SPLTV 3. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk Umum:
$\begin{align}a_1x+b_1y+c_1z &= d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= d_3 \end{align}$
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, baik dua atau tiga variabel dapat menggunakan metode-metode berikut ini:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Eliminasi-Substitusi
4. Metode Cramer
Sekarang, yang akan kita bahas adalah menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan METODE CAMPURAN (Eliminasi-Substitusi).

B. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi-Substitusi

Contoh 1.
Gunakan metode campuran (eliminasi-substitusi) untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} 2x-y+2z=9 \\ x-6y-3z=-28 \\ 3x+2y+z=16 \\ \end{matrix} \right.$.
Penyelesaian:
$\begin{align}2x-y+2z &= 9\,........\,\text{persamaan}\,(1) \\ x-6y-3z &= -28\,....\,\text{persamaan}\,(2) \\ 3x+2y+z &= 16 \,......\,\text{persamaan}\,(3) \end{align}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\left. \begin{align}2x-y+2z &= 9 \\ x-6y-3z &= -28 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 2 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}2x-y+2z &= 9 \\ 2x-12y-6z &= -56 \end{align}$
------------------------------------ (-)
$11y+8z=65\,....\,\text{persamaan}\,(4)$
Eliminasi $x$ dari persamaan (2) dan (3):
$\left. \begin{align}x-6y-3z &= -28 \\ 3x+2y+z &= 16 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 3 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}3x-18y-9z &= -84 \\ 3x+2y+z &= 16 \end{align}$
------------------------------------ (-)
$\begin{align}-20y-10z &= -100 \\ 2y+z &= 10\,....\,\text{persamaan}\,(5) \end{align}$
Eliminasi $y$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}11y+8z &= 65 \\ 2y+z &= 10 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 11 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}22y+16z &= 130 \\ 22y+11z &= 110 \end{align}$
------------------------------ (-)
$5z=20\Leftrightarrow z=4$
Substitusi $z=4$ ke persamaan (5):
$\begin{align}2y+z &= 10 \\ 2y+4 &= 10 \\ 2y &= 6 \\ y &= 3 \end{align}$
Substitusi $y=3$ dan $z=4$ ke persamaan (2):
$\begin{align}x-6y-3z &= -28 \\ x-6.3-3.4 &= -28 \\ x-18-12 &= -28 \\ x &= -28+30 \\ x &= 2 \end{align}$
HP = {(2,3,4)}

Contoh 2.
Gunakan metode campuran (eliminasi-substitusi) untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} 2x-4y+3z=-19 \\ 3x-y+2z=-11 \\ x+2y-5z=18 \\ \end{matrix} \right.$.
Penyelesaian:
$\begin{align}2x-4y+3z &= -19\,....\,\text{persamaan}\,(1) \\ 3x-y+2z &= -11\,....\,\text{persamaan}\,(2) \\ x+2y-5z &= 18\,......\,\text{persamaan}\,(3) \end{align}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (3):
$\left. \begin{align}2x-4y+3z &= -19 \\ x+2y-5z &= 18 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 2 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}2x-4y+3z &= -19 \\ 2x+4y-10z &= 36 \end{align}$
------------------------------------------ (-)
$-8y+13z=-55\,....\,\text{persamaan}\,(4)$
Eliminasi $x$ dari persamaan (2) dan (3):
$\left. \begin{align}3x-y+2z &= -11 \\ x+2y-5z &= 18 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 3 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}3x-y+2z &= -11 \\ 3x+6y-15z &= 54 \end{align}$
------------------------------------------- (-)
$-7y+17z=-65\,....\,\text{persamaan}\,(5)$
Eliminasi $y$ dari persamaan (5) dan (4):
$\left. \begin{align}-7y+17z &= -65 \\ -8y+13z &= -55 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 8 \\ \times 7 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}-56y+136z &= -520 \\ -56y+91z &= -385 \end{align}$
------------------------------------- (-)
$45z=-135\Leftrightarrow z=-3$
Substitusi $z=-3$ ke persamaan (4):
$\begin{align}-8y+13z &= -55 \\ -8y+13(-3) &= -55 \\ -8y-39 &= -55 \\ -8y &= -55+39 \\ -8y &= -16 \\ y &= 2 \end{align}$
Substitusi $y=2$ dan $z=-3$ ke persamaan (3):
$\begin{align}x+2y-5z &= 18 \\ x+2.2-5(-3) &= 18 \\ x+4+15 &= 18 \\ x &= -1 \end{align}$
HP = {(-1,2,-3)}

Contoh 3.
Gunakan metode campuran (eliminasi-substitusi) untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} 3x+2y-5z=2 \\ 2x-y+4z=4 \\ -5x+3y-z=0 \\ \end{matrix} \right.$
Penyelesaian:
$\begin{align}3x+2y-5z &= 2\,....\,\text{persamaan}\,(1) \\ 2x-y+4z &= 4\,....\,\text{persamaan}\,(2) \\ -5x+3y-z &= 0\,....\,\text{persamaan}\,(3) \end{align}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\left. \begin{align}3x+2y-5z &= 2 \\ 2x-y+4z &= 4 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 3 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}6x+4y-10z &= 4 \\ 6x-3y+12z &= 12 \end{align}$
------------------------------------ (-)
$7y-22z=-8\,....\,\text{persamaan}\,(4)$
Eliminasi $x$ dari persamaan (2) dan (3):
$\left. \begin{align}2x-y+4z &= 4 \\ -5x+3y-z &= 0 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 5 \\ \times 2 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}10x-5y+20z &= 20 \\ -10x+6y-2z &= 0 \end{align}$
---------------------------------------- (+)
$y+18z=20\,....\,\text{persamaan}\,(5)$
Eliminasi $y$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}7y-22z &= -8 \\ y+18z &= 20 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 7 \\ \end{matrix}$
$\begin{align}7y-22z &= -8 \\ 7y+126z &= 140 \end{align}$
-------------------------------- (-)
$-148z=-148 \Leftrightarrow z=1$
Substitusi $z=1$ ke persamaan (4):
$\begin{align}7y-22z &= -8 \\ 7y-22.1 &= -8 \\ 7y &= -8+22 \\ 7y &= 14 \\ y &= 2 \end{align}$
Substitusi $y=2$ dan $z=1$ ke persamaan (1):
$\begin{align}3x+2y-5z &= 2 \\ 3x+2.2-5.1 &= 2 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1 \end{align}$
HP = {(1,2,1)}

C. Soal Latihan

Gunakan metode campuran (eliminasi-substitusi) untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1. $\left\{ \begin{matrix} x+y+z=-6 \\ x-2y+z=3 \\ -2x+y+z=9 \\ \end{matrix} \right.$
2. $\left\{ \begin{matrix} 2x-y+z=6 \\ x-3y+z=-2 \\ x+2y-z=3 \\ \end{matrix} \right.$

Semoga postingan: SPLTV 3. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :