Bank Soal Pertidaksamaan Irrasional dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Irrasional, dimana Pertidaksamaan Irrasional adalah salah satu materi matematika wajib kelas 10 pada kurikulum 2013.

Soal No. 1

Nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{x+3}>\sqrt{2x+4}$ adalah ….
(A) $-2\le x<-1$
(B) $0<x\le -1$
(C) $x<2$
(D) $x\ge 3$
(E) $x\ge -1$

Pembahasan:
$\sqrt{x+3}>\sqrt{2x+4}$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}x+3& \ge 0\\ x& \ge -3\end{array}$ dan $\begin{array}{rl}2x+4& \ge 0\\ 2x& \ge -4\\ x& \ge -2\end{array}$
ii) $\sqrt{x+3}>\sqrt{2x+4}$
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{x+3}\right)}^2& >{\left(\sqrt{2x+4}\right)}^2\\ x+3& >2x+4\\ x-2x& >4-3\\ -x& >1\\ x& <-1\end{array}$
Garis bilangan:

HP = $-2\le x<-1$
Jawaban: A

Soal No. 2

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{2x+4}<4$ adalah ….
(A) $x>-2$
(B) $x\ge 2$
(C) $-2\le x<6$
(D) $-2<x\le 6$
(E) $-2<x<2$

Pembahasan:
$\sqrt{2x+4}<4$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}2x+4& \ge 0\\ 2x& \ge -4\\ x& \ge -2\end{array}$
ii) $\sqrt{2x+4}<4$
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{2x+4}\right)}^2& <4^2\\ 2x+4& <16\\ 2x& <12\\ x& <6\end{array}$
Garis bilangan:

HP = $-2\le x<6$
Jawaban: C

Soal No. 3

Penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{2x+4}>\sqrt{16-x}$ adalah ….
(A) $-2\le x\le 16$
(B) $-2\le x<4$
(C) $4<x\le 16$
(D) $4\le x\le 16\text{atau}x\le -2$
(E) $-2\le x\text{atau}x>4$

Pembahasan:
$\sqrt{2x+4}>\sqrt{16-x}$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}2x+4& \ge 0\\ 2x& \ge -4\\ x& \ge -2\end{array}$ dan $\begin{array}{rl}16-x& \ge 0\\ -x& \ge -16\\ x& \le 16\end{array}$
ii) $\sqrt{2x+4}>\sqrt{16-x}$
$\begin{array}{rl}{\left(\sqrt{2x+4}\right)}^2& >{\left(\sqrt{16-x}\right)}^2\\ 2x+4& >16-x\\ 2x+x& >16-4\\ 3x& >12\\ x& >4\end{array}$
Garis bilangan:

HP = $4<x\le 16$
Jawaban: C

Soal No. 4

Batas-batas nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}<0$ adalah ….
(A) $x<\frac{1}{2}$
(B) $x\ge \frac{4}{3}$
(C) $\frac{1}{2}<x<\frac{4}{3}$
(D) $\frac{1}{2}<x\le \frac{4}{3}$
(E) $-2<x<\frac{4}{3}$

Pembahasan:
$\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}<0$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}4-3x& \ge 0\\ -3x& \ge -4\\ x& \le \frac{4}{3}\end{array}$
$\begin{array}{rl}x+2& \ge 0\\ x& \ge -2\end{array}$
ii) $\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}<0$
$\begin{array}{rl}\sqrt{4-3x}-\sqrt{x+2}& <0\\ \sqrt{4-3x}& <\sqrt{x+2}\\ {\left(\sqrt{4-3x}\right)}^2& <{\left(\sqrt{x+2}\right)}^2\\ 4-3x& <x+2\\ -4x& <-2\\ x& >\frac{-2}{-4}\\ x& >\frac{1}{2}\end{array}$
Garis bilangan:

HP =$\frac{1}{2}<x\le \frac{4}{3}$
Jawaban: D

Soal No. 5

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $x>\sqrt{x+6}$, $x\in R$ adalah ….
(A) $\{x|-2<x\le 3\}$
(B) $\{x|x<-3\text{atau}x>2\}$
(C) $\{x|-6\le x<-2\text{atau}x>3\}$
(D) $\{x|x<-2\text{atau}x>3\}$
(E) $\{x|x>3\}$

Pembahasan:
Perhatikan $x>\sqrt{x+6}$ dalam hal ini ruas kiri yaitu $x$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) Untuk $x\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}x& >\sqrt{x+6}\\ x^2& >{\left(\sqrt{x+6}\right)}^2\\ x^2& >x+6\\ x^2-x-6& >0\\ (x+2)(x-3)& >0\end{array}$
$x<-2$ atau $x>3$
ii) syarat:
$\begin{array}{rl}x+6& \ge 0\\ x& \ge -6\end{array}$
Garis bilangan:

HP1 = $\{x|x>3\}$

Kasus 2:
Untuk $x<0$, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi $x>\sqrt{x+6}$, sebab $\sqrt{x+6}\ge 0$
HP2 = $\{\}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
HP = $\{x|x>3\}$
Jawaban: E

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{6+x-x^2}<2$ adalah ….
(A) $-2\le x\le -1$
(B) $-2\le x<-1\text{atau}2<x\le 3$
(C) $-2<x<-1$
(D) $-1<x\le 3$
(E) $-1\le x\le 3\text{dan}x=-2$

Pembahasan:
$\sqrt{6+x-x^2}<2$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}6+x-x^2& \ge 0\\ x^2-x-6& \le 0\\ (x+2)(x-3)& \le 0\end{array}$
$x\le -2\text{atau}x\ge 3$
ii) $\sqrt{6+x-x^2}<2$
$\begin{array}{rl}\sqrt{6+x-x^2}& <2\\ {\left(\sqrt{6+x-x^2}\right)}^2& <2^2\\ 6+x-x^2& <4\\ -x^2+x+2& <0\\ x^2-x-2& >0\\ (x+1)(x-2)& >0\end{array}$
$x<-1\text{atau}x>2$
Garis bilangan:

HP = $-2\le x<-1\text{atau}2<x\le 3$
Jawaban: B

Soal No. 7

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x-1}>x-3$ adalah ….
(A) $\{x|-2\le x<-1\text{atau}x>2\}$
(B) $\{x|2<x\le 3\text{atau}x>5\}$
(C) $\{x|2<x<5\}$
(D) $\{x|1\le x<5\}$
(E) $\{x|x<5\}$

Pembahasan:
Perhatikan $\sqrt{x-1}>x-3$ dalam hal ini ruas kanan yaitu $(x-3)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $x-3\ge 0\iff x\ge 3$ maka:
$\begin{array}{rl}\sqrt{x-1}& >x-3\\ {\left(\sqrt{x-1}\right)}^2& >{(x-3)}^2\\ x-1& >x^2-6x+9\\ -x^2+7x-10& >0\\ x^2-7x+10& <0\\ (x-2)(x-5)& <0\end{array}$
$2<x<5$
ii) syarat:
$\begin{array}{rl}x-1& \ge 0\\ x& \ge 1\end{array}$
Garis bilangan:

HP1 = $3\le x<5$

Kasus 2:
Untuk $x-3<0\iff x<3$ maka $\sqrt{x-1}>x-3$ dengan syarat $x-1\ge 0\iff x\ge 1$
Garis bilangan:

HP2 = $\{x|1\le x<3\}$
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
Garis bilangan:

HP = $\{x|1\le x<5\}$
Jawaban: D

Soal No. 8

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2}<2$ adalah ….
(A) $x>-1$
(B) $x<1$
(C) $x>-2$
(D) $x<2$
(E) $-1<x<1$

Pembahasan:
$\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2}<2$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}x+10& \ge 0\\ x& \ge -10\end{array}$
$\begin{array}{rl}x+2& \ge 0\\ x& \ge -2\end{array}$
ii) $\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2}<2$
$\begin{array}{rl}\sqrt{x+10}-\sqrt{x+2}& <2\\ \sqrt{x+10}& <2+\sqrt{x+2}\\ {\left(\sqrt{x+10}\right)}^2& <{(2+\sqrt{x+2})}^2\\ x+10& <4+4\sqrt{x+2}+x+2\\ 4& <4\sqrt{x+2}\\ 1& <\sqrt{x+2}\\ 1^2& <{\left(\sqrt{x+2}\right)}^2\\ 1& <x+2\\ -x& <1\\ x& >-1\end{array}$
Garis bilangan:

HP = $x>-1$
Jawaban: A

Soal No. 9

Pertaksamaan $\sqrt{\frac{2}{x}+1}>\sqrt{3-\frac{1}{x}}$ dipenuhi oleh ….
(A) $x<-2$
(B) $x<0$
(C) $0<x<\frac{1}{3}$
(D) $0<x<\frac{3}{2}$
(E) $\frac{1}{3}<x<\frac{3}{2}$

Pembahasan:
$\sqrt{\frac{2}{x}+1}>\sqrt{3-\frac{1}{x}}$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}\frac{2}{x}+1& \ge 0\\ \frac{2+x}{x}& \ge 0\end{array}$
$x\le -2\text{atau}x>0$
$\begin{array}{rl}3-\frac{1}{x}& \ge 0\\ \frac{3x-1}{x}& \ge 0\end{array}$
$x<0\text{atau}x\ge \frac{1}{3}$
ii) $\sqrt{\frac{2}{x}+1}>\sqrt{3-\frac{1}{x}}$
$\begin{array}{rl}\sqrt{\frac{2}{x}+1}& >\sqrt{3-\frac{1}{x}}\\ {\left(\sqrt{\frac{2}{x}+1}\right)}^2& >{\left(\sqrt{3-\frac{1}{x}}\right)}^2\\ \frac{2}{x}+1& >3-\frac{1}{x}\\ \frac{3}{x}-2& >0\\ \frac{3-2x}{x}& >0\\ \frac{2x-3}{x}& <0\end{array}$
$0<x<\frac{3}{2}$
Garis bilangan:

HP = $\frac{1}{3}\le x<\frac{3}{2}$ (opsi yang memenuhi E).
Jawaban: E

Soal No. 10

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{x-3}>5-x$ adalah ….
(A) $4<x<7$
(B) $3<x<7$
(C) $x>4$
(D) $x\ge 4$
(E) $3\le x\le 5$
(SPMB Madas Regional III, 2005)

Pembahasan:
Perhatikan $\sqrt{x-3}>5-x$ dalam hal ini ruas kanan yaitu $(5-x)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $5-x\ge 0\iff x\le 5$ maka:
$\begin{array}{rl}\sqrt{x-3}& >5-x\\ {\left(\sqrt{x-3}\right)}^2& >{(5-x)}^2\\ x-3& >25-10x+x^2\\ -x^2+11x-28& >0|\times (-1)\\ x^2-11x+28& <0\\ (x-4)(x-7)& <0\end{array}$
$4<x<7$
ii) syarat:
$\begin{array}{rl}x-3& \ge 0\\ x& \ge 3\end{array}$
Garis bilangan:

HP1 = $4<x\le 5$

Kasus 2:
Untuk $5-x<0\iff x>5$ maka $\sqrt{x-3}>5-x$ dengan syarat $x-3\ge 0\iff x\ge 3$
Garis bilangan:

HP2 = $x>5$

Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
Garis bilangan:

HP = $\{x|x>4\}$
Jawaban: C

Soal No. 11

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x+2)>\sqrt{10-x^2}$ adalah ….
(A) $-\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}$
(B) $x<-3\text{atau}x>1$
(C) $2\le x\le \sqrt{10}$
(D) $1<x\le \sqrt{10}$
(E) $-3<x\le \sqrt{10}$

Pembahasan:
Perhatikan $(x+2)>\sqrt{10-x^2}$ dalam hal ini ruas kiri yaitu $(x+2)$ tidak dapat ditentukan apakah bernilai negatif atau positif untuk itu kita bagi menjadi dua kasus, yaitu:
Kasus 1:
i) untuk $x+2\ge 0\iff x\ge -2$ maka:
$\begin{array}{rl}(x+2)& >\sqrt{10-x^2}\\ {(x+2)}^2& >{\left(\sqrt{10-x^2}\right)}^2\\ x^2+4x+4& >10-x^2\\ 2x^2+4x-6& >0|:2\\ x^2+2x-3& >0\\ (x+3)(x-1)& >0\end{array}$
$x<-3\text{atau}x>1$
ii) syarat:
$\begin{array}{rl}10-x^2& \ge 0\\ x^2-10& \le 0\\ (x+\sqrt{10})(x-\sqrt{10})& \le 0\end{array}$
$-\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}$
Garis bilangan:

HP1 = $1<x\le \sqrt{10}$

Kasus 2:
Untuk $x+2<0\iff x<-2$ maka tidak terpenuhi $(x+2)>\sqrt{10-x^2}$ sebab $\sqrt{10-x^2}\ge 0$.
HP = { }
Dari kasus 1 dan kasus 2 maka:
HP = $HP1\cup HP2$
HP = $1<x\le \sqrt{10}$Jawaban: D

