Pengukuran Sudut (Konsep Dasar Sudut, Ukuran Sudut dalam Derajat dan Radian)

A. Konsep Dasar Sudut

Untuk memahami masalah sudut, coba kita lakukan langkah-langkah berikut:

1. Lukislah titik O.
2. Lukislah sinar garis OA.
3. Putar sinar garis OA dengan pusat O sampai terjadi sinar garis OB, sehingga terbentuk sudut AOB.
4. Beri nama $\angle AOB=\theta $.

Perhatikan gambar berikut!

Sudut didefinisikan sebagai hasil rotasi dari sisi awal (initial side) yaitu OA ke sisi akhir (terminal side) yaitu OB.
Arah putaran memiliki makna dalam sudut.

• Jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah putaran jarum jam maka sudut bertanda positif.
• Jika arah putaran sudut searah dengan arah putaran jarum jam maka sudut bertanda negatif.

B. Ukuran sudut dalam Derajat

Perhatikan gambar berikut!

Satu putaran membentuk sudut $360^\circ $.

Definisi:
Satu derajat, ditulis $1{}^\circ $ adalah besar sudut yang dihasilkan oleh $\frac{1}{360}$ putaran, ditulis:
$1^\circ =\frac{1}{360}$ putaran.
Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit (‘), dan detik (“), dengan konversi:
$1^\circ =60'$ dan $1^\circ =3600''$

Contoh 1.

Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam derajat.
a) $\frac{4}{9}$ putaran
b) $\frac{3}{10}$ putaran
Penyelesaian:
a) $\frac{4}{9}$ putaran = ...$^\circ$
$\begin{align}\frac{4}{9}\,\text{putaran}\, &= \frac{4}{\cancel{9}}\times \overset{40^\circ }{\mathop{\cancel{360^\circ }}}\, \\ &= 4 \times 40^\circ \\ &= 160^\circ \end{align}$
b)$\frac{3}{10}$ putaran = ...$^\circ$
$\begin{align}\frac{3}{10}\,\text{putaran}\, &= \frac{3}{\cancel{10}}\times \overset{36^\circ }{\mathop{\cancel{360^\circ }}}\, \\ &= 3\times 36^\circ \\ &= 108^\circ \end{align}$

Contoh 2.

Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam derajat, menit dan detik.
a) $37,6^\circ $
b) $26,73^\circ $
Penyelesaian:
a) $37,6^\circ $ = ...
$\begin{align}37,6^\circ &= 37^\circ +(0,6)^\circ \\ &= 37^\circ +(0,6 \times 60') \\ &= 37^\circ +36' \\ &= 37^\circ 36' \end{align}$
b) $26,73^\circ $ = ...
$\begin{align}26,73^\circ &= 26^\circ +(0,73)^\circ \\ &= 26^\circ +(0,73\times 60') \\ &= 26^\circ +43,8' \\ &= 26^\circ +43'+0,8' \\ &= 26^\circ +43'+(0,8\times 60'') \\ &= 26^\circ +43'+48'' \\ &= 26^\circ 43'48'' \end{align}$

Contoh 3.

Nyatakanlah ukuran sudut berikut dalam derajat.
a) $3^\circ 45'$
b) $12^\circ 26'38''$
Penyelesaian:
Untuk mengubah satuan sudut $a{}^\circ b'c''$ dapat kita gunakan rumus berikut:
$a^\circ b'c''=a^\circ +{{\left( \frac{b\times 60+c}{3600} \right)}^{o}}$
a) $3^\circ 45'$ = ... $^\circ$
$\begin{align}3^\circ 45' &=3^\circ +{{\left( \frac{45\times 60+0}{3600} \right)}^{o}} \\ &= 3^\circ +{{\left( \frac{2700}{3600} \right)}^{o}} \\ &= 3^\circ +{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{o}} \\ &= 3^\circ +0,75^\circ \\ &= 3,75^\circ \end{align}$
b) $12^\circ 26'38''$ = ... $^\circ$
$\begin{align}12^\circ 26'38'' &=12^\circ +{{\left( \frac{26\times 60+38}{3600} \right)}^{o}} \\ &= 12^\circ +{{\left( \frac{1598}{3600} \right)}^{o}} \\ &= 12^\circ +0,4439^\circ \\ &= 12,4439^\circ \end{align}$

C. Ukuran Sudut dalam Radian

Definisi:
Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran sebesar jari-jari lingkaran. Secara geometri perhatikan gambar berikut!

$\begin{align}\angle AOB &= \frac{\text{busur}\,AB}{OA}\,\text{rad} \\ &= \frac{r}{r}\,\text{rad} \\ &= 1\,\text{rad} \end{align}$

Selanjutnya kita akan menghitung nilai sudut satu putaran dalam ukuran radian.
Perhatikan gambar berikut!

$\begin{align}\angle AOB &=\frac{\text{busur}\,AB}{OA}\,\text{rad} \\ \frac{1}{2}\,\text{putaran} &=\frac{\pi r}{r}\,\text{rad} \\ \frac{1}{2}\,\text{putaran} &=\pi \,\text{rad} \\ 1\,\text{putaran} &=2\pi \,\text{rad} \end{align}$

Hubungan derajat dengan radian

$\begin{align}1\,\text{putaran} &= 360^\circ \\ 2\pi \,\text{rad} &= 360^\circ \\ \pi \,\text{rad} &= 180^\circ \\ 1\,\text{rad} &= \frac{180^\circ }{\pi } \\ 1\,\text{rad} &= \frac{180^\circ }{3,14} \\ 1\,\text{rad} &= 57,3248^\circ \end{align}$
Ingat: $\pi \,\text{rad}=180^\circ $

Contoh:

Selesaikanlah soal-soal ukuran sudut berikut:
a) $\frac{5}{9}\pi \,\text{rad}=...{}^\circ $
b) $120^\circ $ = ... rad
Penyelesaian:
a) $\frac{5}{9}\pi \,\text{rad}=...{}^\circ $
$\begin{align}\frac{5}{9}\pi \,\text{rad} &=\frac{5}{\cancel{9}}\times \overset{20^\circ }{\mathop{\cancel{180^\circ }}}\, \\ &= 5 \times 20^\circ \\ &= 100^\circ \end{align}$
b) $120^\circ $ = ... rad
$\begin{align} 120^\circ &=\overset{2}{\mathop{\cancel{120^\circ }}}\,\times \frac{\pi }{\overset{3}{\mathop{\cancel{180^\circ }}}\,}\,\text{rad} \\ &= \frac{2\pi }{3}\,\text{rad} \end{align}$

Soal Latihan

---

1. Tentukan besar sudut $\frac{5}{6}$ putaran dalam satuan derajat.
2. Tentukan besar sudut $\frac{5}{18}$ putaran dalam satuan radian.
3. Nyatakanlah sudut $210{}^\circ $ dalam satuan radian.
4. Nyatakanlah sudut $\frac{11}{12}\pi $ rad dalam satuan derajat.
5. Nyatakanlah sudut $19,67{}^\circ $ dalam satuan derajat, menit, dan detik.

Share :