Peluang 3. Peluang Kejadian Majemuk

A. Peluang Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian dan $A^c$ adalah komplemen dari kejadian A, maka berlaku:
$P(A)+P(A^c)=1$
$P(A)=1-P(A^c)$
$P(A^c)=1-P(A)$

Bukti:
Perhatikan diagram venn berikut!

Kejadian A didefinisikan di dalam ruang sampel S. Sehingga kejadian di luar A disebut komplemen dari kejadian A dan dinotasikan dengan $A^c$.
$A \cup A^c =S$, maka:
$\begin{align}n(A)+n(A^c) &= n(S) \\ \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(A^c)}{n(S)} &=\frac{n(S)}{n(S)} \\ P(A)+P(A^c) &=1 \\ P(A) &=1-P(A^c) \end{align}$
Terbukti.

Contoh 1.

Pada percobaan melempar dua buah dadu bersisi enam sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah paling sedikit 4.
Penyelesaian:
S = melempar dua buah dadu bersisi enam.
n(S) = 6 x 6 = 36
A = muncul mata dadu berjumlah paling sedikit 4.
$A^c$ = muncul mata dadu berjumlah kurang dari 4.
$A^c =\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$
$n(A^c)=3$
$P(A^c) =\frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
$\begin{align}P(A) &=1-P(A^c) \\ &=1-\frac{1}{12} \\ P(A) &=\frac{11}{12} \end{align}$
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah paling sedikit 4 adalah $\frac{11}{12}$.

---

Contoh 2.

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola hijau. Jika diambil 2 bola secara acak sekaligus, tentukan peluang terambil kedua bola bukan berwarna hijau.
Penyelesaian:
S = Mengambil 2 bola sekaligus dari 12 bola.
$\begin{align}n(S) &= _{12}C_2 \\ &=\frac{12!}{2!.(12-2)!} \\ &=\frac{12!}{2!.10!} \\ &=\frac{12.11.\cancel{10!}}{2.1.\cancel{10!}} \\ n(S) &=66 \end{align}$
A = Kejadian terambil kedua bola bukan hijau.
Kemungkinan-kemungkinan terambil kedua bola bukan hijau adalah:

• Terambil bola berwarna hijau dan bola berwarna merah.
• Terambil bola berwarna hijau dan bola berwarna putih.
• Terambil bola berwarna merah dan bola berwarna putih.
• Terambil kedua bola berwarna merah.
• Terambil kedua bola berwarna putih.

Jika ini kita hitung seluruhnya, maka butuh proses panjang. Tentu ini tidak efektif, maka kita gunakan peluang komplemen.
$A^c$ = terambil kedua bola hijau.
$\begin{align}n(A^c) &= _3C_2 \\ &=\frac{3!}{2!.1!} \\ &=\frac{3.\cancel{2!}}{\cancel{2!}.1} \\ n(A) &=3 \end{align}$
$P(A^c)=\frac{n(A^c)}{n(S)}=\frac{3}{66}=\frac{1}{22}$
$\begin{align}P(A) &=1-P(A^c) \\ &=1-\frac{1}{22} \\ P(A) &=\frac{21}{22} \end{align}$
Jadi, peluang terambil kedua bola bukan hijau adalah $\frac{21}{22}$.

---

B. Peluang Dua Kejadian Saling Lepas

Definisi:
Dua kejadian saling lepas adalah dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan.
Perhatikan diagram venn berikut!

A dan B dua kejadian saling lepas.
$A\cap B=\varnothing $ atau $n(A\cap B)=0$

Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas maka:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

---

Contoh 1.

Sebuah kantong berisi 9 kelereng biru, 6 kelereng kuning, dan 4 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil dari kantong tersebut. Tentukan peluang terambilnya kelereng biru atau kuning.
Penyelesaian:
S = Mengambil 1 kelereng dari 19 kelereng.
n(S) = 19
A = Kejadian terambil satu kelereng biru
n(A) = 9
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{9}{19}$
B = Kejadian terambil satu kelereng kuning.
n(B) = 6
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{6}{19}$
A dan B adalah dua kejadian saling lepas, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B) \\ &=\frac{9}{19}+\frac{6}{19} \\ P(A\cup B) &=\frac{15}{19} \end{align}$
Jadi, peluang terambil kelereng biru atau kuning adalah $\frac{15}{19}$.

---

Contoh 2.

Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus sebanyak satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 5 atau 7.
Penyelesaian:
S = pelemparan dua buah dadu
n(S) = 6 x 6 = 36
A = Kejadian munculnya dadu berjumlah 5.
A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
n(A) = 4
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{36}$
B = Kejadian munculnya mata dadu berjumlah 7.
B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
n(B) = 6
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{6}{36}$
A dan B dua kejadian saling lepas maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B) \\ &=\frac{4}{36}+\frac{6}{36} \\ &=\frac{10}{36} \\ P(A\cup B) &=\frac{5}{18} \end{align}$
Jadi, peluang munculnya mata dadu berjumlah 5 atau 7 adalah $\frac{15}{18}$.

---

C. Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Lepas

Dua kejadian tidak saling lepas, jika terdapat elemen yang sama antara kejadian yang satu dengan kejadian yang lainnya.
Perhatikan diagram venn berikut!

A dan B dua kejadian tidak saling bebas.
$A\cap B\ne \varnothing $ atau $n(A\cap B)\ne 0$

Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas maka:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Contoh 1.

Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu genap atau prima.
Penyelesaian:
S = Pelemparan sebuah dadu.
n(S) = 6
A = Kejadian munculnya mata dadu genap
A = {2, 4, 6} maka n(A) = 3
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}$
B = Kejadian munculnya mata dadu bilangan prima
B = {2, 3, 5} maka n(B) = 3
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{6}$
Perhatikan kejadian A dan B, pada kejadian A dan kejadian B terdapat elemen yang sama yaitu 2, ditulis:
$A\cap B=\{2\}$ maka $n(A\cap B)=1$
$P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{6}$
A dan B dua kejadian tidak saling lepas, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ &=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6} \\ P(A\cup B) &=\frac{5}{6} \end{align}$
Jadi, peluang munculnya mata dadu genap atau prima adalah $\frac{5}{6}$.

---

Contoh 2.

Dari 20 kartu yang diberi nomor 5, 6, 7, 8, ..., 25 untuk setiap kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu dengan nomor kelipatan 3 atau 5.
Penyelesaian:
S = Mengambil 1 kartu dari 20 kartu
n(S) = 20
A = Kejadian terambilnya 1 kartu dengan nomor kelipatan 3.
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
n(A) = 7
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{20}$
B = Kejadian terambilnya 1 kartu dengan nomor kelipatan 5.
B = {5, 10, 15, 20, 25}
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{5}{20}$
Perhatikan kejadian A dan B, terdapat elemen yang sama yaitu 15.
$A\cap B=\{15\}$ maka $n(A\cap B)=1$
$P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{20}$
A dan B dua kejadian tidak saling lepas, maka:
$\begin{align}P(A\cup B) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ &=\frac{7}{20}+\frac{5}{20}-\frac{1}{20} \\ P(A\cup B) &=\frac{11}{20} \end{align}$
Jadi, peluang muncul mata dadu genap atau prima adalah $\frac{11}{20}$.

---

D. Peluang Dua Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian disebut saling bebas jika peluang munculnya kejadian pertama tidak memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.

Jika A dan B dua kejadian saling bebas, maka peluang terjadinya A dan B adalah:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Contoh 1.

Peluang seorang dokter dapat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu adalah 0,7. Jika dokter tersebut salah diagnosa, peluang pasien meninggal 0,8. Berapakah peluang dokter tersebut salah diagnosa dan pasien meninggal?
Penyelesaian:
P(A) = peluang dokter dapat mendiagnosa
P(A)= 0,7
$\text{P(}{{\text{A}}^{\text{c}}}\text{)}$ = peluang dokter salah diagnosa.
$\begin{align}P(A^c)=1-P(A) \\ &=1-0,7 \\ P(A^c) &=0,3 \end{align}$
P(B) = peluang pasing meninggal
P(B) = 0,3
Peluang dokter salah diagnosa dan pasien meninggal adalah:
$\begin{align}P(A^c \cap B) &=P(A^c)\times P(B) \\ &=(0,3)\times (0,8) \\ P(A^c \cap B) &=0,24 \end{align}$

---

Contoh 2.

Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, dalam kotak II terdapat 2 bola merah dan 6 bola hitam. Dari setiap kotak diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya 2 bola putih dari kotak I dan 2 bola hitam dari kotak kedua.
Penyelesaian:
Kotak I
S = mengambil 2 bola dari 7 bola
$\begin{align}n(S) &= _7C_2 \\ &=\frac{7!}{2!(7-2)!} \\ &=\frac{7!}{2!.5!} \\ &=\frac{7.\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.\cancel{5!}}{\cancel{2}.1.\cancel{5!}} \\ n(S) &= 21 \end{align}$
A = terambil 2 bola putih dari kotak I
$\begin{align}n(A)&= _4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!.(4-2)!} \\ &=\frac{4!}{2!.2!} \\ &=\frac{\overset{2}{\mathop{\cancel{4}}}\,.3.\cancel{2!}}{\cancel{2}.1.\cancel{2!}} \\ n(A) &=6 \end{align}$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$
Kotak II
S = Mengambil 2 bola dari 8 bola.
$\begin{align} n(S) &= _8C_2 \\ &=\frac{8!}{2!.(8-2)!} \\ &=\frac{8!}{2!.6!} \\ &=\frac{\overset{4}{\mathop{\cancel{8}}}\,.7.\cancel{6!}}{\cancel{2}.1.\cancel{6!}} \\ n(S) &=28 \end{align}$
B = terambil 2 bola hitam dari kotak II
$\begin{align}n(B) &= _6C_2 \\ &=\frac{6!}{2!.(6-2)!} \\ &=\frac{6!}{2!.4!} \\ &=\frac{\overset{3}{\mathop{\cancel{6}}}\,.5.\cancel{4!}}{\cancel{2}.1.\cancel{4!}} \\ n(B) &=15 \end{align}$
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{15}{28}$
Peluang terambil 2 bola putih dari kotak I dan 2 bola hitam dari kotak kedua adalah:
$\begin{align}P(A^c \cap B) &=P(A^c)\times P(B) \\ &=\frac{2}{7}\times \frac{15}{28} \\ &=\frac{30}{196} \\ P(A^c \cap B) &=\frac{15}{98} \end{align}$

---

E. Peluang Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Kejadian Bersyarat)

Dua kejadian disebut kejadian tidak saling bebas atau bersyarat jika peluang munculnya kejadian pertama memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua.
Jika peluang kejadian B dipengaruhi oleh kejadian A ditulis: $P(B|A)$.
Jika peluang kejadian A dipengaruhi oleh kejadian B ditulis: $P(A|B)$.

Jika A dan B dua kejadian tidak saling bebas, maka peluang terjadinya A dan B adalah:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$

Contoh 1.

Dalam suatu kotak berisi 10 bola merah dan 10 bola hijau. Jika diambil 2 bola satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang terambil kedua bola berwarna hijau.
Penyelesaian:
A = kejadian terambil 1 bola hijau pada pengambilan pertama.
$P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
Satu bola hijau pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, maka:
Banyak bola sebelum pengambilan kedua adalah = 15 – 1 = 14.
Banyak bola hijau sebelum pengambilan kedua adalah = 5 – 1 = 4.
Jika B adalah kejadian terambilnya 1 bola hijau pada pengambilan kedua, maka:
$P(B|A)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
Peluang terambil kedua bola berwarna hijau berturut-turut adalah:
$\begin{align}P(A\cap B) &=P(A)\times P(B|A) \\ &=\frac{1}{3}\times \frac{2}{7} \\ P(A\cap B) &=\frac{2}{21} \end{align}$

---

Contoh 2.

Jika A dan B dua kejadian dengan $P(A)=\frac{8}{15}$, $P(B)=\frac{7}{12}$, $P(A|B)=\frac{4}{7}$, maka $P(B|A)$ = ...
Penyelesaian:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)$
$P(A\cap B)=P(B)\times P(A|B)$
$\begin{align}P(A)\times P(B|A) &=P(B)\times P(A|B) \\ \frac{8}{15}\times P(B|A) &=\frac{7}{12}\times \frac{4}{7} \\ \frac{8}{15}\times P(B|A) &=\frac{1}{3} \\ P(B|A) &=\frac{1}{3}\times \frac{15}{8} \\ P(B|A) &=\frac{5}{8} \end{align}$

---

F. Soal Latihan

1. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang mata dadu yang muncul berjumlah 12 adalah $\frac{1}{36}$. Berapakah peluang muculnya mata dadu yang bukan berjumlah 12?
2. Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali secara bersamaan. Tentukan peluang muculnya sisi gambar dan angka 3.
3. Pada pelemparan dua buah dadu bersama-sama satu kali, tentukan peluang muncul jumlah mata dadu lebih dari 8 atau berjumlah 7.
4. Pada percobaan mengambil satu kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge dan pelemparan sebuah dadu satu kali, tentukan peluang diperolehnya kartu queen dan mata dadu ganjil!
5. Dalam kotak terdapat 5 bola biru dan 3 bola hitam. Jika diambil 2 bola satu per satu tanpa dikembalikan, tentukan peluang bola yang terambil itu berturut-turut bola biru dan hitam.

Semoga postingan: Peluang 3. Peluang Kejadian Majemuk ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :