Pembahasan Soal UTUL UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Ujian Tulis (UTUL) UGM 2019
UTUL UGM merupakan salah satu seleksi masuk UGM yang menggunakan kombinasi hasil Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) dengan nilai UTUL yang diselenggarakan oleh UGM. Universitas Gadjah Mada (UGM) memberikan kesempatan kepada lulusan SMA/SMK/MA atau sederajat atau Paket C tahun 2019, 2018, dan 2017 untuk mengikuti seleksi dengan memilih 3 (tiga) program studi pada Program Sarjana dan/atau Program Diploma sesuai dengan kelompok UTBK yang diikuti.

Kelompok ujian terbagi menjadi 3 (tiga) jenis, yaitu:

1. Kelompok Ujian Sains dan Teknologi (Saintek).
2. Kelompok Ujian Sosial dan Humaniora (Soshum).
3. Kelompok Ujian Campuran (Saintek dan Soshum).

Setiap peserta dapat mengikuti kelompok ujian Saintek, atau Soshum, atau Campuran.

Baiklah itulah sekilas info mengenai UTUL UGM 2019. Nah berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL UGM 2019 yang telah diujikan pada tanggal 14 Juli 2019. Dan pada kesempatan berikut ini Catatan Matematika mengucapkan terima kasih kepada adik Fajar (siswa bimbel b4ngrp) yang mau berbagi soal-soal UTUL UGM 2019 Kode Soal 934 ini dengan ikhlas. Bagi kalian yang ingin download file Soal-Soal UTUL UGM 2019 TERLENGKAP silahkan lihat DISINI.

Melalui postingan ini Catatan Matematika mengajak adik-adik sekalian yang ingin mengikuti UTUL UGM Tahun 2020 agar mempersiapkan diri kalian sedini mungkin secara konsisten dan semangat dengan cara membahas soal-soal UTUL UGM tahun-tahun sebelumnya. Salah satunya adalah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL UGM 2019 berikut ini.

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 1

Jika rata-rata dari $a$, $b$, $c$ dan ${{a}^{2}}$, ${{b}^{2}}$, ${{c}^{2}}$ berturut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata dari $ab$, $bc$, $ca$ adalah …
(A) $\frac{10}{3}$
(B) $\frac{11}{3}$
(C) 4
(D) $\frac{13}{3}$
(E) $\frac{14}{3}$
Pembahasan:
$\frac{a+b+c}{3}=2\Leftrightarrow a+b+c=6$
$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=12$
dari:
$a+b+c=6$
${{(a+b+c)}^{2}}={{6}^{2}}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2(ab+bc+ca)=36$
$12+2(ab+bc+ca)=36$
$2(ab+bc+ca)=24$
$ab+bc+ca=12$
rata-rata dari $ab$, $bc$, $ca$ adalah:
$\frac{ab+bc+ca}{3}=\frac{12}{3}=4$
Jawaban: C

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 2

Diketahui $f(x)={{x}^{2}}+1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a\ne 0$. Jika $(f\circ {{g}^{-1}})(1)=5$ maka $4{{a}^{2}}-3$ = …
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-1$
(D) 1
(E) 2
Pembahasan:
$g(x)=ax+2\to {{g}^{-1}}(x)=\frac{x-2}{a}$
$(f\circ {{g}^{-1}})(1)=5$
$f({{g}^{-1}}(1))=5$
$f\left( \frac{1-2}{a} \right)=5$
$f\left( \frac{-1}{a} \right)=5$
${{\left( \frac{-1}{a} \right)}^{2}}+1=5$
$\frac{1}{{{a}^{2}}}=4$
$4{{a}^{2}}=1$ } kedua ruas dikurangi 3, maka:
$\begin{align} 4{{a}^{2}}-3 &= 1-3 \\ &=-2 \end{align}$
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 3

Nilai $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}}$ adalah …
(A) $-\sqrt[3]{2}$
(B) 0
(C) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
(D) $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
(E) $\sqrt[3]{2}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-{{x}^{2}}}}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{-(1-x)+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt[3]{{{(1-x)}^{2}}}.\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}.\sqrt[3]{(1-x)}}$
= $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt[3]{{{(1-x)}^{2}}}+1}{\sqrt[3]{1+x}}$
= $\frac{-\sqrt[3]{{{(1-1)}^{2}}}+1}{\sqrt[3]{1+1}}$
= $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Jawaban: E

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 4

Diberikan $f(x)=(a{{x}^{2}}+bx+c)({{x}^{2}}+x)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$ maka $f'\left( -\frac{1}{2} \right)$ = …
(A) $-\frac{15}{4}$
(B) $-\frac{13}{4}$
(C) $-\frac{11}{4}$
(D) $-\frac{9}{4}$
(E) $-\frac{7}{4}$
Pembahasan:
$f(x)=(a{{x}^{2}}+bx+c)({{x}^{2}}+x)$
$f'(x)=(2ax+b)({{x}^{2}}+x)+(a{{x}^{2}}+bx+c)(2x+1)$
$\begin{align} f'(0) &=3 \\ (0+b)(0+0)+(0+0+c)(0+1) &= 3 \\ c &= 3 \end{align}$
$\begin{align} f'(-1) &= 10 \\ (-2a+b)(1-1)+(a-b+c)(-2+1) &= 10 \\ -a+b-c &= 10 \\ -a+b-3 &= 10 \\ -a+b &= 13 \end{align}$
$\begin{align} f'\left( -\frac{1}{2} \right) &= \left( -a+b \right)\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c \right)\left( -1+1 \right) \\ &= 13\left( -\frac{1}{4} \right)+0 \\ &= -\frac{13}{4} \end{align}$
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 5

Diberikan bilangan real $r$, dengan $0 < r < 1$. Jika jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio $\frac{1}{1+r}$ adalah 8, maka jumlah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio $r$ adalah …
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 16
(E) 18
Pembahasan:
Deret geometri tak hingga:
$a=2$, rasio = $\frac{1}{1+r}$, dan
$\begin{align} {{S}_{\infty }} &= \frac{a}{1-rasio} \\ 8 &= \frac{2}{1-\frac{1}{1+r}} \\ 8 &= \frac{2}{\frac{r}{1+r}} \\ 8 &= \frac{2+2r}{r} \\ 8r &= 2+2r \\ 6r &= 2 \\ r &= \frac{2}{6} \\ r &= \frac{1}{3} \end{align}$
Deret Geometri Tak hingga:
$a=8$ dan rasio = $r=\frac{1}{3}$
$\begin{align} {{S}_{\infty }} &= \frac{a}{1-rasio} \\ &= \frac{8}{1-\frac{1}{3}} \\ {{S}_{\infty }} &= 12 \end{align}$
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 6

Jika $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)$, $B=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$, maka determinan dari ${{A}^{T}}A+B{{B}^{T}}$ adalah …
(A) $-5$
(B) $-4$
(C) 0
(D) 4
(E) 5
Pembahasan:
${{A}^{T}}A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\2 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right)$
$B.{{B}^{T}}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$
$\begin{align} {{A}^{T}}A+B{{B}^{T}} &= \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{A}^{T}}A+BB=\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$
$\det ({{A}^{T}}A+B{{B}^{T}}) = 3.10-5.5=5$
Jawaban: E

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 7

Jika $\tan x=2$, maka $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ = …
(A) $\frac{1}{3}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Pembahasan:
$\tan x=2$
$\begin{align} \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x} &= \frac{\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}} \\ &= \frac{\tan x+1}{\tan x-1} \\ &= \frac{2+1}{2-1} \\ &= 3 \end{align}$
Jawaban: D

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 8

Di dalam sebuah kotak terdapat sembilan bola yang diberi nomor 1 sampai dengan 9. Diambil tiga bola satu-persatu tanpa pengembalian. Peluang bola pertama genap, bola ke-2 ganjil, dan bola ke-3 genap adalah …
(A) $\frac{7}{252}$
(B) $\frac{8}{252}$
(C) $\frac{5}{42}$
(D) $\frac{6}{41}$
(E) $\frac{9}{43}$
Pembahasan:
Peluang terambil 1 bola genap (tersedia 4 bola genap dan 5 bola ganjil) adalah:
${{P}_{1}}=\frac{4}{9}$
Peluang terambil 1 bola ganjil (tersedia 3 bola genap dan 5 bola ganjil) adalah:
${{P}_{2}}=\frac{5}{8}$
Peluang terambil 1 bola genap (tersedia 3 bola genap dan 4 bola ganjil) adalah:
${{P}_{3}}=\frac{3}{7}$
Peluang seluruhnya:
${{P}_{1}}.{{P}_{2}}.{{P}_{3}}=\frac{4}{9}.\frac{5}{8}.\frac{3}{7}=\frac{60}{504}=\frac{5}{42}$
Jawaban: C

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 9

Jika $m$ dan $M$ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ dengan $M+m=3$, maka $f(2)$ = …
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Pembahasan:
$f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$
$f'(x)=6{{x}^{2}}-6x$
$f'(x)=0$
$6{{x}^{2}}-6x=0$
$6x(x-1)=0$
$x=0$ atau $x=1$
Uji turunan kedua:
$f''(x)=12x-6$
$x=0 \to f''(0)=12.0-6=-6 < 0$
(nilai maksimum di x = 0)
$x=1\to f''(1)=12.1-6=6 > 0$
(nilai minimum di x = 1)
$x=1\to f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ maka:
$\begin{align} f(1) &= {{2.1}^{3}}-{{3.1}^{2}}+a \\ m &=a-1 \end{align}$
$x=0\to f(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ maka:
$\begin{align} f(0) &= {{2.0}^{3}}-{{3.0}^{2}}+a \\ M &= a \end{align}$
$\begin{align} M+m &= 3 \\ a+a-1 &= 3 \\ 2a &= 4 \\ a &= 2 \end{align}$
$\begin{align} f(x) &= 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a \\ &= 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \\ f(2) &= {{2.2}^{3}}-{{3.2}^{2}}+2 \\ &= 6 \end{align}$
Jawaban: E

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 10

Jika $x$ adalah sudut, dengan ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$ dan $4-2{{\cos }^{2}}x=5\sin x$, maka $\cos x$ = …
(A) $-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
(B) $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
(C) $-\frac{1}{2}$
(D) $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
(E) $-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
Pembahasan:
$\begin{align} 4-2{{\cos }^{2}}x &= 5\sin x \\ 4-2(1-{{\sin }^{2}}x) &= 5\sin x \\ 4-2+2{{\sin }^{2}}x-5\sin x &= 0 \\ 2{{\sin }^{2}}x-5\sin x+2 &= 0 \\ (2\sin x-1)(\sin x-2) &= 0 \end{align}$
$\sin x=\frac{1}{2}$ (memenuhi) atau
$\sin x=2$ (tidak memenuhi)
karena ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$, maka:
$\sin x=\frac{1}{2} \to x={{150}^{o}}$
$\begin{align} \cos x &=\cos {{150}^{o}} \\ &= \cos ({{180}^{o}}-{{30}^{o}}) \\ &= -\cos {{30}^{o}} \\ &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: A

Matematika Dassar UTUL UGM 2019 No. 11

Apabila $x$ dan $y$ memenuhi $\log {{x}^{2}}-\log y=1$ $\log x+\log y=8$ maka nilai $y-x$ = ...
(A) 9
(B) 99
(C) 990
(D) 9900
(E) 99000
Pembahasan:
$\log {{x}^{2}}-\log y=1$ $2\log x-\log y=1$
$\log x+\log y=8$
 -------------------- (+)
$\begin{align} 3\log x &= 9 \\ \log x &= 3 \\ x &= {{10}^{3}} \\ x &= 1000 \end{align}$
$\begin{align} \log x+\log y &= 8 \\ 3+\log y &= 8 \\ \log y &= 5 \\ y &= {{10}^{5}} \\ y &= 100000 \end{align}$
$y-x=100000-1000=99000$
Jawaban: E

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 12

Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan $\angle BAC=\alpha $. Titik ${{C}_{1}}$ merupakan titik sehingga $\Delta AC{{C}_{1}}$ siku-siku di C dan $\angle CA{{C}_{1}}=\alpha $. Titik ${{C}_{2}}$ dipilih sehingga $\Delta A{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ siku-siku di ${{C}_{1}}$ dan $\angle {{C}_{1}}A{{C}_{2}}=\alpha $, dan seterusnya. Panjang $A{{C}_{1}}$, $A{{C}_{2}}$, $A{{C}_{3}}$, …, merupakan barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$.

Nilai $\frac{a}{r}$ adalah …
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Pembahasan:
Dari gambar:
$AC=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5$
Perhatikan $\Delta ABC$ maka:
$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$
Perhatikan $\Delta AC{{C}_{1}}$
$\begin{align} \cos \alpha &= \frac{AC}{A{{C}_{1}}} \\ \frac{4}{5} &= \frac{5}{A{{C}_{1}}} \\ A{{C}_{1}} &= \frac{25}{4} \end{align}$
Perhatikan $\Delta A{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ maka:
$\begin{align} \cos \alpha &= \frac{A{{C}_{1}}}{A{{C}_{2}}} \\ \frac{4}{5} &= \frac{\frac{25}{4}}{A{{C}_{2}}} \\ A{{C}_{2}} &= \frac{125}{16} \end{align}$
Barisan Geometri:
$A{{C}_{1}}$, $A{{C}_{2}}$, $A{{C}_{3}}$, …
$a=A{{C}_{1}}=\frac{25}{4}$
$r=\frac{A{{C}_{2}}}{A{{C}_{1}}}=\frac{\frac{125}{16}}{\frac{25}{4}}=\frac{125}{16}\times \frac{4}{25}=\frac{5}{4}$
$\frac{a}{r}=\frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{4}}=5$
Jawaban: C

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 13

Pada sistem persamaan berikut
${{x}^{2}}+xy+xz=1$
${{y}^{2}}+yz+yx=6$
${{z}^{2}}+zx+zy=9$
Nilai $z$ adalah …
(A) $\frac{2}{3}$
(B) 1
(C) $\frac{3}{2}$
(D) $\frac{9}{4}$
(E) 3
Pembahasan:
${{x}^{2}}+xy+xz=1$
${{y}^{2}}+yz+yx=6$
${{z}^{2}}+zx+zy=9$
------------------ (+)
$\begin{align} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2xz+2yz &= 16 \\ {{(x+y+z)}^{2}} &= 16 \\ x+y+z &= 4 \end{align}$
$x+y+z=4$ kali dengan $z$maka:
$\begin{align} x+y+z &= 4|kali\,z \\ {{z}^{2}}+zx+zy &= 4z \\ 9 &= 4z \\ z &= \frac{9}{4} \end{align}$
Jawaban: D

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 14

Jika himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\le \sqrt{x+1}$ adalah $\{x|x\,bilangan\,real,\,a\le x\le b\}$, maka $a+b$ = …
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Pembahasan:
$\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\le \sqrt{x+1}$
1) syarat:
${{x}^{2}}-x+1\ge 0$ ini definitif positfi
$x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$
2) $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\le \sqrt{x+1}$ kuadratkan
$\begin{align} \sqrt{{{x}^{2}}-x+1} &\le \sqrt{x+1} \\ {{x}^{2}}-x+1 &\le x+1 \\ {{x}^{2}}-2x &\le 0 \\ x(x-2) &\le 0 \end{align}$
$0\le x\le 2$
Dari 1) dan 2) maka diperoleh:
HP = $0 \le x \le 2$, maka $a=0$ dan $b=2$
$a+b=0+2=2$
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 15

Sebuah buku dibeli dengan harga Rp. 1.000,00 dan dijual Rp. 1.100,00. Sebuah pena dibeli dengan harga Rp. 1.500,00 dan dijual Rp. 1.700,00. Seorang pedagang yang memiliki modal Rp. 300.000,00 dan tokonya dapat memuat paling banyak 250 buku dan pena akan memperoleh keuntungan maksimum sebesar …
(A) Rp. 30.000,00
(B) Rp. 40.000,00
(C) Rp. 50.000,00
(D) Rp. 60.000,00
(E) Rp. 70.000,00
Pembahasan:
Misal:
$x$ = banyak buku
$y$ = banyak pena
Model matematika:
$1.000x+1.500y\le 300.000$
$2x+3y\le 600$
$x+y\le 250$
$f(x,y)=100x+200y\,(maksimum)$
Sketsa daerah penyelesaian:

