Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

A. Materi Prasyarat

Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita perlu mengetahui beberapa teori berikut ini:

1. Jarak titik $A(x_A,y_A)$ terhadap titik $B(x_B,y_B)$ adalah: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
2. Jarak titik $(x_1,y_1)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah: $r=\left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$.
3. Jika titik $A(x_A,y_A)$ dan titik $B(x_B,y_B)$, maka titik tengah ruas garis AB adalah: $\left( \frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right)$.

B. Definisi Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (jari-jari) terhadap sebuah titik tertentu (titik pusat).

C. Persamaan Lingkaran dengan Pusat $O(0,0)$ dan Jari-jari r

Perhatikan gambar berikut ini!

Titik T terletak pada lingkaran yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan jari-jari $r$. Berdasarkan definisi, tempat kedudukan titik $T(x,y)$ adalah:
$\{T(x,y)|OT=r\}$; $OT$ adalah jarak titik $O(0,0)$ ke titik $T(x,y)$, maka:
$\{T(x,y)|\sqrt{(x-0)^2+(y-o)^2=r}\}$
$\{T(x,y)|\sqrt{x^2+y^2=r}\}$
$\{T(x,y)|x^2+y^2=r^2\}$

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan jari-jari $r$ adalah:
$x^2+y^2=r^2$

Contoh 1.
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan jari-jari 6.
Penyelesaian:
$\begin{align}x^2+y^2 &= r^2 \\ x^2+y^2 &= 6^2 \\ x^2+y^2 &= 36 \end{align}$

Contoh 2.
Diketahui lingkaran dengan titik pusat $O(0,0)$ dan melalui titik $(3,-2)$. Tentukan jari-jari lingkaran dan persamaannya.
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) adalah:
$x^2+y^2=r^2$
Melalui titik $(3,-2)=(x,y)$, substitusi ke persaman maka:
$\begin{align}x^2+y^2 &= r^2 \\ 3^2+(-2)^2 &= r^2 \\ 9+4 &= r^2 \\ r^2 &= 13 \\ r &= \sqrt{13} \end{align}$
Persamaan lingkaran:
$x^2+y^2=r^2$
$x^2+y^2=13$

Contoh 3.
Tentukan tempat kedudukan titik $P(x,y)$ yang memenuhi $\{P(x,y)|PA=2PB\}$ jika $A(0,8)$ dan $B(0,2)$.
Penyelesaian:
$\{P(x,y)|PA=2PB\}$
$\{P(x,y)|PA^2=4.PB^2\}$
$\left\{ P(x,y)|(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2=4\left[ (x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2 \right] \right\}$
$\left\{ P(x,y)|(x-0)^2+(y-8)^2=4\left[ (x-0)^2+(y-2)^2 \right] \right\}$
$\left\{ P(x,y)|x^2+y^2-16y+64=4\left[ x^2+y^2-4y+4 \right] \right\}$
$\left\{ P(x,y)|x^2+y^2-16y+64=4x^2+4y^2-16y+16 \right\}$
$\left\{ P(x,y)|-3x^2-3y^2=-48 \right\}$
$\left\{ P(x,y)|x^2+y^2=48 \right\}$

Contoh 4.
Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ruas garis AB dengan $A(-3,2)$ dan $B(3,-2)$.
Penyelesaian:
AB adalah diameter lingkaran maka:
$\begin{align}d &= AB \\ &= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\ &= \sqrt{(3+3)^2+(-2-2)^2} \\ &= \sqrt{36+16} \\ &= \sqrt{52} \\ d &= 2\sqrt{13} \end{align}$
Jari-jari lingkaran adalah:
$\begin{align}r &= \frac{1}{2}d \\ &= \frac{1}{2}.4\sqrt{13} \\ r &= \sqrt{13} \end{align}$

Titik pusat lingkaran adalah titik tengah ruas garis AB yaitu:
$\left( \frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2} \right)=\left( \frac{-3+3}{2},\frac{2-2}{2} \right)=(0,0)$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan jari-jari $r=\sqrt{13}$ adalah:
$x^2+y^2=r^2$
$x^2+y^2=\left( \sqrt{13} \right)^2$
$x^2+y^2=13$

Contoh 5.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan menyinggung garis $4x-3y-25=0$.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar diperoleh bahwa jari-jari lingkaran adalah jarak titik $O(0,0)\equiv (x_1,y_1)$ ke garis $4x-3y-25=0\equiv ax+by+c=0$ maka:
$\begin{align}r &= \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ &= \left| \frac{4.0-3.0-25}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{-25}{\sqrt{16+9}} \right| \\ &= \left| \frac{-25}{\sqrt{25}} \right| \\ &= \left| \frac{-25}{5} \right| \\ &= \left| -5 \right| \\ r &= 5 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan jari-jari $r=5$ adalah:
$x^2+y^2=r^2$
$x^2+y^2=5^2$
$x^2+y^2=25$

D. Soal Latihan

1. Tentukan tempat kedudukan titik $R(x,y)$ sehingga $\left\{ T(x,y)|RA=3RB \right\}$ jika $A(9,0)$ dan $B(1,0)$.
2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan berjari-jari $2\sqrt{5}$.
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ruas garis AB dengan $A(1,-2)$ dan $B(-1,2)$.
4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat $O(0,0)$ dan menyinggung garis $5x+12y-60=0$.
5. Persamaan lingkaran yang sepusat (konsentris) dengan lingkaran $2x^2+2y^2=100$, dan jari-jarinya dua kali jari-jari lingkaran tersebut.

Semoga postingan: Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :