Lingkaran 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

A. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$. Persamaan tersebut dapat kita jabarkan menjadi:
$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2& =r^2\\ x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2& =0\end{array}$
Persamaan ini kita sederhanakan menjadi:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
dengan:
$A=-2a\iff a=-\frac{1}{2}A$
$B=-2b\iff b=-\frac{1}{2}B$
$\begin{array}{rl}C& =a^2+b^2-r^2\\ r^2& =a^2+b^2-C\\ & ={(-\frac{1}{2}A)}^2+{(-\frac{1}{2}B)}^2-C\\ & =\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C\\ r^2& =\frac{A^2+B^2-4C}{4}\\ r& =\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\end{array}$
Kesimpulan:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
dengan:
Titik pusat $P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$.

Contoh 1.
Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-12x-4y+36=0$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2-12x-4y+36=0$
$A=-12$, $B=-4$, $C=36$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{array}{rl}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)& =P(-\frac{1}{2}.(-12),-\frac{1}{2}(-4))\\ & =P(6,2)\end{array}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{(-12{)}^2+(-4{)}^2-4.36}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{144+16-144}{4}}\\ & =\sqrt{4}\\ r& =2\end{array}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(6,2) dan jari-jari $r=2$.

Contoh 2.
Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran $3x^2+3y^2-12x-36=0$.
Penyelesaian:
$\begin{array}{rl}3x^2+3y^2-12x-36& =0\\ x^2+y^2-4x-12& =0\end{array}$
$A=-4$, $B=0$, $C=-12$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{array}{rl}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)& =P(-\frac{1}{2}.(-4),-\frac{1}{2}.0)\\ & =P(2,0)\end{array}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{(-4{)}^2+0^2-4.(-12)}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{16+0+48}{4}}\\ & =\sqrt{16}\\ r& =4\end{array}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(2,0) dan jari-jari $r=4$.

Contoh 3.
Tentukan persamaan umum lingkaran yang melalui titik $(1,3)$, $(6,-2)$, dan $(-4,-2)$.
Penyelesaian:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
Titik $(1,3)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$1^2+3^2+A.1+B.3+C=0$
$A+3B+C=-10$ .... persamaan (1)

Titik $(6,-2)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$6^2+(-2{)}^2+A.6+B.(-2)+C=0$
$36+4+6A-2B+C=0$
$6A-2B+C=-40$ .... persamaan (2)

Titik $(-4,-2)$ substitusi ke:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$(-4{)}^2+(-2{)}^2+A.(-4)+B.(-2)+C=0$
$16+4-4A-2B+C=0$
$-4A-2B+C=-20$ .... persamaan (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:
$6A-2B+C=-40$
$-4A-2B+C=-20$
-------------------------------------- (-)
$10A=-20\Rightarrow A=-2$

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
$A+3B+C=-10$
$6A-2B+C=-40$
------------------------------------ (-)
$\begin{array}{rl}-5A+5B& =30\\ A-B& =-6\\ -2-B& =-6\\ -B& =-4\\ B& =4\end{array}$

Substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke persamaan (1):
$\begin{array}{rl}A+3B+C& =-10\\ -2+3.4+C& =-10\\ -2+12+C& =-10\\ C& =-20\end{array}$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
$x^2+y^2-2x+4y-20=0$

Contoh 4.
Tentukan luas lingkaran yang memenuhi persamaan lingkaran $x^2+y^2+4x+6y+12=0$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2+4x+6y+12=0$
$A=4$, $B=6$, $C=12$
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{4^2+6^2-4.12}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{16+36-48}{4}}\\ r& =1\end{array}$
Luas lingkaran:
$\begin{array}{rl}L& =\pi r^2\\ & =\pi {.1}^2\\ L& =\pi \end{array}$
Jadi, luas lingkaran tersebut adalah $\pi$ satuan luas.

Contoh 5.
Lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-8x+2Ay+5=0$ melalui titik $(6,-1)$. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Penyelesaian:
Titik $(6,-1)$ substitusi ke:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-8x+2Ay+5& =0\\ 6^2+(-1{)}^2-8.6+2A.(-1)+5& =0\\ 36+1-48-2A+5& =0\\ -2A& =6\\ A& =-3\end{array}$
Diperoleh persamaan lingkaran:
$x^2+y^2-8x+2Ay+5=0$
$x^2+y^2-8x-6y+5=0$
Dengan:
$A=-8$, $B=-6$ dan $C=5$
Titik pusat lingkaran:
$\begin{array}{rl}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)& =P(-\frac{1}{2}.(-8),-\frac{1}{2}.(-6))\\ & =P(4,3)\end{array}$
Jari-jari lingkaran:
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{(-8{)}^2+(-6{)}^2-4.5}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{64+36-20}{4}}\\ & =\sqrt{20}\\ r& =2\sqrt{5}\end{array}$
Jadi, titik pusat lingkaran P(4,3) dan jari-jari $r=2\sqrt{5}$.

B. Soal Latihan

1. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran $3x^2+3y^2-4x+6y-12=0$.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $(4,2)$, $(1,3)$, dan $(-3,-5)$.
3. Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2+kx+8y+25=0$ melalui titik $(-5,0)$. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran.
4. Tentukan jarak terdekat antara titik $Q(17,-2)$ dengan lingkaran $x^2+y^2+14x-10y-151=0$.
5. Tentukan luas lingkaran $x^2+y^2+10x-2y+6=0$.

Share :

You may like these posts :

• 
  Lingkaran 6. Kedudukan Dua Lingkaran
• 
  Lingkaran 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b) dan Jari-jari r
• 
  Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
• 
  Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
• 
  Lingkaran 4. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
• 
  Lingkaran 5. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran