Kaidah Pencacahan 3. Permutasi (Definisi, Jenis Permutasi dan Contoh Soal)

A. Definisi Permutasi

Permutasi sejumlah unsur adalah penyusunan unsur-unsur tersebut dalam suatu urutan tertentu (urutannya diperhatikan, AB $\ne$ BA)

B. Permutasi k Unsur dari n Unsur Berbeda

Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia (setiap unsur berbeda) adalah:
$_n{P}_k = \frac{n!}{(n-k)!}$; $k\le n$

Contoh 1.

Hitunglah nilai dari $_6{P}_2$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}_6{P}_2 &=\frac{6!}{(6-2)!} \\ &=\frac{6!}{4!} \\ &=\frac{6.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}} \\ &=6.5 \\ _6{P}_2 &=30 \end{align}$

---

Contoh 2.

Jumlah siswa di suatu kelas adalah 30 anak. Akan dipilih pengurus kelas yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Ada berapa cara menyusun kepengurusan kelas tersebut?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misalkan, 3 orang terpilih A, B, dan C.
Misal:
ABC, artinya ketua si A, sekretaris si B, dan bendahara si C.
ACB, artinya ketua si A, sekretaris si C, dan bendahara si B.
Dalam hal ini, ABC $\ne$ ACB
Sehingga permasalahan ini adalah Permutasi menyusun 3 orang dari 30 orang.
$\begin{align}_{30}{P}_3 &=\frac{30!}{(30-3)!} \\ &=\frac{30!}{27!} \\ &=\frac{30.29.28.\cancel{27!}}{\cancel{27!}} \\ &=30.29.28 \\ _{30}{P}_3 &=24.360 \end{align}$
Jadi, banyak cara menyusun kepengurusan kelas tersebut adalah 24.360 cara.

---

Contoh 3.

Tentukan banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata REIKSON.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Kata REIKSON terdiri dari 7 huruf berbeda, akan disusun 4 huruf berbeda.
Permutasi 4 unsur berbeda dari 7 unsur berbeda.
$\begin{align}_7{P}_4 &=\frac{7!}{(7-4)!} \\ &=\frac{7!}{3!} \\ &=\frac{7.6.5.4.\cancel{3!}}{\cancel{3!}} \\ &=7.6.5.4 \\ _7{P}_4 &=840 \end{align}$
Jadi, banyaknya susunan 4 huruf berbeda dari huruf-huruf pada kata REIKSON adalah 840 susunan.

---

C. Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Banyaknya permutasi dari n unsur yang memuat $k_1$ unsur yang sama, $k_2$ unsur yang sama, $k_3$ unsur yang sama, ..., $k_r$ unsur yang sama dimana $k_1+k_2+k_3+...+k_r \le n$ adalah:
$_n{P}_{(k_1,k_2,k_3,...,k_n)}=\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!...k_r!}$

Contoh 1.

Ada berapa permutasi berlainan dapat dibentuk dari semua huruf-huruf pada kata MATEMATIKA?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Banyak huruf pada kata MATEMATIKA adalah 10 huruf.
Terdapat unsur yang sama, yaitu:
* huruf M ada 2
* huruf A ada 3
* huruf T ada 2
Maka permutasi yang kita gunakan adalah permutasi dengan beberapa unsur yang sama yaitu:
$\begin{align}_{10}{P}_{(2,3,2)} &=\frac{10!}{2!.3!.2!} \\ &=\frac{10.9.8.7.6.5.\cancel{4}.\cancel{3!}}{\cancel{2}.1.\cancel{3!}.\cancel{2}.1} \\ &=10.9.8.7.6.5 \\ _{10}{P}_{(2,3,2)} &=151.200 \end{align}$

---

Contoh 2.

Terdapat 8 bendera yang terdiri dari 4 bendera merah, 2 bendera biru dan 2 bendera kuning. Ada berapa banyak cara untuk menyusun 8 bendera tersebut di sebuah tiang secara vertikal?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Banyak bendera adalah 8 bendera.
Terdapat bendera dengan warna yang sama, yaitu:
* warna merah ada 4
* warna biru ada 2
* warna kuning ada 2
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama, yaitu:
$\begin{align}_{8}{P}_{(4,2,2)} &=\frac{8!}{4!.2!.2!} \\ &=\frac{\overset{2}{\mathop{\cancel{8}}}\,.7.6.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.\cancel{2}.1.\cancel{2}.1} \\ &=2.7.6.5 \\ _{8}{P}_{(4,2,2)} &=420 \end{align}$

---

Contoh 3.

Dari angka-angka: 2, 4, 6, 7, dan 8 akan dibuat bilangan yang terdiri dari 6 angka. Banyak bilangan yang dapat dibuat jika angka 6 boleh muncul dua kali adalah ....

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Karena angka 6 boleh muncul dua kali, maka pilihan angka yang digunakan untuk membuat bilangan yang terdiri dari 6 angka adalah 2, 4, 6, 6, 7, dan 8.
Jumlah semua unsur = 6 angka.
Unsur yang sama:
Angka 6 ada 2.
Kita gunakan permutasi dengan beberapa unsur yang sama, yaitu:
$\begin{align}_{6}{P}_{(2)} &=\frac{6!}{2!} \\ &=\frac{6.5.4.3.\cancel{2!}}{\cancel{2!}} \\ &=6.5.4.3 \\ _{6}{P}_{(2)} &=360 \end{align}$
Jadi, banyak bilangan itu adalah 360 bilangan.

---

D. Permutasi Siklis

Untuk menentukan banyak susunan melingkar dari n unsur berbeda adalah dengan cara menetapkan satu objek pada satu posisi tetap, kemudian menentukan banyak cara menyusun sisa unsur yang lain.
Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah:
$_{n}{P}_{siklis}=(n-1)!$

Contoh 1.

Berapa cara 10 orang anggota pramuka duduk mengelilingi api unggun?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}_{10}{P}_{siklis} &=(10-1)! \\ &=9! \\ &=9.8.7.6.5.4.3.2.1 \\ _{10}{P}_{siklis}&=362.880 \end{align}$
Jadi, banyak cara 10 orang anggota pramuka duduk mengelilingi api unggun adalah 362.880 cara.

---

Contoh 2.

Suatu pertemuan dihadiri oleh 8 orang peserta. Jika mereka menempati 8 kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa cara mereka duduk jika 3 orang tertentu harus selalu duduk bersama?

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Tahap 1.
Pandanglah 3 kursi untuk 3 orang tertentu sebagai 1 kursi yang dapat menampung 3 orang, sehingga kursi yang tersedia ada 6 yang akan melingkar.
$_{6}{P}_{siklis}=(6-1)!=5!$
Tahap 2.
Banyak cara mengatur posisi duduk 3 orang tertentu tersebut yaitu:
$_{3}{P}_{3}=3!$
Maka seluruh cara dapat dihitung dengan menggunakan aturan perkalian yaitu:
= 5! x 3!
= 5.4.3.2.1.3.2.1
= 720 cara.

---

E. Soal Latihan

1. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan $_n{P}_4=30(_n{P}_2)$.
2. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat dibentuk dari angka-angka 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9, jika pada setiap bilangan tidak ada angka yang sama?
3. Dari 15 orang finalis akan dipilih masing-masing satu orang juara I, juara II, dan juara III. Tentukan banyak pilihan yang mungkin?
4. Seorang ayah mempunyai 3 judul buku yang banyaknya berturut-turut 4, 3, dan 2 buah. Ayah akan membagikan buku-bukunya kepada 9 orang anaknya. Jika setiap anak memperoleh 1 buku, dengan berapa cara pembagian itu dapat dilakukan?
5. Sebuah keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan 5 orang anaknya, akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan malam bersama. Jika ayah dan ibu harus selalu duduk berdampingan, berapa banyak cara mereka duduk?

Semoga postingan: Kaidah Pencacahan 3. Permutasi (Definisi, Jenis Permutasi dan Contoh Soal) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :