Home / Suku Banyak / Teorema

Polinomial 6. Teorema Vieta - Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Post a Comment

A. Teorema Vieta

Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2+bx+c=0 maka:
  • x1+x2=−ba
  • x1.x2=ca

Persamaan Kubik

Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari ax3+bx2+cx+d=0 maka:
  • x1+x2+x3=−ba
  • x1.x2+x1.x3+x2.x3=ca
  • x1.x2.x3=−da

Persamaan Kuartik

Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar dari ax4+bx3+cx2+dx+e=0 maka:
  • x1+x2+x3+x4=−ba
  • x1.x2+x1.x3+x1.x4+x2.x3+x2.x4+x3.x4=ca
  • x1.x2.x3+x1.x2.x4+x1.x3.x4+x2.x3.x4=−da
  • x1.x2.x3.x4=ea

Persamaan Suku Banyak Berderajat n

Jika persamaan sukubanyak berderajat n adalah anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a0 akar-akarnya adalah x1, x2, x3, …, xn maka:
  • Jumlah akar-akar = (−1)1an−1an
  • Jumlah hasil kali setiap dua akar = (−1)2an−2an
  • Jumlah hasil kali setiap tiga akar = (−1)3an−3an
  • ....
  • Hasil kali semua akar = (−1)na0an
Contoh 1.
Jika akar-akar persamaan suku banyak x3−9x2+26x−24=0 adalah x1, x2, x3. Tentukan nilai x12+x22+x32.
Penyelesaian:
x3−9x2+26x−24=0
a=1, b=−9, c=26 dan d=−24
x1+x2+x3=−ba=−−91=9
x1x2+x1x3+x2x3=ca=261=26
x12+x22+x32
= (x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)
= 92−2×26
= 29
Contoh 2.
Diketahui x1, x2 dan x3 merupakan akar-akar persamaan x3−6x2+px−6=0 dengan x1+x3=2x2. Tentukan nilai 1x1+1x2+1x3.
Penyelesaian:
x3−6x2+px−6=0
a=1, b=−6, c=p dan d=−6
x1+x2+x3=−ba=−−61=6
x1+x3=2x2x1+x3+x2=2x2+x2x1+x2+x3=3x26=3x22=x2
Substitusi x=2 ke persamaan x3−6x2+px−6=0 maka:
x3−6x2+px−6=023−6.22+p.2−6=08−24+2p−6=02p−22=02p=22p=11
Sehingga persamaannya adalah:
x3−6x2+11x−6=0
a=1, b=−6, c=11 dan d=−6
x1x2+x1x3+x2x3=ca=111=11
x1x2x3=−da=−−61=6
1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=116
Contoh 3.
Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan x3−64x+14=0. Nilai dari x13+x23+x33 adalah ....
Penyelesaian:
x3−64x+14=0
a=1, b=0, c=−64, d=14
x1+x2+x3=−ba=−01=0
Karena x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan x3−64x+14=0, akibatnya:
x3−64x+14=0⇔x3=64x−14
x13=64x1−14x23=64x2−14x33=64x3−14x13+x23+x33=64(x1+x2+x3)−42x13+x23+x33=64.0−42x13+x23+x33=−42+
Contoh 4.
Jika x3−8x2+ax+10=0 mempunyai akar x=2, tentukan jumlah dua akar lainnya.
Penyelesaian:
x3−8x2+ax+10=0, akar-akarnya x1=2, x2 dan x3 maka x2+x3 = ....
x1+x2+x3=−bax1+x2+x3=−−812+x2+x3=8x2+x3=6
Contoh 5.
Akar-akar persamaan x4−3x3−2x2−12x+40=0 adalah x1, x2, x3dan x4. Jika x4=2, tentukan nilai dari 1x1+1x2+1x3.
Penyelesaian:
x4−3x3−2x2−12x+40=0
a=1, b=−3, c=−2, d=−12 dan e=40
x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4 = −da = −−121=12
x1x2x3x4=ea=401=40
1x1+1x2+1x3+1x4=x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3x1x2x3x4
1x1+1x2+1x3+1x4=12401x1+1x2+1x3+12=3101x1+1x2+1x3=310−121x1+1x2+1x3=−2101x1+1x2+1x3=−15
Contoh 6.
Carilah nilai p agar akar-akar persamaan x3+px2+14x−8=0 membentuk deret geometri.
Penyelesaian:
x3+px2+14x−8=0
a=1, b=p, c=14 dan d=−8
Misalkan, akar-akarnya x1, x2 dan x3 membentuk deret geometri maka:
x22=x1.x3x22.x2=x1.x3.x2x23=x1.x2.x3x23=−dax23=−−81x23=8x23=23x2=2
x1x2x3=−dax1.2.x3=−−812x1.x3=8x1.x3=4
x1.x2+x1.x3+x2.x3=cax1.2+4+2.x3=1412x1+2x3+4=142x1+2x3=10x1+x3=5
x1+x2+x3=−bax2+(x1+x3)=−p12+5=−p7=−p−7=p
Jadi, nilai p=−7.

B. Soal Latihan

  1. Diketahui persamaan x3−14x2+56x−64=0 akar-akarnya p, q dan r. Tentukan nilai dari p2+q2+r2.
  2. Diberikan persamaan x3−ax2+9x−2=0, akar-akarnya x1, x2 dan x3. Jika x1+x2=2x3, tentukan nilai a dan akar-akarnya.
  3. Tentukan nilai m agar akar-akar persamaan x3+mx2−6x+8=0 membentuk deret geometri.
  4. Carilah nilai k agar akar-akar persamaan x3−9x2+kx−15=0 membentuk deret aritmetika.
  5. Diketahui persamaan x3−6x2+11x+m=0 akar-akarnya x1, x2 dan x3. Tentukan nilai m jika x1=2x2.

You may like these posts :

Post a Comment for "Polinomial 6. Teorema Vieta - Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku Banyak"

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.