Soal Induksi Matematika dan Pembahasan
Berikut ini adalah Soal dan Pembahasan Induksi Matematika, yaitu salah satu materi pada mata pelajaran Matematika Wajib Kelas 11. Silahkan dipelajari dan jangan lupa share/bagikan ke media sosial kalian, agar manfaat postingan ini dapat dirasakan oleh siswa/i yang lain. Terima kasih.Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cocokkanlah jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT PEMBAHASAN:".
Soal No. 1
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1(1+1)}{2}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+2+3+...+k+(k+1)$
= $[1+2+3+...+k]+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)$
= $\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}$
= $\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$
= $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 2
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=\frac{1}{6}.1(1+1)(2.1+1)$
$1=\frac{1}{6}.2.3$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
$1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2$
= $[1^2+2^2+3^2+...+k^2]+(k+1)^2$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2k^2+k+6k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)[2k^2+7k+6]}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
= $\frac{(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)}{6}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 3
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1^3+2^3+3^3+...+n^3={{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]}^{2}}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1^3={{\left[ \frac{1.(1+1)}{2} \right]}^{2}}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
$1^3+2^3+3^3+...+k^3={{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1) yaitu:
$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3$ = ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3$
= $[1^3+2^3+3^3+...+k^3]+(k+1)^3$
= ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}+(k+1)^3$
= $\frac{k^2(k+1)^2}{4}+\frac{4(k+1)^3}{4}$
= $\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$
= $\frac{(k+1)^2[k^2+4(k+1)]}{4}$
= $\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}$
= $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
= $\frac{(k+1)^2{{[(k+1)+1]}^{2}}}{2^2}$
= ${{\left[ \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} \right]}^{2}}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 4
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1^4+2^4+3^4+...+n^4$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1^4=\frac{1.(1+1)(2.1+1)({{3.1}^{2}}+3.1-1)}{30}$
$1^4=\frac{1.2.3.5}{30}$
$1=1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
$1^4+2^4+3^4+...+k^4=\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)}{30}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1^4+2^4+3^4+...+k^4+(k+1)^4$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3(k+1)^2+3(k+1)-1]}{30}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1^4+2^4+3^4+...+k^4+(k+1)^4$
= $[1^4+2^4+3^4+...+k^4]+(k+1)^4$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)}{30}+(k+1)^4$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)}{30}+\frac{30(k+1)^4}{30}$
= $\frac{k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)+30(k+1)^4}{30}$
= $\frac{(k+1)[k(2k+1)(3k^2+3k-1)+30(k+1)^3]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(2k^2+k)(3k^2+3k-1)+30(k^3+3k^2+3k+1)]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6k^4+9k^3+k^2-k+30k^3+90k^2+90k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)[6k^4+39k^3+91k^2+89k+30]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(6k^3+27k^2+37k+15]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k^2+9k+5)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k^2+6k+3+3k+2)}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3(k^2+2k+1)+3k+3-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)[3(k+1)^2+3(k+1)-1]}{30}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1][3(k+1)^2+3(k+1)-1]}{30}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 5
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=2+4+6+...+2n=n(n+1)$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$2=1.(1+1)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan P(k) benar, yaitu:
$2+4+6+...+2k=k(k+1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$ = $(k+1)[(k+1)+1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$2+4+6+...+2k+2(k+1)$
= $[2+4+6+...+2k]+2(k+1)$
= $k(k+1)+2(k+1)$
= $(k+1)(k+2)$
= $(k+1)[(k+1)+1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 6
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1+3+5+...+(2n-1)=n^2$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1=1^2$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)=k^2$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$ = $(k+1)^2$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]$
= $[1+3+5+...+(2k-1)]+[2(k+1)-1]$
= $k^2+[2(k+1)-1]$
= $k^2+2k+2-1$
= $k^2+2k+1$
= $(k+1)^2$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 7
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2$ = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1^2=\frac{1.(2.1-1)(2.1+1)}{3}$
$1^2=\frac{1.1.3}{3}$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+[2(k+1)-1]^2$ = $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+[2(k+1)-1]^2$
= $[1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2]+[2(k+1)-1]^2$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+[2(k+1)-1]^2$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+{{(2k+1)}^{2}}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+\frac{3(2k+1)^2}{3}$
= $\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}$
= $\frac{(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)}{3}$
= $\frac{(2k+1)(2k+3)(k+1)}{3}$
= $\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 8
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3$ = $n^2(2n^2-1)$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1^3=1^2({{2.1}^{2}}-1)$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1)$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3+[2(k+1)-1]^3$ = $(k+1)^2[2(k+1)^2-1]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3+[2(k+1)-1]^3$
= $[1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3]+[2(k+1)-1]^3$
= $k^2(2k^2-1)+[2(k+1)-1]^3$
= $2k^4-k^2+{{(2k+1)}^{3}}$
= $2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1$
= $2k^4+8k^3+11k^2+6k+1$
= $(k+1)(2k^3+6k^2+5k+1)$
= $(k+1)(k+1)(2k^2+4k+1)$
= $(k+1)^2[2(k^2+2k+1)-1]$
= $(k+1)^2[2(k+1)^2-1]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 9
Dengan induksi matematika, buktikan: $1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!=(n+1)!-1$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.1!=(1+1)!-1$
$1.1=2.1-1$
1 = 1
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!=(k+1)!-1$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$ = $[(k+1)+1]!-1$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!+(k+1).(k+1)!$
= $[1.1!+2.2!+3.3!+...+k.k!]+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!-1+(k+1).(k+1)!$
= $(k+1)!+(k+1).(k+1)!-1$
= $(k+1)![1+(k+1)]-1$
= $(k+1)!(k+2)-1$
= $(k+2).(k+1)!-1$
= $(k+2)!-1$
= $[(k+1)+1]!-1$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 10
Dengan induksi matematika, buktikan: $1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=\frac{1.(1+1)(1+2)}{3}$
$2=\frac{1.2.3}{3}$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$ = $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$
= $[1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1)]+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)[(k+1)+1]$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}$
= $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
= $\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 11
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=1.2+2.2^2+3.2^3+...+n.2^n$ = $2\left[ 1+(n-1).2^n \right]$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar, yaitu:
$1.2=2\left[ 1+(1-1){{.2}^{1}} \right]$
$2=2(1+0.2)$
2 = 2
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) benar, yaitu:
$1.2+2.2^2+3.2^3+...+k{{.2}^{k}}$ = $2\left[ 1+(k-1){{.2}^{k}} \right]$
Maka akan kita buktikan juga benar untuk P(k+1), yaitu:
$1.2+2.2^2+3.2^3+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$ = $2\left[ 1+\{(k+1)-1)\}{{.2}^{k+1}} \right]$
Kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan pernyataan P(k) untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
$1.2+2.2^2+3.2^3+...+k{{.2}^{k}}+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $[1.2+2.2^2+3.2^3+...+k{{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2[1+(k-1){{.2}^{k}}]+(k+1){{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k}}-{{2}^{k}})+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+k{{.2}^{k+1}}-{{2}^{k+1}}+k{{.2}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}$
= $2+2k{{.2}^{k+1}}$
= $2(1+k{{.2}^{k+1}})$
= $2[1+(k+1-1){{.2}^{k+1}}]$
= $2[1+\{(k+1)-1\}{{.2}^{k+1}}]$
Terbukti (dari ruas kiri diperoleh ruas kanan).
Soal No. 12
Dengan induksi matematika, buktikan: $P(n)=n(n+1)(n+5)$ adalah bilangan kelipatan 3 untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) kelipatan 3, yaitu:
$P(1)=1(1+1)(1+5)$
$P(1)=12$ adalah kelipatan 3
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) kelipatan 3, yaitu:
$P(k)=k(k+1)(k+5)$ adalah kelipatan 3,
maka akan kita buktikan bahwa P(k+1) juga kelipatan 3, yaitu:
$(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$
= $(k+1)(k+2)(k+6)$
= $(k^2+3k+2)(k+6)$
= $k^3+6k^2+3k^2+18k+2k+12$
= $k^3+9k^2+20k+12$
= $(k^3+6k^2+5k)+(3k^2+15k+12)$
= $k(k^2+6k+5)+3(k^2+5k+4)$
= $k(k+1)(k+5)+3(k^2+5k+4)$
Karena $k(k+1)(k+5)$ kelipatan 3 menurut hipotesis P(k) dan $3(k^2+5k+4)$ juga kelipatan 3, akibatnya $k(k+1)(k+5)+3(k^2+5k+4)$ adalah kelipatan 3. Jadi, $(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+5]$ adalah kelipatan 3. (Terbukti)
Soal No. 13
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 3 adalah faktor $4^n-1$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
3 adalah faktor $4^n-1$Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{4}^{1}}-1=3$
3 adalah faktor ${{4}^{1}}-1$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa 3 adalah faktor $P(k)={{4}^{k}}-1$ , maka akan kita buktikan bahwa:
3 adalah faktor $P(k+1)={{4}^{k+1}}-1$, yaitu
$\begin{align}P(k+1) &={{4}^{k+1}}-1 \\ &={{4}^{k+1}}-{{4}^{k}}+{{4}^{k}}-1 \\ &=({{4}^{k}}.4-{{4}^{k}})+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}(4-1)+({{4}^{k}}-1) \\ &={{4}^{k}}.3+({{4}^{k}}-1)\end{align}$
Karena 3 adalah faktor ${{4}^{k}}.3$ dan 3 adalah faktor $({{4}^{k}}-1)$, maka 3 adalah faktor $({{4}^{k+1}}-1)$. Terbukti.
Soal No. 14
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{n}}-{{y}^{n}}$Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
${{x}^{1}}-{{y}^{1}}=x-y$
$x-y$ adalah faktor ${{x}^{1}}-{{y}^{1}}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa $(x-y)$ adalah faktor $P(k)={{x}^{k}}-{{y}^{k}}$, maka akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$, yaitu:
$\begin{align}{{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}} &={{x}^{k}}.x-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}.x-{{x}^{k}}y+{{x}^{k}}.y-{{y}^{k}}.y \\ &={{x}^{k}}(x-y)+({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y \end{align}$
Karena $x-y$ adalah faktor ${{x}^{k}}(x-y)$ dan $x-y$ adalah faktor $({{x}^{k}}-{{y}^{k}})y$, maka $x-y$ adalah faktor dari ${{x}^{k+1}}-{{y}^{k+1}}$. Terbukti.
Soal No. 15
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari $(n^3+3n^2+2n)$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
salah satu faktor dari $P(n)=n^3+3n^2+2n$ adalah 3Langkah 1.
Untuk n = 1, maka:
$P(1)=1^3+{{3.1}^{2}}+2.1=6$
Salah satu faktor dari 6 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)=k^3+3k^2+k$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)=(k+1)^3+3(k+1)^2+2(k+1)$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1) &=(k+1)^3+3(k+1)^2+2(k+1) \\ &=k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+2k+2 \\ &=(k^3+3k^2+3k)+(3k^2+9k+6) \\ &=(k^3+3k^2+3k)+3(k^2+3k+2) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari $k^3+3k^2+k$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $3(k^2+3k+2)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)=(k+1)^3+3(k+1)^2+2(k+1)$ adalah 3.
Terbukti.
Soal No. 16
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa salah satu faktor dari ${{2}^{2n+1}}+1$ adalah 3 untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Untuk n = 1, maka:
$P(1)={{2}^{2.1+1}}+1=9$
Salah satu faktor dari 9 adalah 3. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan untuk $n=k$ maka salah satu faktor dari $P(k)={{2}^{2k+1}}+1$ adalah 3, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka salah satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
$\begin{align}P(k+1)&={{2}^{2(k+1)+1}}+1 \\ &={{2}^{2k+3}}+1 \\ &=2^2{{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=(3+1){{.2}^{2k+1}}+1 \\ &=({{3.2}^{2k+1}})+({{2}^{2k+1}}+1) \end{align}$
Karena salah satu faktor dari $({{3.2}^{2k+1}})$ adalah 3 dan salah satu faktor dari $({{2}^{2k+1}}+1)$adalah 3. Jadi, salah satu satu faktor dari $P(k+1)={{2}^{2(k+1)+1}}+1$ adalah 3.
Terbukti.
Soal No. 17
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{5}^{n}}-1$ habis dibagi 4 untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 4, yaitu:
$P(1)={{5}^{1}}-1=4$
$P(1)=4$ habis dibagi 4. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 4, yaitu $P(k)={{5}^{k}}-1$ habis dibagi 4. Kita akan buktikan bahwa P(k+1) juga habis dibagi 4, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{5}^{k+1}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-1 \\ &={{5.5}^{k}}-{{5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &=(5-1){{.5}^{k}}+{{5}^{k}}-1 \\ &={{4.5}^{k}}+({{5}^{k}}-1) \end{align}$
Karena ${{4.5}^{k}}$ habis dibagi 4 dan $({{5}^{k}}-1)$ habis dibagi 4. Jadi, $P(k+1)={{5}^{k+1}}-1$ habis dibagi 4. Terbukti
Soal No. 18
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{3}^{2n}}-1$ habis dibagi 8 untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.Kita harus menunjukkan bahwa P(1) habis dibagi 8, yaitu:
$P(1)={{3}^{2.1}}-1=8$
$P(1)=8$ habis dibagi 8. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan bahwa P(k) habis dibagi 8, yaitu $P(k)={{3}^{2k}}-1$ habis dibagi 8. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ juga habis dibagi 8, yaitu:
$\begin{align}P(k+1)&={{3}^{2(k+1)}}-1 \\ &={{3}^{2k+2}}-1 \\ &=3^2{{.3}^{2k}}-1 \\ &={{9.3}^{2k}}-1 \\ &=(8+1){{.3}^{2k}}-\grave{\ }1 \\ &={{8.3}^{2k}}+({{3}^{2k}}-1) \end{align}$
Karena ${{8.3}^{2k}}$ habis dibagi 8 dan $({{3}^{2k}}-1)$ habis dibagi 8 maka $P(k+1)={{3}^{2(k+1)}}-1$ habis dibagi 8. Terbukti
Soal No. 19
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $4n<{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 5$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.untuk n = 5 maka:
$\begin{align}4.5 &<{{2}^{5}} \\ 20 &<32 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $4k<{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $4(k+1)<{{2}^{(k+1)}}$ juga benar, yaitu:
$\begin{align}4k &<{{2}^{k}} \\ 4k+4 &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4 \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+4k \\ 4(k+1) &<{{2}^{k}}+{{2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2.2}^{k}} \\ 4(k+1) &<{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti
Soal No. 20
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa ${{(n+1)}^{2}}<2n^2$ untuk semua bilangan asli $n\ge 3$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.untuk n = 3 maka:
$\begin{align}{{(n+1)}^{2}} &<2n^2 \\ {{(3+1)}^{2}} &<{{2.3}^{2}} \\ 16 &<18 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $(k+1)^2<2k^2$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka ${{[(k+1)+1]}^{2}}<2(k+1)^2$ juga benar.
Untuk $k\ge 3$ kita memperoleh:
$\begin{align}{{[(k+1)+1]}^{2}} &=(k+1)^2+2(k+1)+1 \\ & <2k^2+2(k+1)+1 \\ & <2k^2+2k+2+1 \\ & <2k^2+2k+1+2 \\ & <2k^2+2k+2k+2 \\ & <2k^2+4k+2 \\ {{[(k+1)+1]}^{2}} &<2(k+1)^2 \end{align}$
Terbukti.
Soal No. 21
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $n!>{{2}^{n}}$ untuk semua bilangan asli $n\ge 4$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
Langkah 1.untuk n = 4 maka:
$\begin{align}n!>{{2}^{n}} \\ 4! &>2^4 \\ 4.3.2.1 &>16 \\ 24 &>16 \end{align}$
Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa untuk n = k maka $k!>{{2}^{k}}$, akan kita buktikan bahwa untuk $n=k+1$ maka $(k+1)!>{{2}^{(k+1)}}$ juga benar.
$(k+1)!=(k+1).k!$ karena $k!>{{2}^{k}}$ maka:
$\begin{align}(k+1)! &>(k+1){{.2}^{k}} \\ &>{{2.2}^{k}} \\ (k+1)! &>{{2}^{k+1}} \end{align}$
Terbukti.
Soal No. 22
Dengan induksi matematika, buktikan bahwa $n^2-n+41$ merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan asli $n$.Penyelesaian: Lihat/Tutup
$P(n):n^2-n+41$Langkah 1.
Kita harus menunjukkan bahwa P(1) merupakan bilangan ganjil, yaitu:
$\begin{align}P(1) &=1^2-1+41 \\ P(1) &=41 \\ \end{align}$
41 merupakan bilangan ganjil. Pernyataan ini jelas bernilai benar.
Langkah 2.
Andaikan benar bahwa $P(k)=k^2-k+41$merupakan bilangan ganjil. Kita akan buktikan bahwa $P(k+1)=(k+1)^2-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil, yaitu:
$(k+1)^2-(k+1)+41$
= $k^2+2k+1-k-1+41$
= $(k^2-k+41)+2k$
Karena $(k^2-k+41)$ adalah bilangan ganjil dan $2k$ adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut menghasilkan bilangan ganjil.
Jadi, $P(k+1)=(k+1)^2-(k+1)+41$ merupakan bilangan ganjil.
Terbukti
Semoga postingan: Soal Induksi Matematika dan Pembahasan ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Bagimana cara download nya kang mas
ReplyDeleteMaaf, untuk saat ini belum tersedia dalam bentuk file.
Delete