Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Bentuk-bentuk Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Jika $\left| f(x) \right| < a$ maka $-a < f(x) < a$.
2. Jika $\left| f(x) \right| > a$ maka $f(x) < -a$ atau $f(x) > a$.
3. Jika $\left| f(x) \right| < \left| g(x) \right|$ maka $[f(x)+g(x)].[f(x)-g(x)] < 0$
4. Jika $\left| f(x) \right| > \left| g(x) \right|$ maka $[f(x)+g(x)].[f(x)-g(x)] > 0$
5. Jika $\left| f(x) \right| < g(x)$ maka $[f(x)+g(x)].[f(x)-g(x)] < 0 \cap g(x) > 0$.
6. Jika $\left| f(x) \right| > g(x)$ maka $[f(x)+g(x)].[f(x)-g(x)] > 0 \cup g(x) \le 0$.

B. Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Contoh 1.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $|x+2|\le 1$ adalah …
Pembahasan:
$|x+2|\le 1\Leftrightarrow \left| f(x) \right|\le a$
maka solusinya:
$\begin{matrix} -a & \le & f(x) & \le & a \\ -1 & \le & x+2 & \le & 1 \\ -1-2 & \le & x+2-2 & \le & 1-2 \\ -3 & \le & x & \le & -1 \\ \end{matrix}$
HP = $\{x|-3\le x\le -1,x\in R\}$

Contoh 2.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak $|3x+2|>5$
Pembahasan:
$|3x+2|>5\Leftrightarrow \left| f(x) \right|>a$
maka solusinya:
$\begin{matrix} f(x)<-a & \text{atau} & f(x)>a \\ 3x+2<-5 & \text{atau} & 3x+2>5 \\ 3x<-5-2 & \text{atau} & 3x>5-2 \\ 3x<-7 & \text{atau} & 3x>3 \\ x<-\frac{7}{3} & \text{atau} & x>1 \\ \end{matrix}$
HP = $\left\{ x|x<-\frac{7}{3}\,\,atau\,\,x>1 \right\}$

Contoh 3.

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|2x-5|\le |x+1|$ adalah ….
Pembahasan:
$\left| 2x-5 \right|\le \left| x+1 \right|\Leftrightarrow \left| f(x) \right|\le \left| g(x) \right|$
maka solusinya adalah:
$\begin{align}[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] & \le 0 \\ (2x-5+x+1)(2x-5-x-1) & \le 0 \\ (3x-4)(x-6) & \le 0 \end{align}$
Nilai x pembuat nol:
$3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}$
atau
$x-6=0\Rightarrow x=6$
HP = $\frac{4}{3}\le x\le 6$

Contoh 4.

Himpunan penyelesaian dari $|2x+3|>|x+1|$ adalah …
Pembahasan:
Ingat:
$|2x+3|>|x+1|\Leftrightarrow \left| f(x) \right|>\left| g(x) \right|$
maka solusinya:
$[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]>0$
$(2x+3+x+1)(2x+3-x-1)>0$
$(3x+4)(x+2)>0$
HP = $\left\{ x|x<-2\,\,\text{atau}\,\,x>-\frac{4}{3},x\in R \right\}$

Contoh 5.

Carilah semua nilai $x$ yang memenuhi $|x+2|\le \frac{1}{2}(6-x)$.
Pembahasan:
$|x+2|\le \frac{1}{2}(6-x)$
$|2x+4|\le 6-x$
memenuhi bentuk $\left| f(x) \right|\le g(x)$, dengan $f(x)=2x+4$ dan $g(x)=6-x$, maka solusinya:
$\left[ f(x)+g(x) \right]\left[ f(x)-g(x) \right]\le 0$ $\cap $ $g(x)>0$.
i) $\left[ f(x)+g(x) \right]\left[ f(x)-g(x) \right]\le 0$
$\left[ 2x+4+(6-x) \right]\left[ 2x+4-(6-x) \right]\le 0$
$\left( x+10 \right)\left( 3x-2 \right)\le 0$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+10=0\Rightarrow x=-10$
$3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$

$HP_1=\left\{ -10\le x\le \frac{2}{3} \right\}$
ii) $g(x)>0$ maka:
$\begin{align}6-x &> 0 \\ -x &> -6 \\ x &< 6 \end{align}$
$HP_2=\left\{ x<6 \right\}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:
$HP=HP_1 \cap HP_2$

$HP=\left\{ -10\le x\le \frac{2}{3} \right\}$

Contoh 6.

Carilah semua nilai $x$ yang memenuhi $|3x-1|\ge 2x+5$.
Pembahasan:
$|3x-1|\ge 2x+5$ memenuhi bentuk $\left| f(x) \right|\ge g(x)$ dengan $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=2x+5$ maka solusinya:
$\left[ f(x)+g(x) \right]\left[ f(x)-g(x) \right]\ge 0$ $\cup $ $g(x)\le 0$.
(i) $\left[ f(x)+g(x) \right]\left[ f(x)-g(x) \right]\ge 0$
$\left[ 3x-1+2x+5 \right]\left[ 3x-1-(2x+5) \right]\ge 0$
$(5x+4)(x-6)\ge 0$
Nilai $x$ pembuat nol:
$5x+4=0\Rightarrow x=-\frac{4}{5}$
$x-6=0 \Rightarrow x=6$
$\text{HP}_1 = \left\{ x\le -\frac{4}{5}\,\text{atau}\,x\ge 6 \right\}$
(ii) syarat: $g(x)\le 0$
$\begin{align}2x+5 &\le 0 \\ 2x &\le -5 \\ x &\le -\frac{5}{2} \end{align}$
$\text{HP}_2 =\left\{ x\le -\frac{5}{2} \right\}$
$HP = HP_1 \cup HP_2$
$\text{HP}=\left\{ x\le -\frac{4}{5}\,\text{atau}\,x\ge 6 \right\}$

Contoh 7.

Penyelesaian dari $\left| \frac{2x+1}{x-1} \right|-3>0$ adalah ….
Pembahasan:
i) syarat:
$\begin{align}x-1 &\ne 0 \\ x &\ne 1 \end{align}$
$HP_1$ = $x < 1\,\text{atau}\,x > 1$
ii)
$\begin{align}\left| \frac{2x+1}{x-1} \right|-3 &>0 \\ \left| \frac{2x+1}{x-1} \right| &>3 \\ \frac{\left| 2x+1 \right|}{\left| x-1 \right|} &>3 \\ \left| 2x+1 \right| &>3\left| x-1 \right| \\ \left| 2x+1 \right| &>\left| 3x-3 \right| \end{align}$
$(2x+1+3x-3)(2x+1-3x+3)>0$
$\begin{align}(5x-2)(-x+4) &> 0 \\ (5x-2).(-1)(x-4) &> 0 \\ (5x-2)(x-4) &< 0 \end{align}$
$HP_2$ = $\frac{2}{5} < x < 4$
HP = $HP_1 \cap HP_2$
HP = $\frac{2}{5} < x <1$ atau $1< x < 4$

Contoh 8.

Penyelesaian dari pertidaksamaan $|x-3|^2<4|x-3|+12$ adalah …
Pembahasan:
$|x-3|^2 < 4|x-3| + 12$
$|x-3|^2 - 4|x-3| - 12 < 0$
Misal: $|x-3|=p$ maka:
$p^2 -4p - 12 < 0$
$(p-6)(p+2) < 0$
$-2 < p < 6$
$-2 < |x-3| < 6$
i) $|x-3| > -2$ maka HP1 = $x \in R$
ii) $|x-3| < 6$
$-6 < x-3 < 6$
$-6+3 < x-3+3 < 6+3$
$-3 < x < 9$
HP2 = $-3 < x < 9 $
HP = $HP_1 \cap HP_2$
HP = $-3 < x < 9$

Contoh 9.

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2}{|x-1|} < \frac{1}{|x+1|}$ adalah …
Pembahasan:
$\frac{2}{|x-1|} < \frac{1}{|x+1|}$
$\left| \frac{2}{x-1} \right| < \left| \frac{1}{x+1} \right|$
$\left( \frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1} \right)\left( \frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) < 0$
$\left( \frac{2x+2+x-1}{(x-1)(x+1)} \right)\left( \frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)} \right) < 0$
$\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}.\frac{x+3}{(x-1)(x+1)} < 0$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x=-\frac{1}{3}$, $x=-3$, $x=1$, $x=-1$
Garis bilangan:

HP = $-3 < x < -1$ atau $-1 < x < -\frac{1}{3}$

Contoh 10.

Himpunan penyelesaian dari $|x^2-x-1| > 1$ adalah …
Pembahasan:
$|x^2-x-1| > 1$
i) $x^2-x-1 < -1$
$x^2-x < 0$
$x(x-1) < 0$
HP1 = $0 < x < 1$
ii) $x^2-x-1 > 1$
$x^2-x-2 > 0$
$(x+1)(x-2) > 0$
HP2 = $x < -1$ atau $x > 2$
HP = $HP_1 \cup HP_2$
HP = $x < -1$ atau $0 < x <1$ atau $x > 2$

C. Soal Latihan

Selesaikanlah pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
1) $\left| 3-2x \right| < 4$
2) $\left| \frac{x}{2}+5 \right| \ge 9$
3) $\left| x+5 \right| \le \left| 1-9x \right|$
4) $\left| 2x-6 \right| \ge \left| x-9 \right|$
5) $\left| 2x-1 \right| \le x-12$

Semoga postingan: Pertidaksamaan Nilai Mutlak ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :