Lingkaran 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

A. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Persamaan tersebut dapat kita jabarkan menjadi:
$\begin{align}(x-a)^2+(y-b)^2 &= r^2 \\ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 &= r^2 \\ x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 &= 0 \end{align}$
Persamaan ini kita sederhanakan menjadi:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
dengan:
$A=-2a\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}A$
$B=-2b\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}B$
$\begin{align}C &= a^2+b^2-r^2 \\ r^2 &= a^2+b^2-C \\ &= \left( -\frac{1}{2}A \right)^2+\left( -\frac{1}{2}B \right)^2-C \\ &= \frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C \\ r^2 &= \frac{A^2+B^2-4C}{4} \\ r &= \sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}} \end{align}$
Kesimpulan:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
dengan:
Titik pusat $P\left( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)$ dan jari-jari $r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$.

Contoh 1.
Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-12x-4y+36=0$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2-12x-4y+36=0$
$A=-12$, $B=-4$, $C=36$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{align}P\left( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right) &= P\left( -\frac{1}{2}.(-12),-\frac{1}{2}(-4) \right) \\ &= P\left( 6,2 \right) \end{align}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{(-12)^2+(-4)^2-4.36}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{144+16-144}{4}} \\ &= \sqrt{4} \\ r &= 2 \end{align}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(6,2) dan jari-jari $r=2$.

Contoh 2.
Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $3x^2+3y^2-12x-36=0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3x^2+3y^2-12x-36 &= 0 \\ x^2+y^2-4x-12 &= 0 \end{align}$
$A=-4$, $B=0$, $C=-12$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{align}P\left( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right) &= P\left( -\frac{1}{2}.(-4),-\frac{1}{2}.0 \right) \\ &= P\left( 2,0 \right) \end{align}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{(-4)^2+0^2-4.(-12)}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{16+0+48}{4}} \\ &= \sqrt{16} \\ r &= 4 \end{align}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(2,0) dan jari-jari $r=4$.

Contoh 3.
Tentukan persamaan umum lingkaran yang melalui titik $(1,3)$, $(6,-2)$, dan $(-4,-2)$.
Penyelesaian:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
Titik $(1,3)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$1^2+3^2+A.1+B.3+C=0$
$A+3B+C=-10$ .... persamaan (1)

Titik $(6,-2)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$6^2+(-2)^2+A.6+B.(-2)+C=0$
$36+4+6A-2B+C=0$
$6A-2B+C=-40$ .... persamaan (2)

Titik $(-4,-2)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$(-4)^2+(-2)^2+A.(-4)+B.(-2)+C=0$
$16+4-4A-2B+C=0$
$-4A-2B+C=-20$ .... persamaan (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:
$6A-2B+C=-40$
$-4A-2B+C=-20$
-------------------------------------- (-)
$10A=-20\Rightarrow A=-2$

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
$A+3B+C=-10$
$6A-2B+C=-40$
------------------------------------ (-)
$\begin{align}-5A+5B &= 30 \\ A-B &= -6 \\ -2-B &= -6 \\ -B &= -4 \\ B &= 4 \end{align}$

Substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke persamaan (1):
$\begin{align}A+3B+C &= -10 \\ -2+3.4+C &= -10 \\ -2+12+C &= -10 \\ C &= -20 \end{align}$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$x^2+y^2-2x+4y-20=0$

Contoh 4.
Tentukan luas lingkaran yang memenuhi persamaan lingkaran $x^2+y^2+4x+6y+12=0$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2+4x+6y+12=0$
$A=4$, $B=6$, $C=12$
$\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{4^2+6^2-4.12}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{16+36-48}{4}} \\ r &= 1 \end{align}$
Luas lingkaran:
$\begin{align}L &= \pi r^2 \\ &= \pi .1^2 \\ L &= \pi \end{align}$
Jadi, luas lingkaran tersebut adalah $\pi $ satuan luas.

Contoh 5.
Lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-8x+2Ay+5=0$ melalui titik $(6,-1)$. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Penyelesaian:
Titik $(6,-1)$ substitusi ke:
$\begin{align}x^2+y^2-8x+2Ay+5 &= 0 \\ 6^2+(-1)^2-8.6+2A.(-1)+5 &= 0 \\ 36+1-48-2A+5 &= 0 \\ -2A &= 6 \\ A &= -3 \end{align}$
Diperoleh persamaan lingkaran:
$x^2+y^2-8x+2Ay+5=0$
$x^2+y^2-8x-6y+5=0$
Dengan:
$A=-8$, $B=-6$ dan $C=5$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{align}P\left( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right) &= P\left( -\frac{1}{2}.(-8),-\frac{1}{2}.(-6) \right) \\ &= P\left( 4,3 \right) \end{align}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{align}r &= \sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{(-8)^2+(-6)^2-4.5}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{64+36-20}{4}} \\ &= \sqrt{20} \\ r &= 2\sqrt{5} \end{align}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(4,3) dan jari-jari $r=2\sqrt{5}$.

B. Soal Latihan

1. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran $3x^2+3y^2-4x+6y-12=0$.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $(4,2)$, $(1,3)$, dan $(-3,-5)$.
3. Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2+kx+8y+25=0$ melalui titik $(-5,0)$. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran.
4. Tentukan jarak terdekat antara titik $Q(17,-2)$ dengan lingkaran $x^2+y^2+14x-10y-151=0$.
5. Tentukan luas lingkaran $x^2+y^2+10x-2y+6=0$.

Share :