Kaidah Pencacahan 5. Ekspansi Binomial Newton (Konsep Dasar dan Contoh Soal)

A. Segitiga Pascal

Perhatikan operasi aljabar berikut ini:
$(a+b)^0=1$
$(a+b)^1=a+b$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^4$ = $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
Dari operasi aljabar di atas, terlihat bahwa koefisien-koefisien memenuhi suatu aturan yang dikenal dengan Segitiga Pascal, yaitu:
$\begin{matrix} 1 \\ \begin{matrix} 1 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$
Dengan demikian, kita dapat menjabarkan $(a+b)^5$ menggunakan segitiga pascal yang hasilnya sebagai berikut:

B. Binomial Newton dengan Notasi Kombinasi

Segitiga pascal dapat dituliskan dengan notasi kombinasi sebagai berikut:
$\begin{matrix} \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} 5 \\ 5 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$
Dengan demikian, kita dapat menjabarkan $(a+b)^5$ menggunakan kombinasi yang hasilnya sebagai berikut:

Bentuk ini disebutlah dengan Binomial Newton.

Binomial Newton, secara umum ditulis sebagai berikut:

dengan:
suku ke-r = $\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1}$

Contoh 1.

Hitunglah koefisien $x^6$ dari $(3x+4)^7$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(3x+4)^7$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=3x$; $b=4$; $n=7$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(3x)^{7-r+1}.4^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^6$ maka:
$\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r}=(...)x^6$
$\begin{align}8-r &=6 \\ 8-6 &=r \\ r &=2 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).4^{r-1}(3x)^{8-r} \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=\left( \begin{matrix} 7 \\ 2-1 \\ \end{matrix} \right).4^{2-1}(3x)^{8-2} \\ &=\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \\ \end{matrix} \right).4(3x)^6 \\ &=\frac{7!}{1!(7-1)!}.4.729x^6 \\ &=\frac{7!}{1!6!}.2916x^6 \\ &=\frac{7.\cancel{6!}}{1.\cancel{6!}}.2916x^6 \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=20412x^6 \end{align}$
Jadi, koefisien $x^6$ dari $(3x+4)^7$ adalah 20.412.

---

Contoh 2.

Hitunglah koefisien $x^{10}$ dari $(x^3-2x)^6$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(x^3-2x)^6$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=x^3$; $b=2x$; $n=6$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(x^3)^{6-r+1}.(2x)^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)(x^3)^{7-r}.2^{r-1}.x^{r-1} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{21-3r}.x^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^{10}$ maka:
$\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r}=(...)x^{10}$
$\begin{align}20-2r &=10 \\ 20-10 &=2r \\ 2r &=10 \\ r &=5 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).2^{r-1}.x^{20-2r} \\ \text{suku}\,\text{ke-5} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 5-1 \\ \end{matrix} \right).2^{5-1}.x^{20-2.5} \\ &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \\ \end{matrix} \right).2^4.x^{10} \\ &=\frac{6!}{4!(6-4)!}.16x^{10} \\ &=\frac{6!}{4!2!}.16x^{10} \\ &=\frac{\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.5.\cancel{4!}}{\cancel{4!}.\cancel{2}.1}.16x^{10} \\ \text{suku}\,\text{ke-5} &=240x^{10} \end{align}$
Jadi, koefisien $x^{10}$ dari $(x^3-2x)^6$ adalah 240.

---

Contoh 3. Soal Olimpiade SCE USU 2016

Hitunglah koefisien $x^5y^2$ dari $(x+y^2)^6$.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(x+y^2)^6$ identik dengan $(a+b)^n$ dengan:
$a=x$; $b=y^2$; $n=6$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} n \\ r-1 \\ \end{matrix} \right)a^{n-r+1}.b^{r-1} \\ & =\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{6-r+1}.(y^2)^{r-1} \\ \text{suku}\,\text{ke-r} &= \left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2} \end{align}$
Dengan memisalkan suku ke-r adalah $(...)x^5y^2$ maka:
$\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2}=(...)x^5y^2$
$\begin{align}7-r &=5 \\ 7-5 &=r \\ r &=2 \end{align}$
$\begin{align} \text{suku}\,\text{ke-r} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ r-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-r}.y^{2r-2} \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &=\left( \begin{matrix} 6 \\ 2-1 \\ \end{matrix} \right).x^{7-2}.y^{2.2-2} \\ &= \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) x^5y^2 \\ &= \frac{6!}{1!(6-1)!}.x^5y^2 \\ &= \frac{6.\cancel{5!}}{1.\cancel{5!}}.x^5y^2 \\ \text{suku}\,\text{ke-2} &= 6x^5y^2 \end{align}$
Jadi, koefisien koefisien $x^5y^2$ dari $(x+y^2)^6$ adalah 6.

---

C. Soal Latihan

1. Tentukan koefisien $x^2y^3$ dari $(2x-y)^5$.
2. Tentukan suku kelima dari ekspansi binomial $(x+2y)^{10}$.
3. Tentukan koefisien suku ke empat dari $(x-3y)^7$.
4. Hitunglah koefisien $x^5$ dari uraian $\left( x^2+\frac{1}{2x} \right)^7$.
5. Tentukan suku keempat dari ekspansi binomial $\left( 2x^2-\frac{1}{2}y^3 \right)^8$.

Semoga postingan: Kaidah Pencacahan 5. Ekspansi Binomial Newton (Konsep Dasar dan Contoh Soal) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :