SPLTV 4. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Cramer (Determinan Matriks)

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, baik dua atau tiga variabel dapat menggunakan metode-metode berikut ini:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Eliminasi-Substitusi
4. Metode Cramer
Sekarang yang akan kita bahas adalah menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan METODE CRAMER.

B. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Cramer

Misalkan, suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV):
$\begin{align}a_1x+b_1y+c_1z &= d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= d_3 \\ \end{align}$
Solusi dari sistem persamaan tersebut menggunakan aturan cramer adalah sebagai berikut:
$D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{matrix} \right|$

$D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{matrix} \right|$

$D_y =\left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{matrix} \right|$

$D_z=\left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{matrix} \right|$

$x=\frac{D_x}{D}$; $y=\frac{D_y}{D}$; $z=\frac{D_z}{D}$

Cara menghitung $\left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right|$, gunakan metode sarrus.

Contoh:
Gunakan metode cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} x-2y+z=6 \\ 3x+y-2z=4 \\ 7x-6y-z=10 \\ \end{matrix} \right.$
Penyelesaian:
$\begin{matrix} x-2y+z=6 \\ 3x+y-2z=4 \\ 7x-6y-z=10 \\ \end{matrix}$

$\begin{align}D &= \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 7 & -6 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & 1 & -2 \\ {} & 3 & 1 \\ {} & 7 & -6 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (-1+28-18)-(7+12+6) \\ D &= -16 \end{align}$

$\begin{align}D_x &= \left| \begin{matrix} 6 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 10 & -6 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & 6 & -2 \\ {} & 4 & 1 \\ {} & 10 & -6 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (-6+40-24)-(10+72+8) \\ D_x &= -80 \end{align}$

$\begin{align}D_y &= \left| \begin{matrix} 1 & 6 & 1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 7 & 10 & -1 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & 1 & 6 \\ {} & 3 & 4 \\ {} & 7 & 10 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (-4-84+30)-(28-20-18) \\ D_y &= -48 \end{align}$

$\begin{align}D_z &= \left| \begin{matrix} 1 & -2 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 7 & -6 & 10 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & 1 & -2 \\ {} & 3 & 1 \\ {} & 7 & -6 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (10-56-108)-(42-24-60) \\ D_z &= -112 \end{align}$

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-80}{-16}=5$
$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-48}{-16}=3$
$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-112}{-16}=7$
Jadi, HP = {(5,3,7)}

C. Soal Latihan

1. Gunakan metode cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} x-3y+2z=9 \\ 2x+4y-3z=-9 \\ 3x-2y+5z=12 \\ \end{matrix} \right.$

Share :