Soal No. 12

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-x}<\sqrt{2}$ mempunyai himpunan jawab ….
(A) $\{x|-1<x<2\}$
(B) $\{x|-1<x\le 2\}$
(C) $\{x|-1\le x\le 2\}$
(D) $\{x|1\le x<2\text{atau}-1<x\le 0\}$
(E) $\{x|1\le x\le 2\text{atau}-1\le x\le 0\}$

Pembahasan:
$\sqrt{x^2-x}<\sqrt{2}$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}{x}^2-x& \ge 0\\ x(x-1)& \ge 0\end{array}$
$x\le 0\text{atau}x\ge 1$
ii)
$\begin{array}{rl}\sqrt{x^2-x}& <\sqrt{2}\\ {\left(\sqrt{x^2-x}\right)}^2& <{\left(\sqrt{2}\right)}^2\\ x^2-x& <2\\ x^2-x-2& <0\\ (x+1)(x-2)& <0\end{array}$
$-1<x<2$
Garis bilangan:

HP = $\{x|-1<x\le 0\text{atau}1\le x<2\}$
Jawaban: D

Soal No. 13

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$ adalah ….
(A) $-\mathrm{\infty }<x\le -2$ atau $2\le x<10$
(B) $-\mathrm{\infty }<x\le -2$ atau $2\le x<\mathrm{\infty }$
(C) $-\mathrm{\infty }<x\le -2$ atau $8\le x<\mathrm{\infty }$
(D) $-10<x\le -2$ atau $8\le x<\mathrm{\infty }$
(E) $-10\le x\le 2$ atau $8\le x<\mathrm{\infty }$

Pembahasan:
$|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$
i) syarat:
$\begin{array}{rl}2x+20& \ge 0\\ 2x& \ge -20\\ x& \ge -10\end{array}$
HP1 = $x\ge -10$
ii) $|x-2|\ge \sqrt{2x+20}$
untuk $x\ge 2$ maka:
$\begin{array}{rl}|x-2|& \ge \sqrt{2x+20}\\ x-2& \ge \sqrt{2x+20}\\ {(x-2)}^2& \ge {\left(\sqrt{2x+20}\right)}^2\\ x^2-4x+4& \ge 2x+20\\ x^2-6x-16& \ge 0\\ (x+2)(x-8)& \ge 0\end{array}$
$x\le -2\text{atau}x\ge 8$
HP2 = $x\ge 8$
untuk $x<2$ maka:
$\begin{array}{rl}|x-2|& \ge \sqrt{2x+20}\\ -(x-2)& \ge \sqrt{2x+20}\\ {(-x+2)}^2& \ge {\left(\sqrt{2x+20}\right)}^2\\ x^2-4x+4& \ge 2x+20\\ x^2-6x-16& \ge 0\\ (x+2)(x-8)& \ge 0\end{array}$
$x\le -2\text{atau}x\ge 8$
HP3 = $x\le -2$
Garis bilangan:

HP = $-10\le x\le 2$ atau $8\le x<\mathrm{\infty }$
Jawaban: E

Soal No. 14

Jika $\{x\in R|a<x<b\}$ adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${(x-1)}^2+\sqrt{{(x-1)}^2}<6$ maka nilai $a+b$ adalah ….
(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) $-2$
(E) $-4$
(UM UGM Madas 2006)

Pembahasan:
${(x-1)}^2+\sqrt{{(x-1)}^2}<6$
Misal: $p=\sqrt{{(x-1)}^2}$
$\begin{array}{rl}{(x-1)}^2+\sqrt{{(x-1)}^2}& <6\\ p^2+p-6& <0\\ (p+3)(p-2)& <0\end{array}$
$-3<p<2$
i) $p>-3\iff \sqrt{{(x-1)}^2}>-3$, semua $x\in R$ memenuhi.
ii) $p<2$
$\begin{array}{rl}\sqrt{{(x-1)}^2}& <2\\ {(x-1)}^2& <2^2\\ x^2-2x+1& <4\\ x^2-2x-3& <0\\ (x+1)(x-3)& <0\end{array}$
$-1<x<3\equiv a<x<b$
$a=-1$, $b=3$
$a+b=-1+3=2$
Jawaban: B

---

Bank Soal Matematika Wajib Kelas 10

Persamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Rasional. Pertidaksamaan Irrasional.

Share :