SPLTV 1. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, baik dua atau tiga variabel dapat menggunakan metode-metode berikut ini:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Eliminasi-Substitusi
4. Metode Cramer
Sekarang yang akan kita bahas adalah menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan METODE SUBSTITUSI.

B. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Substisusi

Contoh 1.

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} 3x+2y-z &= -3 \\ 5y-2z &= 2 \\ 5z &= 20 \\ \end{matrix} \right.$
Pembahasan:
$\begin{matrix} 3x+2y-z = -3\,.......(1) \\ 5y-2z = 2\,.........(2) \\ 5z = 20\,.......(3) \\ \end{matrix}$
Dari persamaan (3):
$5z = 20 \Leftrightarrow z = 4$
$z = 4$ substitusi ke persamaan (2):
$\begin{align}5y-2z &= 2 \\ 5y-2.4 &= 2 \\ 5y &= 10 \\ y &= 2 \end{align}$
$y=2,\,z=4$ substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align}3x+2y-z &= -3 \\ 3x+2.2-4 &= -3 \\ 3x &= -3 \\ x &= -1 \end{align}$
HP = {(-1, 2, 4)}

Contoh 2.

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
$\left\{ \begin{matrix} 2x+z = 5 \\ y-2z = -3 \\ x+y = 1 \\ \end{matrix} \right.$
Pembahasan:
$2x+z = 5$ ...... (1)
$y-2z = -3$ .... (2)
$x+y = 1$ ......... (3)
Metode Substitusi:
Dari persamaan (1) diperoleh:
$\begin{align}2x+z &= 5 \\ z &= 5-2x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (2):
$\begin{align}y-2z &= -3 \\ y-2(5-2x) &= -3 \\ y-10+4x &= -3 \\ y &= 7-4x \end{align}$
Substitusi ke persamaan (3):
$\begin{align}x+y &= 1 \\ x+7-4x &= 1 \\ -3x &= -6 \\ x &= 2 \end{align}$
Substitusi ke:
$\begin{align}y &= 7-4x \\ &= 7-4.2 \\ y &= -1 \end{align}$
Substitusi $x=2$ ke:
$\begin{align}z &= 5-2x \\ &= 5-2.2 \\ z &= 1 \end{align}$
HP = {(2, -1, 1)}
$x_0+y_0+z_0 = 2+(-1)+1 = 2$

Contoh 3.

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} x+y+z = 12 \\ 2x-y+2z = 12 \\ 3x+2y-z = 8 \\ \end{matrix} \right.$
Pembahasan:
$x+y+z = 12$ ......... (1)
$2x-y+2z = 12$ ..... (2)
$3x+2y-z = 8$ ....... (3)
Dari persamaan (1):
$\begin{align}x+y+z &= 12 \\ x &= 12-y-z\,....\,(4) \end{align}$
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2):
$\begin{align}2x-y+2z &= 12 \\ 2(12-y-z)-y+2z &= 12 \\ 24-2y-2z-y+2z &= 12 \\ -3y &= 12-24 \\ y &= 4 \end{align}$
$y = 4$ substitusi ke persamaan (3):
$\begin{align}3x+2y-z &= 8 \\ 3x+2.4-z &= 8 \\ 3x+8-z &= 8 \\ 3x-z &= 0 \\ z &= 3x\,.....\,(5) \end{align}$
$z = 3x$ dan $y = 4$ substitusi ke persamaan (4):
$\begin{align}x &= 12-y-z \\ x &= 12-4-3x \\ 4x &= 8 \\ x &= 2 \end{align}$
$x = 2$ substitusi ke persamaan (5):
$z = 3x \Leftrightarrow z = 3.2 \Leftrightarrow z = 6$
HP = $\{2,4,6\}$

C. Soal Latihan

Gunakan metode substitusi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1. $\left\{ \begin{matrix} x-3y+2z = 9 \\ 2x+4y-3z = -9 \\ 3x-2y+5z = 12 \\ \end{matrix} \right.$
2. $\left\{ \begin{matrix}3p-2q+r = -1 \\ 2p+q-2r = 23 \\ -p+3q+r = 6 \\ \end{matrix} \right.$

Share :