Bank Soal Pertidaksamaan Rasional dan Pembahasan

Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Rasional, yaitu salah satu topik dari materi Matematika Wajib Kelas 10 Kurikulum 2013. Selamat belajar.

Soal No. 1

Untuk harga-harga $x$ di bawah ini yang memenuhi $\frac{2x+3}{3x-7}>0$ adalah ….
(A) $\frac{7}{3}>x>-\frac{3}{2}$
(B) $x<-\frac{3}{2}\text{atau}x>\frac{7}{3}$
(C) $-\frac{7}{3}<x<\frac{3}{2}$
(D) $x<-\frac{7}{3}\text{atau}x>\frac{3}{2}$
(E) $1>x>\frac{2}{7}$

Pembahasan:
$\frac{2x+3}{3x-7}>0$
Nilai $x$ pembuat nol:
$2x+3=0\iff x=-\frac{3}{2}$
$3x-7\ne 0\iff x\ne \frac{7}{3}$
Garis bilangan:

HP = $x<-\frac{3}{2}\text{atau}x>\frac{7}{3}$
Jawaban: B

Soal No. 2

Nilai $x$ yang memenuhi $\frac{5x-1}{x+2}\ge 1$ adalah …
(A) $x<-2\text{atau}x>4$
(B) $x<-2\text{atau}x>\frac{1}{5}$
(C) $x<-2\text{atau}x\ge \frac{3}{4}$
(D) $x\le -2\text{atau}x\ge \frac{1}{5}$
(E) $x\le -\frac{1}{3}\text{atau}x\ge 2$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{5x-1}{x+2}& \ge 1\\ \frac{5x-1}{x+2}-1& \ge 0\\ \frac{5x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}& \ge 0\\ \frac{5x-1-x-2}{x+2}& \ge 0\\ \frac{4x-3}{x+2}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$4x-3=0\iff x=\frac{3}{4}$
$x+2\ne 0\iff x\ne -2$
Garis bilangan:

HP = $x<2\text{atau}x\ge \frac{3}{4}$
Jawaban: C

Soal No. 3

Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2x-1}{3x+2}\ge 2$ adalah ….
(A) $-\frac{5}{4}\le x<-\frac{2}{3}$
(B) $\frac{2}{3}<x\le \frac{5}{4}$
(C) $-\frac{2}{3}<x\le \frac{5}{4}$
(D) $x\le -\frac{5}{4}\text{atau}x>-\frac{2}{3}$
(E) $x<-\frac{2}{3}\text{atau}x\ge \frac{5}{4}$
(UM UGM Madas 2003)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{2x-1}{3x+2}& \ge 2\\ \frac{2x-1}{3x+2}-2& \ge 0\\ \frac{2x-1}{3x+2}-\frac{2(3x+2)}{3x+2}& \ge 0\\ \frac{2x-1-6x-4}{3x+2}& \ge 0\\ \frac{-4x-5}{3x+2}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$-4x-5=0\iff x=-\frac{5}{4}$
$3x+2\ne 0\iff x\ne -\frac{2}{3}$
Garis bilangan:

HP = $-\frac{5}{4}\le x<-\frac{2}{3}$
Jawaban: A

Soal No. 4

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{2x+7}{x-1}\le 1$ adalah ….
(A) $-8\le x<1$
(B) $-4<x\le 1$
(C) $x\ge -4\text{atau}x<1$
(D) $0\le x\le 1$
(E) $1\le x\le 8$
(SPMB Madas Regional II, 2004)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{2x+7}{x-1}& \le 1\\ \frac{2x+7}{x-1}-1& \le 0\\ \frac{2x+7}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}& \le 0\\ \frac{2x+7-x+1}{x-1}& \le 0\\ \frac{x+8}{x-1}& \le 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+8=0\iff x=-8$
$x-1\ne 0\iff x\ne 1$
Garis bilangan:

HP = $-8\le x<1$
Jawaban: A

Soal No. 5

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2x+1}{x}<1$ adalah ….
(A) $-1<x<0$
(B) $1<x<3$
(C) $0<x<1$
(D) $-3<x<1$
(E) $-3<x<-1$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{2x+1}{x}& <1\\ \frac{2x+1}{x}-1& <0\\ \frac{2x+1}{x}-\frac{x}{x}& <0\\ \frac{2x+1-x}{x}7<0\\ \frac{x+1}{x}& <0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+1=0\iff x=-1$ dan $x\ne 0$
Garis bilangan:

HP = $-1<x<0$
Jawaban: A

Soal No. 6

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\frac{4x-3}{2x+1}\le 3$ adalah ….
(A) $\{x|-3\le x\le -\frac{1}{2}\}$
(B) $\{x|-3\le x<-\frac{1}{2}\}$
(C) $\{x|x\le -3\text{atau}x\ge -\frac{1}{2}\}$
(D) $\{x|x<-3\text{atau}x>-\frac{1}{2}\}$
(E) $\{x|x\le -3\text{atau}x>-\frac{1}{2}\}$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{4x-3}{2x+1}& \le 3\\ \frac{4x-3}{2x+1}-3& \le 0\\ \frac{4x-3}{2x+1}-\frac{3(2x+1)}{2x+1}& \le 0\\ \frac{4x-3-6x-3}{2x+1}& \le 0\\ \frac{-2x-6}{2x+1}& \le 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$-2x-6=0\iff x=-3$
$2x+1\ne 0\iff x\ne -\frac{1}{2}$
Garis bilangan:

HP = $x\le -3\text{atau}x>-\frac{1}{2}$
Jawaban: E

Soal No. 7

Nilai $x$ yang memenuhi $\left(\frac{x+2}{x-1}\right)<3\left(\frac{x+2}{x-1}\right)-2$ adalah ….
(A) $x>1$
(B) $1<x\le 2$
(C) $x<1\text{atau}x\ge 4$
(D) $x\ne 1$
(E) $x\ge 4$
(UM UGM MAT IPA 2003)

Pembahasan:
$\left(\frac{x+2}{x-1}\right)<3\left(\frac{x+2}{x-1}\right)-2$
$\begin{array}{rl}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)-3\left(\frac{x+2}{x-1}\right)+2& <0\\ \frac{x+2}{x-1}-\frac{3(x+2)}{x-1}+\frac{2(x-1)}{(x-1)}& <0\\ \frac{x+2-3x-6+2x-2}{x-1}& <0\\ \frac{-6}{x-1}& <0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-1\ne 0\iff x\ne 1$
Garis bilangan:

HP = $x>1$
Jawaban: A

Soal No. 8

Bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{4x-5}{x}\le x-2$ adalah ….
(A) $x<0\text{atau}1<x<5$
(B) $x<-5\text{atau}-2<x<0$
(C) $-5<x<-2\text{atau}x>0$
(D) $0<x<1\text{atau}x>5$
(E) $x<0\text{atau}5<x<6$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{4x-5}{x}& \le x-2\\ \frac{4x-5}{x}-(x-2)& \le 0\\ \frac{4x-5}{x}-\frac{x(x-2)}{x}& \le 0\\ \frac{4x-5-x^2+2x}{x}& \le 0\\ \frac{-x^2+6x-5}{x}& \le 0|\times (-1)\\ \frac{x^2-6x+5}{x}& \ge 0\\ \frac{(x-1)(x-5)}{x}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x\ne 0$; $x=1$, $x=5$
Garis bilangan:

HP = $0<x\le 1\text{atau}x\ge 5$
Opsi yang memenuhi D
Jawaban: D

Soal No. 9

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{\left|x\right|+2}{x}\le 3$ adalah ….
(A) $\{x|x\ge 1\}$
(B) $\{x|x\le \frac{1}{2}\text{atau}x\ge 1\}$
(C) $\{x|0<x\le 1\}$
(D) $\{x|x\le 1\}$
(E) $\{x|x<\frac{1}{2}\text{atau}x\ge 1\}$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{\left|x\right|+2}{x}& \le 3\\ \frac{\left|x\right|+2}{x}-3& \le 0\\ \frac{\left|x\right|+2}{x}-\frac{3x}{x}& \le 0\\ \frac{\left|x\right|-3x+2}{x}& \le 0\end{array}$
Berdasarkan definisi nilai mutlak diperoleh:
i) untuk $x\ge 0$ maka:
$\begin{array}{rl}\frac{\left|x\right|-3x+2}{x}& \le 0\\ \frac{x-3x+2}{x}& \le 0\\ \frac{-2x+2}{x}& \le 0|:(-2)\\ \frac{x-1}{x}& \ge 0\\ x(x-1)& \ge 0,x\ne 0\end{array}$
$\{x<0\text{atau}x\ge 1\}$
HP1 = $\{x<0\text{atau}x\ge 1\}\cap x\ge 0$
HP1 = $x\ge 1$
ii) untuk $x<0$ maka:
$\begin{array}{rl}\frac{\left|x\right|-3x+2}{x}& \le 0\\ \frac{-x-3x+2}{x}& \le 0\\ \frac{-4x+2}{x}& \le 0|:(-2)\\ \frac{2x-1}{x}& \ge 0\\ x(2x-1)& \ge 0,x\ne 0\end{array}$
$\{x<0\text{atau}x\ge \frac{1}{2}\}$
HP2 = $\{x<0\text{atau}x\ge \frac{1}{2}\}\cap x<0$
HP2 = $x<0$
HP = $HP1\cup HP2$
HP = $x<0\text{atau}x\ge 1$
Opsi yang memenuhi adalah A.
Jawaban: A

Soal No. 10

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{x+3}{x-1}\ge x$ adalah ….
(A) $x\le -1\text{atau}1<x<3$
(B) $x<-1\text{atau}3\le x$
(C) $x<-1\text{atau}x>1$
(D) $x\ge 3\text{atau}-1<x<1$
(E) $-1<x<1\text{atau}1<x<3$
(SPMB Madas Regional II, 2006)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{x+3}{x-1}& \ge x\\ \frac{x+3}{x-1}-x& \ge 0\\ \frac{x+3}{x-1}-\frac{x(x-1)}{x-1}& \ge 0\\ \frac{x+3-x^2+x}{x-1}& \ge 0\\ \frac{-x^2+2x+3}{x-1}& \ge 0\\ \frac{x^2-2x-3}{x-1}& \le 0\\ \frac{(x+1)(x-3)}{x-1}& \le 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=-1$, $x=3$, $x\ne 1$
Garis Bilangan:

HP = $\{x\le -1\text{atau}1<x\le 3\}$
Opsi yang memenuhi adalah A.
Jawaban: A

Soal No. 11

Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{3x-2}{x}\le x$ adalah …
(A) $x<0\text{atau}1\le x\le 2$
(B) $0<x\le 1\text{atau}x\ge 2$
(C) $x\le -2\text{atau}-1\le x\le 0$
(D) $-2\le x\le -1\text{atau}x>0$
(E) $x<0\text{atau}2\le x\le 3$
(SPMB Madas Regional I, 2003)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{3x-2}{x}& \le x\\ \frac{3x-2}{x}-x& \le 0\\ \frac{3x-2}{x}-\frac{x.x}{x}& \le 0\\ \frac{-x^2+3x-2}{x}& \le 0|\times (-1)\\ \frac{x^2-3x+2}{x}& \ge 0\\ \frac{(x-1)(x-2)}{x}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=1$, $x=2$, $x\ne 0$
Garis bilangan:

HP = $0<x\le 1\text{atau}x\ge 2$
Jawaban: B

Soal No. 12

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{x^2-9x+14}{x^2+2x-8}<0$ adalah ….
(A) $x<-4$
(B) $x<-4\text{atau}x>2$
(C) $-4<x<2\text{atau}x>2$
(D) $-4<x<7$
(E) $-4<x<7,x\ne 2$
(SPMB Madas Regional III, 2003)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{x^2-9x+14}{x^2+2x-8}& <0\\ \frac{(x-2)(x-7)}{(x-2)(x+4)}& <0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x\ne 2$, $x=7$, $x\ne -4$
Garis bilangan:

HP = $-4<x<7,x\ne 2$
Jawaban: E

Soal No. 13

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{3}{x-5}<\frac{-5}{x-3}$ adalah ….
(A) $3<x<5$
(B) $4\frac{1}{4}<x<5$
(C) $x<3$ atau $4\frac{1}{4}<x<5$
(D) $3<x<4\frac{1}{4}$
(E) $x<3\text{atau}x>5$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{3}{x-5}& <\frac{-5}{x-3}\\ \frac{3}{x-5}+\frac{5}{x-3}& <0\\ \frac{3(x-3)+5(x-5)}{(x-5)(x-3)}& <0\\ \frac{3x-9+5x-25}{(x-5)(x-3)}& <0\\ \frac{8x-34}{(x-5)(x-3)}& <0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$8x-34=0\iff x=\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}$
$x-5=0\iff x=5$
$x-3=0\iff x=3$
Garis bilangan:

HP = $x<3\text{atau}4\frac{1}{4}<x<5$
Jawaban: C

Soal No. 14

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{x^2-5x-4}{x+3}>1$ adalah ….
(A) $-3<x<-1\text{atau}-1<x<7$
(B) $-3<x<-1\text{atau}x>7$
(C) $x<-3\text{atau}x>7$
(D) $x<-1\text{atau}x>7$
(E) $-1<x<7$
(SPMB Madas Regional I, 2004)

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{x^2-5x-4}{x+3}& >1\\ \frac{x^2-5x-4}{x+3}-1& >0\\ \frac{x^2-5x-4}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}& >0\\ \frac{x^2-5x-4-x-3}{x+3}& >0\\ \frac{x^2-6x-7}{x+3}& >0\\ \frac{(x+1)(x-7)}{x+3}& >0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=-1$, $x=7$, $x\ne -3$
Garis bilangan:

HP = $-3<x<-1\text{atau}x>7$
Jawaban: B

Soal No. 15

Penyelesaian pertidaksamaan $\frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6}<0$ adalah ….
(A) $x<1\text{atau}x>1\frac{1}{2}$
(B) $-1<x<1\frac{1}{2}\text{atau}-2<x<-1\frac{1}{2}$
(C) $-1\frac{1}{2}<x<-1\text{atau}2<x<3$
(D) $-2<x<-1\text{atau}1\frac{1}{2}<x<3$
(E) $-3<x<-\frac{1}{2}\text{atau}2<x<2\frac{1}{2}$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6}& <0\\ \frac{(2x-3)(x+1)}{(x-3)(x+2)}& <0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=\frac{3}{2}$; $x=-1$, $x\ne 3$, $x\ne -2$
Garis bilangan:

HP = $-2<x<-1\text{atau}1\frac{1}{2}<x<3$
Jawaban: D

Soal No. 16

Himpunan penyelesaian bentuk pecahan $\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}\ge 0$ adalah ….
(A) $\{x|x<-1\}$
(B) $\{x|x\ge -5\}$
(C) $\{x|-5<x<-1\}$
(D) $\{x|-5\le x\le 1\}$
(E) $\{x|x\le -5\text{atau}x>-1\text{dan}x\ne 2\}$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{x^2+3x-10}{x^2-x-2}& \ge 0\\ \frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+1)}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=-5$, $x\ne 2$, $x\ne -1$
Garis bilangan:

HP = $\{x|x\le -5\text{atau}x>-1\text{dan}x\ne 2\}$
Jawaban: E

Soal No. 17

$\frac{x^2+4x+3}{x^2-2x+3}\le 0$ berlaku untuk nilai $x$
(A) $\{x|-3\le x\le -1,x\in R\}$
(B) $\{x|-3\le x\le 1,x\in R\}$
(C) $\{x|x\le -3\text{atau}x\ge -1,x\in R\}$
(D) $\{x|x\le -1\text{atau}x\ge 3,x\in R\}$
(E) $\{x|x\le 1\text{atau}x\ge 3,x\in R\}$

Pembahasan:
Perhatikan $x^2-2x+3$:
$a=1$; $b=-2$; $c=3$
$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-2{)}^2-4.1.3\\ D& =-8\end{array}$
Karena $a>0$ dan D < 0 maka $x^2-2x+3$ definitif positif.
$\frac{x^2+4x+3}{x^2-2x+3}\le 0\iff \frac{x^2+4x+3}{positif}=negatif$
Jadi, kita menemukan bahwa:
$\begin{array}{rl}{x}^2+4x+3& \ge 0\\ (x+3)(x+1)& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=-1$ dan $x=-3$
Garis bilangan:

HP = $-3\le x1$
Jawaban: A

Soal No. 18

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12}\le 0$ adalah ….
(A) $x<-4\text{atau}2\le x<3$
(B) $x<-4\text{atau}x>3$
(C) $-4<x<2$
(D) $-4<x<3$
(E) $-4<x<3\text{dan}x\ne 2$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12}& \le 0\\ \frac{{(x-2)}^2}{(x+4)(x-3)}& \le 0\end{array}$
Karena pembilang ${(x-2)}^2\ge 0$ maka dapat disimpulkan:
$(x+4)(x-3)<0$
HP = $-4<x<3$
Jawaban: D

Soal No. 19

Diketahui pertidaksamaan $\frac{3x-27}{x^2-3x-28}\ge 0$. Himpunan penyelesaiannya adalah ….
(A) $\{x|x>7\}$
(B) $\{x|-4<x<7\}$
(C) $\{x|x<-4\}$
(D) $\{x|-4<x<7\text{atau}x\ge 9\}$
(E) $\{x|x\ge 9\}$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{3x-27}{x^2-3x-28}& \ge 0\\ \frac{3(x-9)}{(x-7)(x+4)}& \ge 0\\ \frac{(x-9)}{(x-7)(x+4)}& \ge 0\end{array}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=9$, $x\ne 7$, $x\ne =-4$
Garis bilangan:

HP = $\{x|-4<x<7\text{atau}x\ge 9\}$
Jawaban: D

Soal No. 20

Himpunan penyelesaian dari $\frac{(x-1)(2x+4)}{x^2+4}\le 1$ adalah ….
(A) $x\le -4\text{atau}x\ge 2$
(B) $x\le -2\text{atau}x\ge 4$
(C) $-4\le x\le 4$
(D) $-4\le x\le 2$
(E) $-2\le x\le 4$

Pembahasan:
$\begin{array}{rl}\frac{(x-1)(2x+4)}{x^2+4}& \le 1\\ \frac{2x^2+4x-2x-4}{x^2+4}-1& \le 0\\ \frac{2x^2+2x-4}{x^2+4}-\frac{x^2+4}{x^2+4}& \le 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}& \le 0\end{array}$
Karena penyebut $x^2+4>0$ maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+2x-8& \le 0\\ (x+4)(x-2)& \le 0\end{array}$
HP = $-4\le x\le 2$
Jawaban: D

Soal No. 21

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\frac{(x^2+4)(x^2-4x-5)}{x^2+x+1}<0$ adalah ….
(A) $\{\}$
(B) $\{x|x\in R\}$
(C) $\{x|x<-2\text{atau}-1<x<5,x\in R\}$
(D) $\{x|x<-1\text{atau}2<x<5,x\in R\}$
(E) $\{x|-1<x<5,x\in R\}$

Pembahasan:
$\frac{(x^2+4)(x^2-4x-5)}{x^2+x+1}<0$
Perhatikan: $x^2+4>0$ dan $x^2+x+1>0$ (definit positif)maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2-4x-5& <0\\ (x+1)(x-5)& <0\end{array}$
HP = $-1<x<5$
Jawaban: E

Soal No. 22

Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2+2x+5}{(3x^2-4x+1)(x^2+1)}\le 0$ adalah ….
(A) $\frac{1}{3}<x<1$
(B) $\frac{1}{3}\le x<1$
(C) $x\le \frac{1}{3}\text{atau}x>1$
(D) $x<\frac{1}{3}\text{atau}x>1$
(E) $x<\frac{1}{3}\text{atau}x\ge 1$

Pembahasan:
$\frac{x^2+2x+5}{(3x^2-4x+1)(x^2+1)}\le 0$
Perhatikan:
$x^2+2x+5>0$ dan $x^2+1>0$ (definit positif), maka:
$\begin{array}{rl}3x^2-4x+1& <0\\ (3x-1)(x-1)& <0\end{array}$
HP = $\frac{1}{3}<x<1$
Jawaban: A

NB: Jika ada pembahasan yang kurang tepat, mohon kesediaan memberitahukannya melalui kolom komentar. Terima kasih.

---

Bank Soal Matematika Wajib Kelas 10

Persamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Pertidaksamaan Rasional. Pertidaksamaan Irrasional.

Share :