SPLTV 2. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi

A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, baik dua atau tiga variabel dapat menggunakan metode-metode berikut ini:
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Eliminasi-Substitusi
4. Metode Cramer
Pada saat ini yang akan kita bahas adalah menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan METODE ELIMINASI.

B. Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi

Contoh 1.
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} x-y-z=3 \\ -x+2y+5z=-1 \\ x+y+4z=4 \\ \end{matrix} \right.$
Pembahasan:
$\begin{matrix} x-y-z=3 \\ -x+2y+5z=-1 \\ x+y+4z=4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} ....\,\text{persamaan}\,\text{(1)} \\ ....\,\text{persamaan}\,\text{(2)} \\ ....\,\text{persamaan}\,\text{(3)} \\ \end{matrix}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}x-y-z &= 3 \\ -x+2y+5z &= -1 \end{align}$
-------------------------------------- (+)
$y+4z=2$ .... persamaan (4)
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (3):
$\begin{align}x-y-z &= 3 \\ x+y+4z &= 4 \end{align}$
------------------------------ (-)
$-2y-5z=-1$ .... persamaan (5)
Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5)
$\left. \begin{align}y+4z &= 2 \\ -2y-5z &= -1 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}2y+8z &= 4 \\ -2y-5z &= -1 \end{align}$
---------------------------- (+)
$3z=3\Leftrightarrow z=1$
Eliminasi $z$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}y+4z &= 2 \\ -2y-5z &= -1 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 5 \\ \times 4 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}5y+20z &= 10 \\ -8y-20z &= -4 \end{align}$
------------------------------- (+)
$-3y=6\Leftrightarrow y=-2$
Substitusi $y=-2$ dan $z=1$ ke persamaan (1):
$\begin{align}x-y-z &= 3 \\ x-(-2)-1 &= 3 \\ x &= 2 \end{align}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {(2, -2, 1)}

Contoh 2.
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
$\left\{ \begin{matrix}3x-2y+4z=20 \\ -x+5y+12z=73 \\ x+3y-2z=1 \\ \end{matrix} \right.$
Pembahasan:
$\begin{matrix} 3x-2y+4z = 20\,...\,\,\text{persamaan}\,(1) \\ -x+5y+12z = 73\,...\,\,\text{persamaan}\,(2) \\ x+3y-2z = 1\,\,\,\,...\,\,\text{persamaan}\,(3) \\ \end{matrix}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (3):
$\left. \begin{align}3x-2y+4z &= 20 \\ x+3y-2z &= 1 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 3 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}3x-2y+4z &= 20 \\ 3x+9y-6z &= 3 \end{align}$
------------------------------------ (-)
$-11y+10z=17$ ... persamaan (4)
Eliminasi $x$ dari persamaan (2) dan (3):
$\begin{align}-x+5y+12z &= 73 \\ x+3y-2z &= 1 \end{align}$
------------------------------------- (+)
$8y+10z=74$
$4y+5z=37$ ... persamaan (5)
Eliminasi $y$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}-11y+10z &= 17 \\ 4y+5z &= 37\, \end{align} \right|\begin{matrix} \times 4 \\ \times 11 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}-44y+40z &= 68 \\ 44y+55z &= 407 \end{align}$
------------------------------------ (+)
$95z = 475 \Leftrightarrow z = 5$
Eliminasi $z$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}-11y+10z &= 17 \\ 4y+5z &= 37 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 2 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}-11y+10z &= 17 \\ 8y+10z &= 74 \end{align}$
--------------------------------- (-)
$-19y = -57 \Leftrightarrow y = 3$
Substitusi nilai $y=3$ dan $z=5$ ke persamaan (3):
$\begin{align}x+3y-2z &= 1 \\ x+3.3-2.5 &= 1 \\ x+9-10 &= 1 \\ x &= 2 \end{align}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {(2, 3, 5)}

Contoh 3.
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut: $\left\{ \begin{matrix} 3x-y+2z=17 \\ 2x+3y-3z=13 \\ -x+2y+5z=18 \\ \end{matrix} \right.$.
Pembahasan:
$\begin{matrix}3x-y+2z = 17\,...\,\text{persamaan}\,(1) \\ 2x+3y-3z=13\,...\,\text{persamaan}\,(2) \\ -x+2y+5z = 18\,...\,\text{persamaan}\,(3) \\ \end{matrix}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (3):
$\left. \begin{align}3x-y+2z &= 17 \\ -x+2y+5z &= 18 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 3 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}3x-y+2z &= 17 \\ -3x+6y+15z &= 54 \end{align}$
--------------------------------------- (+)
$5y+17z=71$ ... persamaan (4)
Eliminasi $x$ dari persamaan (2) dan (3):
$\left. \begin{align}2x+3y-3z &= 13 \\ -x+2y+5z &= 18 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 2 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}2x+3y-3z &= 13 \\ -2x+4y+10z &= 36 \end{align}$
---------------------------------------- (+)
$7y+7z=49$
$y+z=7$ ... persamaan (5)
Eliminasi $y$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}5y+17z &= 71 \\ y+z &= 7 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 5 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}5y+17z &= 71 \\ 5y+5z &= 35 \end{align}$
----------------------------- (-)
$12z=36\Leftrightarrow z=3$
Eliminasi $z$ dari persamaan (4) dan (5):
$\left. \begin{align}5y+17z &= 71 \\ y+z &= 7 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 1 \\ \times 7 \\ \end{matrix}$
Diperoleh:
$\begin{align}5y+17z &= 71 \\ 17y+17z &= 119 \end{align}$
--------------------------------- (-)
$-12y = -48 \Leftrightarrow y = 4$
Substitu nilai $y=4$ dan $z=3$ ke persamaan (2):
$\begin{align}2x+3y-3z &= 13 \\ 2x+3.4-3.3 &= 13 \\ 2x+12-9 &= 13 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{align}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {(5, 4, 3)}

C. Soal Latihan

Gunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1. $\left\{ \begin{matrix} x-3y+2z=9 \\ 2x+4y-3z=-9 \\ 3x-2y+5z=12 \\ \end{matrix} \right.$
2. $\left\{ \begin{matrix} 3p-2q+r=-1 \\ 2p+q-2r=23 \\ -p+3q+r=6 \\ \end{matrix} \right.$

Share :