Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2019 (Kemampuan Dasar)
OSK SMA 2019-Olimpiade Sains tingkat Kabupaten/Kota untuk SMA telah selesai dilaksanakan pada tanggal 27 Februari 2019 dan siswa perwakilan dari sekolah tempat penulis sendiri ada tiga orang. setelah ujian mereka penasaran dengan pembahasan OSK tersebut. lalu saya katakan, sabar ya nanti bapak posting di www.catatanmatematika.com disana pembahasannya lengkap. Baiklah berikut ini adalah Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2019.
Semoga bermanfaat.
Baca juga: Soal dan Kunci Jawaban OSK SMA Tahun 2019 Semua Bidang Studi.
Kemampuan Dasar
Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai 2 poin dan setiap jawaban yang salah satau kosong bernilai nol.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 1
Pak Budi memiliki sawah berbentuk huruf L. Jika diketahui bahwa sawahnya Pak Budi hanya memiliki sisi yang panjangnya 5 meter dan 10 meter dan semua sudut sawahnya siku-siku, luas sawah Pak Budi adalah … meter persegi.
Pembahasan:
Dari soal maka sawah Pak Budi dapat digambarkan sebagai berikut:
Luas sawah pak budi = 3 x 5 x 5 = 75 $m^2$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 2
Jika sebuah jam sekarang menunjukkan pukul 13:00 maka 2019 menit yang lalu jam tersebut menunjukkan pukul …
Pembahasan:
2019 menit = 33 x 60 menit + 39 menit
2019 menit = 33 jam + 39 menit
2019 menit = 24 jam + 9 jam + 39 menit
2019 menit = 1 hari + 9 jam + 39 menit
Sekarang pukul 13:00 maka 2019 menit yang lalu pukul?
= Pukul 13.00 – 1 hari – 9 jam – 39 menit
= Pukul 13.00 – 9 jam – 39 menit
= pukul 04.00 – 39 menit
= pukul 03.00 + 60 menit – 39 menit
= pukul 03.00 + 21 menit
= pukul 03.21
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 3
Kedua akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-11x+k=0$ adalah bilangan prima. Nilai adalah …
Pembahasan:
${{x}^{2}}-11x+k=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
a = 1, b = -11, c = k
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=111$, karena ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ adalah bilangan prima. Agar jumlah dua bilangan prima adalah 111 (bilangan ganjil), maka dapat dipastikan kedua bilangan itu salah satunya ganjil dan satunya lagi adalah genap. Dan bilangan prima genap hanyalah 2. Dapat disimpulkan ${{x}_{1}}=2$ dan ${{x}_{2}}=109$, sehingga:
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$
$2\times 109=k\Leftrightarrow k=218$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 4
Ani dan Banu bermain dadu enam sisi. Jika dadu yang keluar bernilai genap, maka Ani mendapatkan skor 1 sedangkan jika dadu yang keluar bernilai ganjil, maka Banu yang mendapatkan skor 1. Pemenang dari permainan ini adalah orang pertama yang mendapatkan skor total 5. Setelah dilakukan pelemparan dadu sebanyak 5 kali, Ani mendapatkan skor 4 dan Banu mendapatkan skor 1. Peluang Ani memenangkan permainan ini adalah …
Pembahasan:
Misalkan:
P(A) = Peluang Ani menang
P(B) = Peluang Banu menang
P(A) + P(B) = 1
Agar Banu memenangkan permainan, maka Banu membutuhkan 4 kali menang dimana peluang 1 kali menang adalah $\frac{1}{2}$, maka:
P(B) = ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$
P(A) = 1 – P(B)
$P(A)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 5
Diketahui $a+2b=1$, $b+2c=2$, dan $b\ne 0$. Jika $a+nb+2018c=2019$ maka nilai $n$ adalah …
Pembahasan:
$b+2c=2$ kedua ruas dikali 1009 maka:
$1009b+2018c=2018$
$a+2b=1$
-------------------------- (+)
$a+1011b+2018c=2019$, sesuaikan dengan:
$a+nb+2018c=2019$
Maka n = 1011
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 6
Misalkan $a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}$ dan $b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}$. Jika $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$ dengan $x,y$ bulat, maka nilai $x+y$ adalah …
Pembahasan:
$a+b=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}+2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}$
$a+b=4\sqrt{2}$
$a.b=\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}} \right)\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}} \right)$
$a.b=8-(8-4\sqrt{2})$
$a.b=4\sqrt{2}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{(a+b)}^{2}}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{(4\sqrt{2})}^{2}}-2.4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$
$4\sqrt{2}-2=x+y\sqrt{2}$
$-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}$
$x=-2$ dan $y=4$
$x+y=-2+4=2$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 7
Diberikan sebuah trapesium ABCD dengan AB sejajar CD. Misalkan titik P dan Q berturut-turut pada AD dan BC sedemikian sehingga PQ sejajar AB dan membagi trapesium menjadi dua bagian yang sama luasnya. Jika AB = 17 dan DC = 7 maka nilai PQ adalah …
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini:
Segitiga CFQ sebangun dengan segitiga CEB, maka berlaku perbandingan:
$\frac{FQ}{EB}=\frac{CF}{CE}$
$\frac{x}{10}=\frac{b}{a+b}$
$(a+b)x=10b\Leftrightarrow a+b=\frac{10b}{x}$
Luas ABCD = 2 x Luas DCQP
$\frac{(AB+DC)}{2}.AD=2.\frac{(PQ+DC)}{2}.PD$
$\frac{(AB+DC)}{2}.AD=(PQ+DC)PD$
$\frac{17+7}{2}.(a+b)=(x+7+7).b$
$12(a+b)=b(x+14)$
$12.\frac{10b}{x}=b(x+14)$
$\frac{120}{x}=(x+14)$
${{x}^{2}}+14x=120$
${{x}^{2}}+14x-120=0$
$(x-6)(x+20)=0$
$x=6$
PQ = x + 7 = 6 + 7 = 13
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 8
Tujuh buah bendera dengan motif berbeda akan dipasang pada 4 tiang bendera. Pada masing-masing tiang bendera bisa dipasang sebanyak nol, satu, atau lebih dari satu bendera. Banyaknya cara memasang bendera tersebut adalah …
Pembahasan:
Teori:
Jika ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+...+{{x}_{n}}=m$ dengan ${{x}_{i}}\ge 0$ maka banyaknya susunan dari ${{x}_{i}}$ adalah $C_{m}^{m+n-1}$.
Misalkan, setiap bendera tersebut bermotif sama dan tiang bendera ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$, dan ${{t}_{4}}$ maka banyaknya susunan bendera pada tiang dapat dinyatakan sebagai:
${{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+{{t}_{4}}=7$ dengan ${{t}_{i}}\ge 0$
Sehingga banyaknya susunannya adalah:
= $C_{7}^{7+4-1}$
= $C_{7}^{10}$
= $\frac{10!}{7!.(10-7)!}$
= $\frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1}$
= 120 susunan.
Karena setiap bendera ada 7 motif berbeda, banyak susunan motif bendera adalah: 7! = 5.040
Seluruh susunan adalah 120 x 5.040 = 604.800 susunan.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 9
Misalkan $n$ adalah bilangan asli terkecil yang semua digitnya sama dan sedikitnya terdiri dari 2019 digit. Jika $n$ habis dibagi 126, maka hasil penjumlahan semua digit dari $n$ adalah …
Pembahasan:
Misalkan:
$n=\underbrace{aaaaa...aaaa}_{sebanyak\ge 2019}$
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak\ge 2019})$
$n$ habis dibagi 126, faktor $126=2\times 9\times 7$ maka:
n habis dibagi 2, maka nilai a = {2, 4, 6, 8}
n habis dibagi 9, maka nilai a = {6}
n habis dibagi 7, maka kita memilih bilangan asli terkecil 111…111 yang habis dibagi 7, kita dapat mengujinya satu persatu:
111 tidak habis dibagi 7
1111 tidak habis dibagi 7
11111 tidak habis dibagi 7
111111 habis dibagi 7,
111111 adalah bilangan 6 digit.
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak\ge 2019})$
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak(6k)\ge 2019})$, k bilangan asli
$6k\ge 2019\Leftrightarrow k\ge \frac{2019}{6}$
$k\ge 336,5$ karena k bilangan asli, maka k = 337
Banyak digit 1111…111 adalah 6k = 6 x 337 = 2022, maka:
$n=6(\underbrace{1111...111}_{sebanyak=2022})$
$n=(\underbrace{6666...666}_{sebanyak=2022})$
Jumlah digit = 6 x 2022 = 12132.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 10
Untuk sebarang bilangan real $x$, simbol $\left\lfloor x \right\rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$, sedangkan $\left\lceil x \right\rceil $ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dibanding $x$. Interval $[a,b)$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi ${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$. Nilai $a.b$ adalah …
Pembahasan:
Kasus I:
Misalkan, $x=z$ dengan z bilangan bulat, maka:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-z+7=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{b}^{2}}-4ac$
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-7)=113$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus II:
Misalkan, x bukan bilangan bulat, maka:
$x=z+p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 < p\le \frac{1}{2}$
$x=z+\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z+\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z+\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+1+7$
$4{{z}^{2}}-z-8=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-8)=129$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus III:
Misalkan, x bukan bilangan bulat, maka:
$x=z-p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 < p\le \frac{1}{2}$
$x=z-\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z-\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z-\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z-1)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-4z+1=z+7$
$4{{z}^{2}}-5z-6=0$
$(4z+3)(z-2)=0$, karena z bilangan bulat maka yang memenuhi adalah z = 2.
Untuk z = 2 agar x minimum maka:
$x=z-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1,5=a$
Untuk z = 2 agar x maksimum maka:
$x=z-0\Leftrightarrow x=2=b$
Jadi, $a.b=1,5\times 2=3$
Artikel Terkait:
|
Semoga postingan: Pembahasan OSK Matematika SMA Tahun 2019 (Kemampuan Dasar) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Untuk no 7, sepertinya belum tepat. Karena tidak tertulis harus trapesium siku-siku.
ReplyDeleteBetul pak! Di soal tidak disebutkan jenis trapesiumnya apakah siku-siku, sama kaki, maupun sembarang. itu artinya, kita boleh memilih salah satunya, dengan syarat informasi penting pada soal harus terpenuhi yaitu AB // PQ // CD. Atau apakah pak Wildan menemukan jawaban yang berbeda jika trapesiumnya sama kaki atau sembarang? Jika ternyata berbeda, berarti soal ini soal terbuka.
Delete