Dalil Menelaus
Sebelum kita membahas dalil menelaos ada baiknya kita pahami definisi dari garis transversal sisi dan transversal sudut dari segitiga ABC.
Dari gambar!
$\Delta CDG\tilde{\ }\Delta ADE$, maka:
$\frac{CD}{DA}=\frac{GC}{AE}$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}=1$ … persamaan (1)
$\Delta BFE\tilde{\ }\Delta CFG$, maka:
$\frac{BF}{CF}=\frac{BE}{CG}$
$\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$ … persamaan (2)
Persamaan (1) kalikan dengan persamaan (2), maka:
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{CF}.\frac{BF}{BE}=1$
$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1$
Terbukti.
Pembahasan:
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{BF}{FC}.\frac{CA}{AD}.\frac{DE}{EB}=1$
$\frac{BF}{FC}.\frac{2\times AD}{AD}.\frac{EB}{EB}=1$
$\frac{2BF}{FC}=1$
$FC=2BF$ atau $BC=3\times BF$
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{AD}{DC}.\frac{CB}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{DC}{DC}.\frac{3\times BF}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{3FE}{EA}=1$
$AE=3\times EF$
$\frac{AF}{FH}=\frac{AE+EF}{EH-EF}$
= $\frac{AE+EF}{AE-EF}$
= $\frac{3\times EF+EF}{3\times EF-EF}$
= $\frac{4\times EF}{2\times EF}$
= 2
Definisi Garis Transversal Sisi dan Garis Transversal Sudut
Pada $\Delta ABC$. Garis lurus $k$ disebut sebagai transversal sisi jika $k$ memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi $\Delta ABC$. Garis lurus $l$ disebut sebagai transversal sudut jika $l$ melalui titik sudut $\Delta ABC$. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.Dalil Menelaos
Pada segitiga ABC diketahui sebuah garis transversal memotong sisi AC, AB, dan BC masing-masing pada titik D, E, dan F (perhatikan gambar).Pembuktian Dalil Menelaos:
Lukis garis CP sejajar AB, sehingga diperoleh gambar:$\Delta CDG\tilde{\ }\Delta ADE$, maka:
$\frac{CD}{DA}=\frac{GC}{AE}$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}=1$ … persamaan (1)
$\Delta BFE\tilde{\ }\Delta CFG$, maka:
$\frac{BF}{CF}=\frac{BE}{CG}$
$\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$ … persamaan (2)
Persamaan (1) kalikan dengan persamaan (2), maka:
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{GC}.\frac{BF}{CF}.\frac{CG}{BE}=1$
$\frac{CD}{DA}.\frac{AE}{CF}.\frac{BF}{BE}=1$
$\frac{AE}{EB}.\frac{BF}{FC}.\frac{CD}{DA}=1$
Terbukti.
Contoh Soal dan Pembahasan:
OSK Matematika SMA 2019 No. 2
Diberikan segitiga ABC dengan D pertengahan AC, E pertengahan BD, dan H merupakan pencerminan dari A terhadap E. Jika F perpotongan antara AH dengan BH, maka nilai $\frac{AF}{FH}$ sama dengan …Pembahasan:
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{BF}{FC}.\frac{CA}{AD}.\frac{DE}{EB}=1$
$\frac{BF}{FC}.\frac{2\times AD}{AD}.\frac{EB}{EB}=1$
$\frac{2BF}{FC}=1$
$FC=2BF$ atau $BC=3\times BF$
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{AD}{DC}.\frac{CB}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{DC}{DC}.\frac{3\times BF}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{3FE}{EA}=1$
$AE=3\times EF$
$\frac{AF}{FH}=\frac{AE+EF}{EH-EF}$
= $\frac{AE+EF}{AE-EF}$
= $\frac{3\times EF+EF}{3\times EF-EF}$
= $\frac{4\times EF}{2\times EF}$
= 2
Baca juga:
|
Post a Comment for "Dalil Menelaus"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.