Titik B adalah titik potong garis:
$\begin{align} 2x+3y &= 600|\times 1 \\ x+y &= 250|\times 2 \end{align}$
$\begin{align} 2x+3y &= 600 \\ 2x+2y &=500 \\ \end{align}$
----------------- (-)
$y=100$ dan $x=150$ maka $B(150,100)$
Uji titik pojok:
$(x,y)\to f(x,y)=100x+200y\,$
$A(250,0)\to f(250,0)=25.000$
$B(150,100)\to f(150,100)=35.000$
$C(0,200)\to f(0,200)=40.000$
Jadi, keuntungan maksimum adalah Rp. 40.000,00
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 16

Diberikan barisan geometri tak konstan $a$, $b$, $c$, … Jika $abc=27$ dan $9a+b+c=33$ maka $6a+7b$ = …
(A) 39
(B) 30
(C) 23
(D) 18
(E) 9
Pembahasan:
Barisan Geometri tak konstan
$a$, $b$, $c$, …
$a\ne b\ne c$
$\begin{align} U_{2}^{2} &= {{U}_{1}}\times {{U}_{3}} \\ {{b}^{2}} &= ac|kali\,b \\ {{b}^{3}} &= abc \\ {{b}^{3}} &= 27 \\ b &= 3 \end{align}$
$\begin{align} abc &= 27 \\ 3ac &= 27 \\ ac &= 9 \\ c &= \frac{9}{a} \end{align}$
$\begin{align} 9a+b+c &= 33 \\ 9a+3+\frac{9}{a} &= 33 \\ 9a+\frac{9}{a}-30 &= 0 \\ 3a+\frac{3}{a}-10 &= 0 \\ 3{{a}^{2}}-10a+3 &= 0 \\ (3a-1)(a-3) &= 0 \end{align}$
$a=\frac{1}{3}$ (memenuhi) atau $a=3$ (tidak memenuhi $a\ne b$)
$\begin{align} 6a+7b &= 6.\frac{1}{3}+7.3 \\ &= 2+21 \\ &= 23 \end{align}$
Jawaban: C

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 17

Nilai $x$ yang memenuhi penyelesaian dari $-{{2}^{2x+1}}+{{4}^{x}}+{{8}^{x+\frac{1}{3}}}-{{8}^{\frac{2x-1}{3}}}-{{16}^{\frac{2x-1}{4}}} > 0$ adalah …
(A) $-1 \le x < 0$ (B) $x > 0$
(C) $x < 0$ atau $x > 1$
(D) $0 \le x < 1$
(E) $x > 1$
Pembahasan:
$-{{2}^{2x+1}}+{{4}^{x}}+{{8}^{x+\frac{1}{3}}}-{{8}^{\frac{2x-1}{3}}}-{{16}^{\frac{2x-1}{4}}} > 0$
$-2{{({{2}^{x}})}^{2}}+{{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{3\left( x+\frac{1}{3} \right)}}-{{2}^{3\left( \frac{2x-1}{3} \right)}}-{{2}^{4\left( \frac{2x-1}{4} \right)}} > 0$
$-{{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{3x+1}}-{{2}^{2x-1}}-{{2}^{2x-1}} > 0$
$-{{({{2}^{x}})}^{2}}+2{{({{2}^{x}})}^{3}}-\frac{{{({{2}^{x}})}^{2}}}{2}-\frac{{{({{2}^{x}})}^{2}}}{2} > 0$
$-2{{({{2}^{x}})}^{2}}+2{{({{2}^{x}})}^{3}} > 0$
${{({{2}^{x}})}^{3}}-{{({{2}^{x}})}^{2}} > 0$
${{({{2}^{x}})}^{2}}({{2}^{x}}-1) > 0$, karena ${{({{2}^{x}})}^{2}} > 0$ maka:
$\begin{align} {{2}^{x}}-1 &> 0 \\ {{2}^{x}} &> 1 \\ {{2}^{x}} &> {{2}^{0}} \\ x &> 0 \end{align}$
Jawaban: B

