Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Home / Kaidah Pencacahan / Matematika Wajib Kelas 12

Kaidah Pencacahan 1. Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian

Post a Comment

A. Aturan Penjumlahan

Misalkan, ada $n_1$ cara melakukan kegiatan 1, $n_2$ cara melakukan kegiatan 2, ..., $n_k$ cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:
$n_1+n_2+n_3+...+n_k$
Kapan digunakan aturan penjumlahan?
Aturan penjumlahan dipakai jika:
  1. Ada beberapa kegiatan berbeda namun hanya satu yang dilakukan.
  2. Kita sedang membagi kasus (terkadang ketika membagi kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).
Contoh 1.
Sultan memiliki 3 mobil, 2 sepeda motor dan 4 sepeda. Berapa cara Sultan dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Penyelesaian: Lihat/Tutup Perhatikan bahwa Sultan hanya dapat menggunakan salah satu kendaraan (tidak dapat menggunakannya bersamaan).
Jadi, dengan aturan penjumlahan banyak cara Sultan pergi ke kantor dengan kendarannya adalah:
3 + 2 + 4 = 9 cara.
Contoh 2.
Agnes Monika hendak mendengarkan lagu, terdiri dari 5 lagu irama pop, 4 lagu irama rock dan 2 irama dangdut. Berapa cara ia dapat memilih lagu yang akan didengar?
Penyelesaian: Lihat/Tutup Agnes Monika hanya dapat mendengar salah satu lagu (tidak dapat mendengarkannya secara bersamaan).
Jadi, dengan aturan penjumlahan, banyak cara Agnes Monika memilih lagu yang akan didengarnya adalah:
5 + 4 + 2 = 11 cara

B. Aturan Perkalian

Misalkan, ada $n_1$ cara melakukan kegiatan 1, $n_2$ cara melakukan kegiatan 2, ..., $n_k$ cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:
$n_1 \times n_2 \times n_3 \times ... \times n_k$
Kapan digunakan aturan perkalian?
Aturan perkalian dipakai jika:
  1. Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
  2. Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.
Contoh 1.
Candra mempunyai 6 buah kaus, 5 buah kemeja dan 4 buah celana panjang. Tentukan banyaknya variasi pakaian yang dapat dipakai Candra?
Penyelesaian: Lihat/Tutup Candra dapat memakai kaus, kemeja, dan celana panjang secara bersamaan.
Jadi, dengan aturan perkalian banyak variasi pakaian yang dapat dipakai Candra adalah:
Kaidah Pencacahan (Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian
= 6 x 5 x 4
= 120 variasi
Contoh 2.
Suatu menu makan siang terdiri dari sayur, lauk, buah dan minuman masing-masing satu macam. Jika terdapat 3 macam sayur, 4 macam lauk, 5 macam buah dan 3 macam minuman. Berapakah banyaknya menu makan siang yang dapat dipilih?
Penyelesaian: Lihat/Tutup Dengan aturan perkalian banyak menu yang dapat dipilih adalah:
Aturan Perkalian (Filling Slot)
= 3 x 4 x 5 x 3
= 180 menu

C. Pemantapan Aturan Penjumlahan dan Perkalian

Soal No. 1
Tentukan banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka 2, 3, 4, 5, dan 7.
Penyelesaian: Lihat/Tutup Kita gunakan aturan pengisian tempat atau sering juga disebut aturan perkalian.
Banyak angka yang tersedia adalah 5 angka yaitu 2, 3, 4, 5 dan 7.
Karena kita akan membentuk tiga angka berbeda, maka kita sediakan 3 kotak.
  • Kotak pertama untuk angka ratusan, banyak angka yang dapat digunakan untuk angka ratusan adalah 5 angka.
  • Kotak kedua untuk angka puluhan, karena susunan angka harus berbeda berarti angka yang sudah terpilih untuk angka ratusan tidak digunakan lagi, sehingga sisa angka yang dapat digunakan untuk angka puluhan adalah 4 angka.
  • Kotak ketiga untuk angka satuan, karena susunan angka harus berbeda maka angka yang sudah terpilih untuk angka ratusan dan puluhan tidak digunakan lagi, sehingga sisa angka yang dapat digunakan untuk angka satuan adalah 3 angka.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan pengisian kotak berikut:
Aturan Perkalian (Pengisian Tempat Yang Tersedia)
Soal No. 2
Tentukan banyak bilangan ribuan yang dibentuk dari angka 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8 dengan syarat tidak ada angka yang berulang.
Penyelesaian: Lihat/Tutup Karena kita akan membentuk bilangan ribuan (4 angka berbeda), maka kita sediakan 4 kotak.
  • Kotak pertama untuk angka ribuan. Dari angka 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8, angka yang dapat digunakan untuk ribuan adalah 1, 3, 4, 5, 7 dan 8. Jadi, banyak angka untuk ribuan adalah 6 angka.
  • Kotak kedua untuk angka ratusan. Salah satu dari angka yang tersedia yaitu 0, 1, 3, 4, 5, 7 dan 8 telah kita gunakan untuk angka ribuan, maka sisa angka untuk ratusan adalah 6 angka.
  • Kotak ketiga untuk angka puluhan. Dua angka telah kita gunakan untuk ribuan dan ratusan, maka angka yang tersisa untuk puluhan adalah 5 angka.
  • Kotak keempat untuk satuan. Tiga angka telah kita gunakan untuk ribuan, ratusan dan puluhan, maka angka yang tersisa untuk satuan adalah 4 angka.
Untuk lebih jelasnya perhatikan pengisian kotak berikut:
Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan)
= 6 x 6 x 5 x 4
= 720 bilangan
Soal No. 3
Tentukan banyak bilangan genap yang terdiri dari tiga angka berbeda yang kurang dari 500 dan dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
Penyelesaian: Lihat/Tutup Pada soal ini kita akan membentuk bilangan tiga angka dengan syarat:
  • Bilangan genap (angka satuan: 2, 4, 6)
  • Bilangan kurang dari 500 (angka ratusan: 1, 2, 3, 4)
Ternyata syarat 1) dan 2) saling beririsan.
Untuk itu, masalah ini kita bagi menjadi beberapa kasus, sebagai berikut:
Tahapan pengisian menetapkan angka ratusan, memilih angka satuan (genap), dan memilih angka puluhan.
Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian atau Filling Slot)
Soal No. 4
Dari 10 orang siswa akan dipilih masing-masing satu orang untuk menjabat sebagai Ketua, Wakil, Sekretaris dan Bendahara. Tentukan banyak pilihan yang mungkin.
Penyelesaian: Lihat/Tutup Kita akan memilih 4 orang maka kita sediakan 4 kotak.
Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan (Kaidah Pencacahan)
= 10 x 9 x 8 x 7
= 5040 pilihan.
Soal No. 5
Bu Erna yang tinggal di Jakarta ingin pergi ke Eropa via Turki. Rute dari Jakarta ke Turki ada 5 rute penerbangan. Rute dari Turki ke Eropa ada 6 rute penerbangan. Banyak semua pilihan rute penerbangan dari Jakarta ke Eropa pergi pulang jika tidak boleh melalui rute yang sama adalah ...
Penyelesaian: Lihat/Tutup Rute pergi: Jakarta – Turki – Eropa
Jakarta – Turki = 5 rute
Turki – Eropa = 6 rute
Seluruh rute pergi = 5 x 6 = 30 rute
Rute pulang: Eropa – Turki – Jakarta
(tidak boleh melalui rute yang sama, maka setiap rute dikurangi 1)
Eropa – Turki = 5 rute
Turki – Jakarta = 4 rute
Seluruh rute pulang = 5 x 4 = 20 rute
Jadi, seluruh rute pergi-pulang = rute pergi x rute pulang yaitu 30 x 20 = 600 pilihan rute.

D. Soal Latihan

  1. Gloria Tikva memiliki 4 buah blazer, 2 buah celana panjang, dan 3 buah sepatu. Ada berapa cara ia dapat berpakaian lengkap?
  2. Pak Anang ingin membuat password pada akun gmailnya yang baru. Password yang akan dibuat Pak Anang terdiri dari 5 karakter berbeda terdiri dari 1 huruf dan diikuti 4 angka. Tentukan banyak pilihan password yang dapat dibuat oleh Pak Anang. (huruf A, B, C, ... berbeda dengan a, b, c, ...).
  3. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 disusun bilangan terdiri dari 4 angka yang lebih dari 3.000. Tentukan banyak bilangan itu.
  4. Tentukan banyaknya bilangan antara 2.000 dan 6.000 yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 dan tidak ada angka yang sama.
  5. Berapa banyaknya bilangan genap tiga digit (angka) yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 3, 4, 6, 7 dan 8 jika disyaratkan tidak ada angka (digit) yang berulang dan bilangan tersebut lebih besar dari 175.
Semoga postingan: Kaidah Pencacahan 1. Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Kaidah Pencacahan 1. Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian"

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.