Lingkaran 4. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

A. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!

Berdasarkan gambar kedudukan titik terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi yaitu:

1. Titik A terletak di dalam lingkaran.
2. Titik B terletak pada lingkaran.
3. Titik C terletak di luar lingkaran.

B. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $x^2+y^2=r^2$

Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=r^2$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:

1. Jika $x_1^2+y_1^2<r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
2. Jika $x_1^2+y_1^2=r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
3. Jika $x_1^2+y_1^2>r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.

---

Contoh 1.
Tanpa melukis lingkaran $x^2+y^2=169$, tentukanlah posisi titik $P(-1,13)$, $Q(5,12)$ dan $R(-1,10)$ terhadap lingkaran.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $x^2+y^2=169$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.
$P(-1,13)\Rightarrow x=-1,y=13$, maka:
$\begin{array}{rrr}{x}^2+y^2& ...& 169\\ (-1{)}^2+{13}^2& ...& 169\\ 1+169& ...& 169\\ 170& >& 169\end{array}$
Jadi, titik $P(-1,13)$ terletak di luar lingkaran.

$Q(5,12)\Rightarrow x=5,y=12$
$\begin{array}{rrr}{x}^2+y^2& ...& 169\\ 5^2+{12}^2& ...& 169\\ 25+144& ...& 169\\ 169& =& 169\end{array}$
Jadi, titik $Q(5,12)$ terletak pada lingkaran.

$R(-1,10)\Rightarrow x=-1,y=10$
$\begin{array}{rrr}{x}^2+y^2& ...& 169\\ (-1{)}^2+{10}^2& ...& 169\\ 1+100& ...& 169\\ 101& <& 169\end{array}$
Jadi, titik $R(-1,10)$ terletak di dalam lingkaran.

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $a$ agar titik $Q(-4,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$.
Penyelesaian:
Titik $Q(-4,a)\Rightarrow x=-4,y=a$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$ maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& <20\\ (-4{)}^2+a^2& <20\\ 16+a^2& <20\\ a^2-4& <0\\ (a+2)(a-2)& <0\end{array}$
Pembuat nol: $a=-2$ atau $a=2$
Garis bilangan:

$-2<a<2$
Jadi, agar titik $Q(-4,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=20$ maka batas-batas nilai $a$ adalah $-2<a<2$.

---

Contoh 3.
Tentukan nilai $k$ agar titik $A(2,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=13$.
Penyelesaian:
Titik $A(2,k)\Rightarrow x=2,y=k$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=13$ maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =13\\ 2^2+k^2& =13\\ 4+k^2& =13\\ k^2-9& =0\\ (k+3)(k-3)& =0\end{array}$
$k=-3$ atau $k=3$

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $m$ agar titik $P(\sqrt{m},m)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$.
Penyelesaian:
Titik $P(\sqrt{m},m)\Rightarrow x=\sqrt{m},y=m$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$ maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& >6\\ {\left(\sqrt{m}\right)}^2+m^2& >6\\ m+m^2& >6\\ m^2+m-6& >0\\ (m+3)(m-2)& >0\end{array}$
Pembuat nol: $m=-3$ atau $m=2$
Garis bilangan:

$m<-3$ atau $m>2$
Jadi, agar titik $P(\sqrt{m},m)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2=6$ maka batas-batas nilai $m$ adalah $m<-3$ atau $m>2$.

---

C. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:

1. Jika $(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2<r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
2. Jika $(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2=r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
3. Jika $(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2>r^2$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.

---

Contoh 1.
Tentukan kedudukan titik $A(1,1)$, $B(5,-2)$ dan $C(3,-6)$ terhadap lingkaran $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=16$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.
$A(1,1)\Rightarrow x=1,y=1$, maka:
$\begin{array}{rrr}(x-1{)}^2+(y+2{)}^2& ...& 16\\ (1-1{)}^2+(1+2{)}^2& ...& 16\\ 0+9& ...& 16\\ 9& <& 16\end{array}$
Jadi, titik $A(1,1)$ terletak di dalam lingkaran.

$B(5,-2)\Rightarrow x=5,y=-2$, maka:
$\begin{array}{rrr}(x-1{)}^2+(y+2{)}^2& ...& 16\\ (5-1{)}^2+(-2+2{)}^2& ...& 16\\ 16+0& ...& 16\\ 16& =& 16\end{array}$
Jadi, titik $B(5,-2)$ terletak pada lingkaran.

$C(3,-6)\Rightarrow x=3,y=-6$, maka:
$\begin{array}{rrr}(x-1{)}^2+(y+2{)}^2& ...& 16\\ (3-1{)}^2+(-6+2{)}^2& ...& 16\\ 4+16& ...& 16\\ 20& >& 16\end{array}$
Jadi, titik $C(3,-6)$ terletak di luar lingkaran.

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $p$ agar titik $A(-4,p)$ terletak pada lingkaran $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=25$.
Penyelesaian:
Titik $A(-4,p)\Rightarrow x=-4,y=p$ terletak pada lingkaran $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=25$ maka:
$\begin{array}{rl}(x+1{)}^2+(y-2{)}^2& =25\\ (-4+1{)}^2+(p-2{)}^2& =25\\ 9+p^2-4p+4& =25\\ p^2-4p-12& =0\\ (p+2)(p-6)& =0\end{array}$
$p+2=0\Rightarrow p=-2$
$p-6=0\Rightarrow p=6$
Jadi, nilai $p=-2$ atau $p=6$.

---

Contoh 3.
Tentukan nilai $m$ agar titik $B(m,2)$ terletak di luar lingkaran $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=20$.
Penyelesaian:
Titik $B(m,2)\Rightarrow x=m,y=2$ terletak di luar lingkaran $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=20$ maka:
$\begin{array}{rl}(x+3{)}^2+(y-4{)}^2& >20\\ (m+3{)}^2+(2-4{)}^2& >20\\ m^2+6m+9+4& >20\\ m^2+6m-7& >0\\ (m+7)(m-1)& >0\end{array}$
Pembuat nol: $m=-7$ atau $m=1$
Garis bilangan:

$m<-7$ atau $m>1$
Jadi, agar titik $B(m,2)$ terletak di luar lingkaran $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=20$ maka batas-batas nilai $m$ adalah $m<-7$ atau $m>1$.

---

Contoh 4.
Diketahui titik $(6,k)$ terletak di dalam lingkaran $(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=25$. Nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
Penyelesaian:
Titik $(6,k)\Rightarrow x=6,y=k$ terletak di dalam lingkaran $(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=25$ maka:
$\begin{array}{rl}(x-2{)}^2+(y-5{)}^2& <25\\ (6-2{)}^2+(k-5{)}^2& <25\\ 16+k^2-10k+25& <25\\ k^2-10k+16& <0\\ (k-2)(k-8)& <0\end{array}$
Pembuat nol: $k=2$ atau $k=8$
Garis bilangan:

$2<k<8$
Jadi, agar titik $(6,k)$ terletak di dalam lingkaran $(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=25$ maka batas-batas nilai $k$ adalah $2<k<8$.

---

D. Kedudukan Titik $(x_1,y_1)$ terhadap Lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Cara menentukan kedudukan titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ yaitu dengan substitusi koordinat titik $(x_1,y_1)$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, akan diperoleh tiga kemungkinan, yaitu:

1. Jika $x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C<0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran.
2. Jika $x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C=0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran.
3. Jika $x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C>0$ maka titik $(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran.

---

Contoh 1.
Tentukan kedudukan titik $K(2,1)$ dan $L(4,-2)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-14=0$.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kedudukan titik (x,y) terhadap lingkaran $x^2+y^2-2x-4y-14=0$, kita substitusi nilai x dan y ke persamaan lingkaran, tanda “=” kita kosongkan terlebih dahulu. Kemudian pada hasil akhir kita berikan salah satu tanda berikut: “<”, “=”, atau “>” sesuai kondisi yang sebenarnya.

Titik $K(2,1)\Rightarrow x=2,y=1$ maka:
$\begin{array}{rrr}{x}^2+y^2-2x-4y-14& ...& 0\\ 2^2+1^2-2.2-4.1-14& ...& 0\\ 4+1-4-4-14& ...& 0\\ -17& <& 0\end{array}$
Jadi, titik $K(2,1)$ terletak di dalam lingkaran.

Titik $L(4,-2)\Rightarrow x=4,y=-2$ maka:
$\begin{array}{rrr}{x}^2+y^2-2x-4y-14& ...& 0\\ 4^2+(-2{)}^2-2.4-4.(-2)-14& ...& 0\\ 16+4-8+8-14& ...& 0\\ 6& >& 0\end{array}$
Jadi, titik $K(2,1)$ terletak di luar lingkaran.

---

Contoh 2.
Titik $(3,1)$ terletak pada lingkaran $2x^2+2y^2+px+8y+8=0$. Tentukan nilai $p$.
Penyelesaian:
Titik $(3,1)\Rightarrow x=3,y=1$ terletak pada lingkaran $2x^2+2y^2+px+8y+8=0$ maka:
$\begin{array}{rl}2x^2+2y^2+px+8y+8& =0\\ {2.3}^2+{2.1}^2+p.3+8.1+8& =0\\ 18+2+3p+8+8& =0\\ 3p+36& =0\\ 3p& =-36\\ p& =-12\end{array}$
Jadi, nilai $p=-12$.

---

Contoh 3.
Jika titik $(-5,k)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$, tentukan nilai $k$.
Penyelesaian:
Titik $(-5,k)\Rightarrow x=-5,y=k$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$, maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+2x-5y-21& >0\\ (-5{)}^2+k^2+2(-5)-5.k-21& >0\\ 25+k^2-10-5k-21& >0\\ k^2-5k-6& >0\\ (k+1)(k-6)& >0\end{array}$
Pembuat nol: $k=-1$ atau $k=6$
Garis bilangan:

$k<-1$ atau $k>6$
Jadi, agar titik $(-5,k)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$ maka batas-batas nilai $k$ adalah $k<-1$ atau $k>6$.

---

Contoh 4.
Titik $(a,3)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-5x-4y-3=0$. Dengan demikian batas-batas nilai $a$ adalah ...
Penyelesaian:
Titik $(a,3)\Rightarrow x=a,y=3$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-5x-4y-3=0$, maka:
$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-5x-4y-3& <0\\ a^2+3^2-5.a-4.3-3& <0\\ a^2+9-5a-12-3& <0\\ a^2-5a-6& <0\\ (a+1)(a-6)& <0\end{array}$
Pembuat nol: $a=-1$ atau $a=6$
Garis bilangan:

$-1<a<6$
Jadi, agar titik $(a,3)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-5x-4y-3=0$ maka batas-batas nilai $a$ adalah $-1<a<6$.

---

E. Jarak Titik $Q(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan Berjari-jari r

Jarak titik $Q(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ dapat ditentukan melalui posisi titik $Q(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran.

1.	Jika titik $Q(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran maka: Jarak = 0
2.	Jika titik $Q(x_1,y_1)$ terletak di dalam lingkaran maka: Jarak terdekat = $|PQ-r|$ Jarak terjauh = $PQ+r$
3.	Jika titik $Q(x_1,y_1)$ terletak di luar lingkaran maka: Jarak terdekat = $|PQ-r|$ Jarak terjauh = $\sqrt{(PQ{)}^2-r^2}$

---

Contoh 1.
Tentukan jarak terdekat dan jarak terjauh titik $Q(5,-5)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2x-6y-15=0$.
Penyelesaian:
$x^2+y^2+2x-6y-15=0$
$A=2$, $B=-6$ dan $C=-15$
Titik pusat lingkaran:
$P(\frac{A}{-2},\frac{B}{-2})=P(\frac{2}{-2},\frac{-6}{-2})=P(-1,3)$
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C}\\ & =\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-6{)}^2}{4}+15}\\ r& =5\end{array}$
$\begin{array}{rl}PQ& =\sqrt{(x_Q-x_P{)}^2+(y_Q-y_P{)}^2}\\ & =\sqrt{(5+1{)}^2+(-5-3{)}^2}\\ PQ& =10\end{array}$
Substitusi titik $Q(5,-5)$ ke persamaan lingkaran:
$5^2+(-5{)}^2+2.5-6(-5)-15=75>0$, berarti titik Q di luar lingkaran.
Jarak terdekat = $|PQ-r|$ = $|10-5|$ = 5
Jarak terjauh = $\sqrt{(PQ{)}^2-r^2}$ = $\sqrt{{10}^2-5^2}$ = $5\sqrt{3}$.

---

Contoh 2.
Tentukan jarak terdekat dan jarak terjauh titik $Q(7,1)$ terhadap lingkaran $(x-4{)}^2+(y+3{)}^2=36$.
Penyelesaian:
Dari persamaan lingkaran $(x-4{)}^2+(y+3{)}^2=36$ diperoleh:
Titik pusat $P(4,-3)$ dan $r=6$
$\begin{array}{rl}PQ& =\sqrt{(x_Q-x_P{)}^2+(y_Q-y_P{)}^2}\\ & =\sqrt{(7-4{)}^2+(1+3{)}^2}\\ PQ& =5\end{array}$
Substitusi titik $Q(7,1)$ ke persamaan lingkaran:
$(7-4{)}^2+(1+3{)}^2=25<36$, berarti titik Q di dalam lingkaran.
Jarak terdekat = $|PQ-r|$ = $|5-6|$ = 1
Jarak terjauh = $PQ+r$ = 5 + 6 = 11

---

F. Soal Latihan Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

1.	Tentukan kedudukan titik $C(3,-2)$, $I(6,1)$, $N(4,-1)$, $T(7,-1)$ dan $A(-2,3)$ terhadap lingkaran $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=17$.
2.	Tentukan nilai $m$ agar titik $B(m-3,4)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2=41$.
3.	Titik $(2,b)$ terletak di luar lingkaran $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=25$, tentukan batas-batas nilai $b$.
4.	Tentukan nilai $a$ agar titik $A(a,5)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-2x-10y+10=0$.
5.	Titik $(a,-5)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-14x+10y-95=0$, tentukan batas-batas nilai $a$.

Share :

You may like these posts :

• 
  Lingkaran 6. Kedudukan Dua Lingkaran
• 
  Lingkaran 7. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
• 
  Lingkaran 5. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
• 
  Lingkaran 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
• 
  Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
• 
  Lingkaran 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b) dan Jari-jari r