Bank Soal Pertidaksamaan Irrasional dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Irrasional, dimana Pertidaksamaan Irrasional adalah salah satu materi matematika wajib kelas 10 pada kurikulum 2013.

Soal No. 1

Nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{x+3} > \sqrt{2x+4}$ adalah ….
(A) $-2 \le x < -1$
(B) $0 < x \le -1$
(C) $x < 2$
(D) $x \ge 3$
(E) $x \ge -1$

Pembahasan:
$\sqrt{x+3} > \sqrt{2x+4}$
i) syarat:
$\begin{align} x+3 & \ge 0 \\ x & \ge -3 \end{align}$ dan $\begin{align} 2x+4 &\ge 0 \\ 2x & \ge -4 \\ x & \ge -2 \end{align}$
ii) $\sqrt{x+3}>\sqrt{2x+4}$
$\begin{align} {{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{2}} & >{{\left( \sqrt{2x+4} \right)}^{2}} \\ x+3 & >2x+4 \\ x-2x & >4-3 \\ -x & >1 \\ x & <-1 \end{align}$
Garis bilangan:

HP = $-2 \le x < -1$
Jawaban: A

Soal No. 2

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{2x+4} < 4$ adalah ….
(A) $x > -2$
(B) $x \ge 2$
(C) $-2 \le x < 6$
(D) $-2 < x \le 6$
(E) $-2 < x < 2$

Pembahasan:
$\sqrt{2x+4} < 4$
i) syarat:
$\begin{align} 2x+4 & \ge 0 \\ 2x & \ge -4 \\ x & \ge -2 \end{align}$
ii) $\sqrt{2x+4}<4$
$\begin{align} {{\left( \sqrt{2x+4} \right)}^{2}} & <{{4}^{2}} \\ 2x+4 &<16 \\ 2x &<12 \\ x & <6 \end{align}$
Garis bilangan:

HP = $-2 \le x < 6$
Jawaban: C

Soal No. 3

Penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{2x+4} > \sqrt{16-x}$ adalah ….
(A) $-2 \le x \le 16$
(B) $-2 \le x < 4$
(C) $4 < x \le 16$
(D) $4 \le x \le 16\,\text{atau}\,x \le -2$
(E) $-2 \le x\,\text{atau}\,x > 4$

Pembahasan:
$\sqrt{2x+4} > \sqrt{16-x}$
i) syarat:
$\begin{align} 2x+4 & \ge 0 \\ 2x & \ge -4 \\ x & \ge -2 \end{align}$ dan $\begin{align} 16-x & \ge 0 \\ -x & \ge -16 \\ x & \le 16 \end{align}$
ii) $\sqrt{2x+4} > \sqrt{16-x}$
$\begin{align} {{\left( \sqrt{2x+4} \right)}^{2}} &>{{\left( \sqrt{16-x} \right)}^{2}} \\ 2x+4 & >16-x \\ 2x+x & >16-4 \\ 3x & >12 \\ x & >4 \end{align}$
Garis bilangan:

HP = $4 < x \le 16$
Jawaban: C

Soal No. 4

Batas-batas nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}<0$ adalah ….
(A) $x < \frac{1}{2}$
(B) $x \ge \frac{4}{3}$
(C) $\frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$
(D) $\frac{1}{2} < x \le \frac{4}{3}$
(E) $-2 < x < \frac{4}{3}$

Pembahasan:
$\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2} < 0$
i) syarat:
$\begin{align} 4-3x & \ge 0 \\ -3x & \ge -4 \\ x & \le \frac{4}{3} \end{align}$
$\begin{align} x+2 & \ge 0 \\ x & \ge -2 \end{align}$
ii) $\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}<0$
$\begin{align} \sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2} & <0 \\ \sqrt{4-3x} & <\sqrt{x+2} \\ {{\left( \sqrt{4-3x} \right)}^{2}} & <{{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}} \\ 4-3x & <x+2 \\ -4x & <-2 \\ x & >\frac{-2}{-4} \\ x & >\frac{1}{2} \end{align}$
Garis bilangan:

HP =$\frac{1}{2} < x \le \frac{4}{3}$
Jawaban: D

Soal No. 5

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x>\sqrt{x+6}$, $x\in R$ adalah ….
(A) $\left\{ x|-2 < x \le 3 \right\}$
(B) $\left\{ x|x < -3\,\text{atau}\,x > 2 \right\}$
(C) $\left\{ x|-6 \le x < -2\,\text{atau}\,x > 3 \right\}$
(D) $\left\{ x|x < -2\,\text{atau}\,x > 3 \right\}$
(E) $\left\{ x|x > 3 \right\}$

Pembahasan:
Perhatikan $x > \sqrt{x+6}$ dalam hal ini ruas kiri yaitu $x$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) Untuk $x \ge 0$ maka:
$\begin{align} x & >\sqrt{x+6} \\ {{x}^{2}} & >{{\left( \sqrt{x+6} \right)}^{2}} \\ {{x}^{2}} & >x+6 \\ {{x}^{2}}-x-6 & >0 \\ (x+2)(x-3) & >0 \end{align}$
$x < -2$ atau $x > 3$
ii) syarat:
$\begin{align} x+6 & \ge 0 \\ x & \ge -6 \end{align}$
Garis bilangan:

HP1 = $\{x|x > 3\}$

Kasus 2:
Untuk $x < 0$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi $x > \sqrt{x+6}$, sebab $\sqrt{x+6} \ge 0$
HP2 = $\{\}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1 \cup HP2$
HP = $\left\{ x|x > 3 \right\}$
Jawaban: E

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{6+x-{{x}^{2}}} < 2$ adalah ….
(A) $-2 \le x \le -1$
(B) $-2 \le x < -1\,\text{atau}\,2 < x \le 3$
(C) $-2 < x <-1$
(D) $-1 < x \le 3$
(E) $-1 \le x \le 3\,\text{dan}\,x=-2$

Pembahasan:
$\sqrt{6+x-{{x}^{2}}} < 2$
i) syarat:
$\begin{align} 6+x-{{x}^{2}} & \ge 0 \\ {{x}^{2}}-x-6 & \le 0 \\ (x+2)(x-3) & \le 0 \end{align}$
$x \le -2\,\text{atau}\,x \ge 3$
ii) $\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}<2$
$\begin{align} \sqrt{6+x-{{x}^{2}}} & <2 \\ {{\left( \sqrt{6+x-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} & <{{2}^{2}} \\ 6+x-{{x}^{2}} & <4 \\ -{{x}^{2}}+x+2 & <0 \\ {{x}^{2}}-x-2 & >0 \\ (x+1)(x-2) & >0 \end{align}$
$x < -1\,\text{atau}\,x > 2$
Garis bilangan:

HP = $-2 \le x < -1\,\text{atau}\,2 < x \le 3$
Jawaban: B

Soal No. 7

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x-1} > x-3$ adalah ….
(A) $\left\{ x|-2 \le x <-1\,\text{atau}\,x > 2 \right\}$
(B) $\left\{ x|2 < x \le 3\,\text{atau}\,x > 5 \right\}$
(C) $\left\{ x|2 < x < 5 \right\}$
(D) $\left\{ x|1 \le x < 5 \right\}$
(E) $\left\{ x|x < 5 \right\}$

Pembahasan:
Perhatikan $\sqrt{x-1} > x-3$ dalam hal ini ruas kanan yaitu $(x-3)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$ maka:
$\begin{align} \sqrt{x-1} & >x-3 \\ {{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{2}} & >{{\left( x-3 \right)}^{2}} \\ x-1 & >{{x}^{2}}-6x+9 \\ -{{x}^{2}}+7x-10 & >0 \\ {{x}^{2}}-7x+10 & <0 \\ (x-2)(x-5) & <0 \end{align}$
$2< x < 5$
ii) syarat:
$\begin{align} x-1 & \ge 0 \\ x & \ge 1 \end{align}$
Garis bilangan:

HP1 = $3 \le x < 5$

Kasus 2:
Untuk $x-3 < 0\Leftrightarrow x < 3$ maka $\sqrt{x-1} > x-3$ dengan syarat $x-1 \ge 0\Leftrightarrow x \ge 1$
Garis bilangan:

HP2 = $\left\{ x|1 \le x < 3 \right\}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
Garis bilangan:

HP = $\left\{ x|1 \le x < 5 \right\}$
Jawaban: D

Soal No. 8

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2} < 2$ adalah ….
(A) $x > -1$
(B) $x < 1$
(C) $x > -2$
(D) $x < 2$
(E) $-1 < x < 1$

Pembahasan:
$\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2}<2$
i) syarat:
$\begin{align} x+10 & \ge 0 \\ x & \ge -10 \end{align}$
$\begin{align} x+2 & \ge 0 \\ x & \ge -2 \end{align}$
ii) $\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2} < 2$
$\begin{align} \sqrt{x+10}-\sqrt{x+2} & <2 \\ \sqrt{x+10} & <2+\sqrt{x+2} \\ {{\left( \sqrt{x+10} \right)}^{2}} & <{{\left( 2+\sqrt{x+2} \right)}^{2}} \\ x+10 & <4+4\sqrt{x+2}+x+2 \\ 4 & <4\sqrt{x+2} \\ 1 & <\sqrt{x+2} \\ {{1}^{2}} & <{{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}} \\ 1 & <x+2 \\ -x & <1 \\ x & >-1 \end{align}$
Garis bilangan:

HP = $x > -1$
Jawaban: A

Soal No. 9

Pertaksamaan $\sqrt{\frac{2}{x}+1} > \sqrt{3-\frac{1}{x}}$ dipenuhi oleh ….
(A) $x < -2$
(B) $x < 0$
(C) $0 < x < \frac{1}{3}$
(D) $0 < x < \frac{3}{2}$
(E) $\frac{1}{3} < x < \frac{3}{2}$

Pembahasan:
$\sqrt{\frac{2}{x}+1} > \sqrt{3-\frac{1}{x}}$
i) syarat:
$\begin{align} \frac{2}{x}+1 & \ge 0 \\ \frac{2+x}{x} & \ge 0 \end{align}$
$x \le -2\,\text{atau}\,x > 0$
$\begin{align} 3-\frac{1}{x} & \ge 0 \\ \frac{3x-1}{x} & \ge 0 \end{align}$
$x < 0\,\text{atau}\,x \ge \frac{1}{3}$
ii) $\sqrt{\frac{2}{x}+1}>\sqrt{3-\frac{1}{x}}$
$\begin{align} \sqrt{\frac{2}{x}+1} & >\sqrt{3-\frac{1}{x}} \\ {{\left( \sqrt{\frac{2}{x}+1} \right)}^{2}} & >{{\left( \sqrt{3-\frac{1}{x}} \right)}^{2}} \\ \frac{2}{x}+1 & >3-\frac{1}{x} \\ \frac{3}{x}-2 & >0 \\ \frac{3-2x}{x} & >0 \\ \frac{2x-3}{x} & <0 \end{align}$
$0 < x < \frac{3}{2}$
Garis bilangan:

HP = $\frac{1}{3}\le x<\frac{3}{2}$ (opsi yang memenuhi E).
Jawaban: E

Soal No. 10

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-3} > 5-x$ adalah ….
(A) $4 < x < 7$
(B) $3 < x < 7$
(C) $x > 4$
(D) $x \ge 4$
(E) $3 \le x \le 5$
(SPMB Madas Regional III, 2005)

Pembahasan:
Perhatikan $\sqrt{x-3} > 5-x$ dalam hal ini ruas kanan yaitu $(5-x)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $5-x \ge 0\Leftrightarrow x\le 5$ maka:
$\begin{align} \sqrt{x-3} & >5-x \\ {{\left( \sqrt{x-3} \right)}^{2}} & >{{\left( 5-x \right)}^{2}} \\ x-3 & >25-10x+{{x}^{2}} \\ -{{x}^{2}}+11x-28 & >0|\times (-1) \\ {{x}^{2}}-11x+28 & <0 \\ (x-4)(x-7) & <0 \end{align}$
$4 < x < 7$
ii) syarat:
$\begin{align} x-3 & \ge 0 \\ x & \ge 3 \end{align}$
Garis bilangan:

HP1 = $4 < x \le 5$

Kasus 2:
Untuk $5-x < 0 \Leftrightarrow x > 5$ maka $\sqrt{x-3} > 5-x$ dengan syarat $x-3 \ge 0\Leftrightarrow x \ge 3$
Garis bilangan:

HP2 = $x > 5$

Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
Garis bilangan:

HP = $\{x|x > 4 \}$
Jawaban: C

Soal No. 11

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x+2) > \sqrt{10-{{x}^{2}}}$ adalah ….
(A) $-\sqrt{10}\le x \le \sqrt{10}$
(B) $x < -3\,\text{atau}\,x > 1$
(C) $2 \le x \le \sqrt{10}$
(D) $1 < x \le \sqrt{10}$
(E) $-3 < x \le \sqrt{10}$

Pembahasan:
Perhatikan $(x+2) > \sqrt{10-{{x}^{2}}}$ dalam hal ini ruas kiri yaitu $(x+2)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $x+2\ge 0\Leftrightarrow x \ge -2$ maka:
$\begin{align} (x+2) & >\sqrt{10-{{x}^{2}}} \\ {{(x+2)}^{2}} & >{{\left( \sqrt{10-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \\ {{x}^{2}}+4x+4 & >10-{{x}^{2}} \\ 2{{x}^{2}}+4x-6 & >0|:2 \\ {{x}^{2}}+2x-3 & >0 \\ (x+3)(x-1) & >0 \end{align}$
$x < -3\,\text{atau}\,x > 1$
ii) syarat:
$\begin{align} 10-{{x}^{2}} & \ge 0 \\ {{x}^{2}}-10 & \le 0 \\ (x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10}) & \le 0 \end{align}$
$-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$
Garis bilangan:

HP1 = $1 < x \le \sqrt{10}$

Kasus 2:
Untuk $x+2 < 0\Leftrightarrow x < -2$ maka tidak terpenuhi $(x+2) > \sqrt{10-{{x}^{2}}}$ sebab $\sqrt{10-{{x}^{2}}} \ge 0$.
HP = { }
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1 \cup HP2$
HP = $1 < x \le \sqrt{10}$Jawaban: D

Soal No. 12

Pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-x} < \sqrt{2}$ mempunyai himpunan jawab ….
(A) $\left\{ x|-1 < x < 2 \right\}$
(B) $\left\{ x|-1 < x \le 2 \right\}$
(C) $\left\{ x|-1 \le x \le 2 \right\}$
(D) $\left\{ x|1 \le x < 2\,\text{atau}\,-1 < x \le 0 \right\}$
(E) $\left\{ x|1 \le x \le 2\,\text{atau}\,-1 \le x \le 0 \right\}$

Pembahasan:
$\sqrt{{{x}^{2}}-x} < \sqrt{2}$
i) syarat:
$\begin{align} {{x}^{2}}-x & \ge 0 \\ x(x-1) & \ge 0 \end{align}$
$x \le 0\,\text{atau}\,x \ge 1$
ii) $\sqrt{{{x}^{2}}-x} & <\sqrt{2}$
$\begin{align} \sqrt{{{x}^{2}}-x} & <\sqrt{2} \\ {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x} \right)}^{2}} & <{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}} \\ {{x}^{2}}-x & <2 \\ {{x}^{2}}-x-2 & <0 \\ (x+1)(x-2) & <0 \end{align}$
$-1< x <2$
Garis bilangan:

HP = $\left\{ x|-1 < x \le 0\,\text{atau}\,1 \le x < 2 \right\}$
Jawaban: D

Soal No. 13

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$ adalah ….
(A) $-\infty < x \le -2$ atau $2 \le x < 10$
(B) $-\infty < x \le -2$ atau $2 \le x < \infty $
(C) $-\infty < x \le -2$ atau $8 \le x < \infty $
(D) $-10 < x \le -2$ atau $8 \le x< \infty $
(E) $-10 \le x \le 2$ atau $8 \le x < \infty $

Pembahasan:
$|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$
i) syarat:
$\begin{align} 2x+20 & \ge 0 \\ 2x & \ge -20 \\ x & \ge -10 \end{align}$
HP1 = $x\ge -10$
ii) $|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$
untuk $x\ge 2$ maka:
$\begin{align} \left| x-2 \right| & \ge \sqrt{2x+20} \\ x-2 & \ge \sqrt{2x+20} \\ {{\left( x-2 \right)}^{2}} & \ge {{\left( \sqrt{2x+20} \right)}^{2}} \\ {{x}^{2}}-4x+4 & \ge 2x+20 \\ {{x}^{2}}-6x-16 & \ge 0 \\ (x+2)(x-8) & \ge 0 \end{align}$
$x \le -2\,\text{atau}\,x \ge 8$
HP2 = $x \ge 8$
untuk $x < 2$ maka:
$\begin{align} \left| x-2 \right|& \ge \sqrt{2x+20} \\ -(x-2) & \ge \sqrt{2x+20} \\ {{\left( -x+2 \right)}^{2}} & \ge {{\left( \sqrt{2x+20} \right)}^{2}} \\ {{x}^{2}}-4x+4 & \ge 2x+20 \\ {{x}^{2}}-6x-16 & \ge 0 \\ (x+2)(x-8) & \ge 0 \end{align}$
$x \le -2\,\text{atau}\,x \ge 8$
HP3 = $x\le -2$
Garis bilangan:

HP = $-10 \le x \le 2$ atau $8 \le x < \infty $
Jawaban: E

Soal No. 14

Jika $\left\{ x\in R|a < x < b \right\}$ adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${{(x-1)}^{2}}+\sqrt{{{(x-1)}^{2}}} < 6$ maka nilai $a+b$ adalah ….
(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) $-2$
(E) $-4$
(UM UGM Madas 2006)

Pembahasan:
${{(x-1)}^{2}}+\sqrt{{{(x-1)}^{2}}} < 6$
Misal: $p=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}}$
$\begin{align} {{(x-1)}^{2}}+\sqrt{{{(x-1)}^{2}}} & <6 \\ {{p}^{2}}+p-6 & <0 \\ (p+3)(p-2) & <0 \end{align}$
$-3 < p < 2$
i) $p > -3 \Leftrightarrow \sqrt{{{(x-1)}^{2}}} > -3$, semua $x \in R$ memenuhi.
ii) $p < 2$
$\begin{align} \sqrt{{{(x-1)}^{2}}} & <2 \\ {{(x-1)}^{2}} & <{{2}^{2}} \\ {{x}^{2}}-2x+1 & <4 \\ {{x}^{2}}-2x-3 & <0 \\ (x+1)(x-3) & <0 \end{align}$
$-1 < x < 3 \equiv a < x < b$
$a=-1$, $b=3$
$a+b=-1+3=2$
Jawaban: B

---

Bank Soal Matematika Wajib Kelas 10

Persamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Rasional. Pertidaksamaan Irrasional.

Share :