Kaidah Pencacahan 2. Faktorial (n!) | Definisi dan Contoh Soal

A.Definisi Faktorial (!)

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:
$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1$
atau
$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)!$

Khusus untuk n = 0 maka 0! = 1
Bukti:
Berdasarkan definisi:
$\begin{align}n! &=n(n-1)! \\ n(n-1)! &=n! \\ (n-1)! &=\frac{n!}{n} \end{align}$
Substitusi n = 1, maka:
$\begin{align}(n-1)! &=\frac{n!}{n} \\ (1-1)! &=\frac{1!}{1} \\ 0! &=1 \end{align}$
(Terbukti)

Contoh 1.

Hitunglah nilai dari 6!
Pembahasan:
Sesuai definisi:
$n!=n(n-1)(n-2).....3.2.1$
$6!=6.5.4.3.2.1=720$

Contoh 2.

Hitunglah nilai dari $\frac{15!}{13!}$
Pembahasan:
$\begin{align}\frac{15!}{13!}&=\frac{15.14.\cancel{13!}}{\cancel{13!}} \\ &=15.14 \\ \frac{15!}{13!}&=210 \end{align}$

Contoh 3.

Hitunglah nilai dari $\frac{8!}{4!+3!}$
Pembahasan:
$\begin{align}\frac{8!}{4!+3!} &=\frac{8!}{4.3!+3!} \\ &=\frac{8!}{5.3!} \\ &=\frac{8.7.6.\cancel{5}.4.\cancel{3!}}{\cancel{5}.\cancel{3!}} \\ &=8.7.6.4 \\ \frac{8!}{4!+3!} &=1344 \end{align}$

Contoh 4.

Hitunglah nilai dari $\frac{10!}{4!.6!}$
Pembahasan:
$\begin{align}\frac{10!}{4!.6!} &=\frac{10.\overset{3}{\mathop{\cancel{9}}}\,.\cancel{8}.7.\cancel{6!}}{\cancel{4}.\cancel{3}.\cancel{2}.1.\cancel{6!}} \\ &=10.3.7 \\ \frac{10!}{4!.6!} &=210 \end{align}$

Contoh 5.

Jika $\frac{n!}{(n-2)!}=20$ maka nilai $n$ yang memenuhi persamaan adalah ...
Pembahasan:
Perhatikan penyebut pada persamaan $\frac{n!}{(n-2)!}=20$ maka $n-2\ge 0\Leftrightarrow n\ge 2$
$\begin{align} \frac{n!}{(n-2)!} &=20 \\ \frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} &=20 \\ n(n-1) &=20 \\ n^2-n-20 &=0 \\ (n-5)(n+4) &=0 \end{align}$
$\begin{align}n-5 &=0 \\ n &=5 \end{align}$ atau $\begin{align}n+4 &=0 \\ n &=-4 \end{align}$
Karena $n\ge 2$ maka nilai yang memenuhi adalah n = 5.

B. Soal Latihan

1. Hitunglah Nilai dari $4!\,\times 5!$
2. Hitunglah nilai dari $\frac{7!}{6!+5!}$
3. Nyatakan dalam bentuk pecahan tunggal, $\frac{3}{5!}-\frac{2}{6!}+\frac{5}{7!}$
4. Hitunglah nilai n dari persamaan: $\frac{n!}{(n-1)!}=2$.
5. Hitunglah nilai n dari persamaan: $(n+2)!=30\times n!$

Semoga postingan: Kaidah Pencacahan 2. Faktorial (n!) | Definisi dan Contoh Soal ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :