|\vec{u}{{|}^{2}}=4\vec{u}.\vec{w}$
$|\vec{u}{{|}^{2}}=\vec{u}.\vec{w}$; diketahui $\angle (\vec{u},\vec{w})={{60}^{o}}$ , maka:
$|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|\cos {{60}^{o}}$
$|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|.\frac{1}{2}$
$2|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|$
$2|\vec{u}|=|\vec{w}|$
$|\vec{w}|=2|\vec{u}|$
Kunci: E
Diketahui persamaan $\sec \theta \left( \sec \theta {{(\sin \theta )}^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$. Jika ${{\theta }_{1}}$ dan ${{\theta }_{2}}$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $\tan {{\theta }_{1}}.\tan {{\theta }_{2}}$ = …
A. -1 B. -0,5 C. 0 D. 0,5 E. 1
Pembahasan:
$\sec \theta \left( \sec \theta {{(\sin \theta )}^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$
$\frac{1}{\cos \theta }\left( \frac{1}{\cos \theta }.{{\sin }^{2}}\theta +\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$
$\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }+\frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=1$
${{\tan }^{2}}\theta +\frac{2}{3}\sqrt{3}.tan\theta =1$
$3{{\tan }^{2}}\theta +2\sqrt{3}.tan\theta -3=0$
$a=3,b=2\sqrt{3},c=-3$
$tan{{\theta }_{1}}.\tan {{\theta }_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{3}=-1$
Kunci: A
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^2-x^2+16y+6x+3=0$ adalah …
A. $x+2y+5=0$
B. $x-2y+1=0$
C. $x-2y+7=0$
D. $x+2y+1=0$
E. $x+2y-1=0$
Pembahasan:
$4y^2-x^2+16y+6x+3=0$
$4{{y}^{2}}+16y-{{x}^{2}}+6x+3=0$
$4({{y}^{2}}+4y)-({{x}^{2}}-6x)+3=0$
$4\left[ {{(y+2)}^{2}}-4 \right]-\left[ {{(x-3)}^{2}}-9 \right]+3=0$
$4{{(y+2)}^{2}}-16-{{(x-3)}^{2}}+9+3=0$
$4{{(y+2)}^{2}}-{{(x-3)}^{2}}=4$
$\frac{{{(y+2)}^{2}}}{{{1}^{2}}}-\frac{{{(x-3)}^{2}}}{{{2}^{2}}}=1$
$\frac{{{(y-q)}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{(x-p)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
a = 1, b = 2, q = -2, p = 3
Asimtotnya:
$y-q=\pm \frac{a}{b}(x-p)$
$y+2=\pm \frac{1}{2}(x-3)$
(1)
$y+2=\frac{1}{2}(x-3)$$y+2=-\frac{1}{2}(x-3)$
$2y+4=x-3\Leftrightarrow x-2y-7=0$
(2)
$y+2=-\frac{1}{2}(x-3)$
$2y+4=-x+3\Leftrightarrow x+2y+1=0$
Kunci: D
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 7
Misalkan $f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)$ = …
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 E. 4
Pembahasan:
$f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$
$f(2)={{3.2}^{3}}-{{9.2}^{2}}+8b+18=(2-2)g(2)+2b$
$24-36+8b+18=2b\Leftrightarrow b=-1$
$f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$
$f(-2)=3{{(-2)}^{3}}-9{{(-2)}^{2}}+4(-1)(-2)+18=(-2-2)g(-2)+2(-1)$
$-24-36+8+18=-4.g(-2)-2$
$-32=-4.g(-2)$
$8=g(-2)$
Kunci: C
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 8
A. $18\pi+18$
B. $18\pi-18$
C. $14\pi+14$
D. $14\pi-15$
E. $10\pi+10$
Pembahasan:
Q adalah titik pusat lingkaran berjari-jari $3\sqrt2$
PB = PA = 6 = R
QP = QA = QB = $3\sqrt2$ = r
AB = diameter lingkaran kecil = $6\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga APB, ukurannya AP = 6, BP = 6, dan AB = $6\sqrt{2}$, jelas bahwa segitiga APB adalah segitiga siku-siku di titik P.
Luas tembereng lingkaran besar = $\frac{1}{4}$ x Luas lingkaran besar – Luas segitiga APB.
Luas arsiran $=\frac{1}{2}$ x Luas lingkaran kecil + Luas tembereng lingkaran besar.
$=\frac{1}{2}\times \pi {{r}^{2}}+[\frac{1}{4}\times \pi {{R}^{2}}-\frac{1}{2}\times AP\times BP]$
$=\frac{1}{2}\times \pi {{(3\sqrt{2})}^{2}}+[\frac{1}{4}\times \pi {{.6}^{2}}-\frac{1}{2}\times 6\times 6]$
$=9\pi +9\pi -18$
$=18\pi -18$
Kunci: B
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 9
Jika $\int\limits_{-4}^{4}{f(x)(\sin x+1)dx}=8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int\limits_{-2}^{4}{f(x)dx}=4$ , maka $\int\limits_{-2}^{0}{f(x)dx}$ = … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Pembahasan:
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x).\sin x$ merupakan fungsi ganjil, sehingga $\int_{-4}^4 f(x).\sin x \ dx=0$ dan karena $f(x)$ fungsi genap maka $\int_{-4}^{4} f(x) \ dx = 2\int_{0}^{4} f(x) \ dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1) \ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x) \sin x \ dx + \int_{-4}^4 f(x) \ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \end{align}$
Maka:
$\begin{align}\int_{-2}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + 0 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx &= 4 \end{align}$
Kunci: E
$\begin{align}\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1) \ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x) \sin x \ dx + \int_{-4}^4 f(x) \ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \end{align}$
Maka:
$\begin{align}\int_{-2}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + 0 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx &= 4 \end{align}$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 10
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sec x+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$ = … A. $-\frac{1}{8}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. 0
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sec x+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{\cos x}+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{\cos }^{2}}x-2\cos x}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(\cos x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(-2.si{{n}^{2}}\frac{1}{2}x)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x}$
$={{\left( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2.si{{n}^{2}}\frac{1}{2}x}{x.\sin x} \right)}^{2}}.1$
$={{\left( -2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \right)}^{2}}.1$
$=\frac{1}{4}$
Kunci: D
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 11
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{3}}}$ = … A. tidak ada limitnya
B. 0
C. 1
D. $-\infty $
E. $\infty $
Pembahasan:
Misal: $y = \frac{1}{x}$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{3}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{y}^{4}}}\sin y+\frac{1}{{{y}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{y}^{3}}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{{{y}^{4}}}}{\frac{{{y}^{3}}+1}{{{y}^{3}}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{y({{y}^{3}}+1)}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{y}.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{y}^{3}}+1}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y}{y}.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,y.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{y}^{3}}+1}$
$=1.0.1$
$=0$
Kunci: B
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 12
Diberikan dua fungsi rasional $y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ dan $y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ , $a > 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $a$ = … A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7
Pembahasan:
$y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ maka asimtot datar: $y = 3$
$y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ maka asimtot datar: $y = \frac{a}{b}$
Jarak kedua asimtot datar = 4
$\left| \frac{a}{b}-3 \right|=4$
$y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ maka asimtot tegak $x^2-5x+4=0 \leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$, jadi asimtot tegaknya $x=1$ atau $x=4$
$y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ maka asimtot tegak $bx^2+2x-3=0$
Karena salah satu asimtot tegaknya sama maka:
1) $bx^2+2x-3$ habis dibagi $(x-1)$ diperoleh $b=1$
2) $bx^2+2x-3$ habis dibagi $(x-4)$ diperoleh $b=\frac{-5}{16}$
Pilih $b=1$, maka:
$\left| \frac{a}{b}-3 \right|=4$
$\left| \frac{a}{1}-3 \right|=4$
$\left| a-3 \right|=4$
$a-3=-4 \rightarrow a = -1$
$a-3=4 \rightarrow a = 7$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 13
Misalkan $f(x)=\sin (\sin ^{2}x)$ , maka $f'(x)$ = …
A. $2\sin x. \cos (\sin ^{2}x)$
B. $2\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
C. $\sin ^{2}x. \cos (\sin ^{2}x)$
D. $\sin ^{2}2x. \cos (\sin ^{2}x)$
E. $\sin 2x. \cos (sin^{2}x)$
Pembahasan:
$y=\sin (\sin ^{2}x)$
Misal: $u = \sin ^2x \leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2\sin x \cos x$.
$y = \sin u \leftrightarrow \frac{dy}{du} = \cos u$
$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$
$=\cos u.2\sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x).2 \sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x). \sin 2x$
$=\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
Kunci: E
Misalkan $f(x)=\sin (\sin ^{2}x)$ , maka $f'(x)$ = …
A. $2\sin x. \cos (\sin ^{2}x)$
B. $2\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
C. $\sin ^{2}x. \cos (\sin ^{2}x)$
D. $\sin ^{2}2x. \cos (\sin ^{2}x)$
E. $\sin 2x. \cos (sin^{2}x)$
Pembahasan:
$y=\sin (\sin ^{2}x)$
Misal: $u = \sin ^2x \leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2\sin x \cos x$.
$y = \sin u \leftrightarrow \frac{dy}{du} = \cos u$
$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$
$=\cos u.2\sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x).2 \sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x). \sin 2x$
$=\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 14
Garis singgung dari $f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}\cos x}$ dititik $x = \pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah … A. $-\frac{1}{4}\pi $
B. $-\frac{1}{2}\pi $
C. $-\pi$
D. $\frac{1}{4}\pi$
E. $\pi$
Pembahasan:
Perhatikan “memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$”, berarti substitusi $x = \pi$ dan $y=0$, maka diperoleh:
$y=x+c$
$0=\pi + c$
$c=-\pi$
Kunci: C
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah … A. 0,04 B. 0,10 C. 0,16 D. 0,32 E. 0,40
Pembahasan:
M = peluang terambil 1 bola merah
P = peluang terambil 1 bola putih
Kunci: E
Motto: #Berbagi_Itu_Indah
Artikel Terkait:
|
Semoga postingan: Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2017 Kode 106 ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Terimakasih banyak mas atas soal dan pembahasan ini...
ReplyDeleteSangat membantu saya yang mau ujian...