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 18

Hasil penjumlahan semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${{x}^{4\log x}}=\frac{{{x}^{12}}}{{{10}^{8}}}$ adalah …
(A) 1
(B) 11
(C) 101
(D) 110
(E) 1100
Pembahasan:
$\begin{align} {{x}^{4\log x}} &= \frac{{{x}^{12}}}{{{10}^{8}}} \\ \log {{x}^{4\log x}} &= \log \left( \frac{{{x}^{12}}}{{{10}^{8}}} \right) \\ 4\log x.\log x &= \log {{x}^{12}}-\log {{10}^{8}} \\ 4{{\left( \log x \right)}^{2}} &= 12\log x-8 \\ 4{{\left( \log x \right)}^{2}}-12\log x+8 &= 0 \\ {{\left( \log x \right)}^{2}}-3x+2 &= 0 \\ (\log x-1)(\log x-2) &= 0 \end{align}$
$\log x=1\to {{x}_{1}}=10$
$\log x=2\to {{x}_{2}}={{10}^{2}}=100$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi adalah:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10+100=110$
Jawaban: D

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 19

Salah satu akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-(3a-5)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah …
(A) $-2$
(B) $-1$
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Pembahasan:
${{x}^{2}}-(3a-5)x+3=0$, akar-akar ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ dan ${{x}_{1}}=3{{x}_{2}}$
$A=1$, $B=-3a+5$, $C=3$
$\begin{align} {{x}_{1}}.{{x}_{2}} &= \frac{C}{A} \\ 3{{x}_{2}}.{{x}_{2}} &= \frac{3}{1} \\ x_{2}^{2} &= 1 \\ {{x}_{2}} &= \pm 1 \end{align}$
$\begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}} &= \frac{-B}{A} \\ 3{{x}_{2}}+{{x}_{2}} &= \frac{-(-3a+5)}{1} \\ 4{{x}_{2}} &= 3a-5 \\ 3a &= 4{{x}_{2}}+5 \\ a &= \frac{4{{x}_{2}}+5}{3} \end{align}$
${{x}_{2}}=1\to {{a}_{1}}=\frac{4.1+5}{3}=3$
${{x}_{2}}=-1\to {{a}_{2}}=\frac{4(-1)+5}{3}=\frac{1}{3}$
Perkalian nilai-nilai $a$ yang memenuhi adalah:
= ${{a}_{1}}.{{a}_{2}}=3.\frac{1}{3}=1$
Jawaban: D

Matematika Dasar UTUL UGM 2019 No. 20

Grafik fungsi kuadrat $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ mempunyai puncak di $(1,1)$ dan menyinggung garis $y=x+1$. Nilai $8a-4b$ = …
(A) $-4$
(B) $-2$
(C) 0
(D) 2
(E) 4
Pembahasan:
$y=a{{x}^{2}}+bx+c$
Puncak di $(1,1)$,
$x=\frac{-b}{2a}=1$
$b=-2a$…. Persamaan (1)
Titik $(1,1)$ substitusi ke:
$y=a{{x}^{2}}+bx+c$
$1=a+b+c$; ingat $b=-2a$
$1=a-2a+c$
$a=c-1$
${{y}_{1}}=a{{x}^{2}}+bx+c$ menyinggung ${{y}_{2}}=x+1$ maka:
$\begin{align} {{y}_{1}} &= {{y}_{2}} \\ a{{x}^{2}}+bx+c &= x+1 \\ a{{x}^{2}}+(b-1)x+c-1 &= 0 \end{align}$
$\begin{align} D &= 0 \\ {{(b-1)}^{2}}-4a(c-1) &= 0 \\ {{(-2a-1)}^{2}}-4a.a &= 0 \\ 4{{a}^{2}}+4a+1-4{{a}^{2}} &= 0 \\ 4a &= -1 \\ a &= \frac{-1}{4} \end{align}$
Substitusi ke- (1):
$b=-2a=-2\left( \frac{-1}{4} \right)=\frac{1}{2}$
$8a-4b=8\left( -\frac{1}{4} \right)-4.\frac{1}{2}=-4$
Jawaban: A

Semoga postingan: Pembahasan Soal UTUL UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934 ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :