Vektor 5. Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product Vector)

A. Perkalian Silang Dua Vektor

Salah satu perkalian vektor yang sangat penting adalah perkalian silang (cross product). Tidak seperti perkalian skalar, perkalian silang antara dua vektor menghasilkan vektor juga. Vektornya tidak terletak sebidang dengan kedua vektor yang dikalikan, tetapi tegak lurus terhadap bidang yang mengandung kedua vektor awal. Perkalian silang dari $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ditulis dengan $\vec{a}\times \vec{b}$. Hasil perkalian silang yaitu $\vec{a}\times \vec{b}$ tegak lurus $\vec{a}$ dan $\vec{a}\times \vec{b}$ tegak lurus $\vec{b}$.

B. Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor

Jika $\vec{a}={x_1}\hat{i}+{y_1}\hat{j}+{z_1}\hat{k}$ dan $\vec{b}={x_2}\hat{i}+{y_2}\hat{j}+{z_2}\hat{k}$, maka perkalian silang antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah:
$\begin{align}\vec{a}\times \vec{b} &= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ {x_1} & {y_1} & {z_1} \\ {x_2} & {y_2} & {z_2} \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & i & j \\ {} & {x_1} & {y_1} \\ {} & {x_2} & {y_2} \\ \end{matrix} \right| \\ \vec{a}\times \vec{b} &= ({y_1}{z_2}\hat{i}+{z_1}{x_2}\hat{j}+{x_1}{y_2}\hat{k})-({x_2}{y_1}\hat{k}+{y_2}{z_1}\hat{i}+{z_2}{x_1}\hat{j}) \end{align}$
Dan panjang vektor $\vec{a}\times \vec{b}$ adalah:
$\left| \vec{a}\times \vec{b} \right|=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\sin \angle (\vec{a},\vec{b})$

Sifat-sifat perkalian silang dua vektor adalah:

1. Tidak berlaku sifat komutatif: $\vec{a}\times \vec{b}\ne \vec{b}\times \vec{a}$.
2. Berlaku sifat anti komutatif: $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
3. Jika $\vec{a}\bot \vec{b}$ maka $|\vec{a}\times \vec{b}|=\vec{a}.\vec{b}$.
4. Jika $\vec{a}$ searah dengan $\vec{b}$ maka $|\vec{a}\times \vec{b}|=0$.
5. Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ berlawanan arah arah maka $|\vec{a}\times \vec{b}|=0$.

---

Contoh 1.
Jika $\vec{a}=2\hat{i}-4\hat{j}+8\hat{k}$ dan $\vec{b}=3\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$, maka hasil perkalian silang antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah ...
Penyelesaian:
$\begin{align}\vec{a}\times \vec{b} &= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -4 & 8 \\ 3 & 1 & -5 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & i & j \\ {} & 2 & -4 \\ {} & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right| \\ &= ((-4).(-5).\hat{i}+8.3.\hat{j}+2.1.\hat{k})-(3.(-4).\hat{k}+1.8.\hat{i}+(-5).2.\hat{j}) \\ &= (20\hat{i}+24\hat{j}+2\hat{k})-(-12\hat{k}+8\hat{i}-10\hat{j}) \\ &= 20\hat{i}-8\hat{i}+24\hat{j}+10\hat{j}+2\hat{k}+12\hat{k} \\ \vec{a}\times \vec{b} &= 12\hat{i}+34\hat{j}+14\hat{k} \end{align}$

---

Contoh 2.
Diketahui vektor $\vec{p}=(1,2,-3)$ dan $\vec{q}=(0,3,2)$. Tentukan $\vec{p}\times \vec{q}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\vec{p}\times \vec{q} &= \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -3 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} & i & j \\ {} & 1 & 2 \\ {} & 0 & 3 \\ \end{matrix} \right| \\ &= (2.2.\hat{i}+(-3).0.\hat{j}+1.3.\hat{k})-(0.2.\hat{k}+3.(-3).\hat{i}+2.1.\hat{j}) \\ &= (4\hat{i}+3\hat{k})-(-9\hat{i}+2\hat{j}) \\ &= 4\hat{i}+9\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} \\ \vec{p}\times \vec{q} &= 13\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k} \end{align}$

---

Contoh 3.
Diketahui $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ dan $\vec{a}$ membentuk sudut $60^\circ $ dengan $\vec{b}$. Tentukan panjang vektor $\vec{a}\times \vec{b}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left| \vec{a}\times \vec{b} \right| &= \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \angle (\vec{a},\vec{b}) \\ &= 2.3.\sin 60^\circ \\ &= 6.\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \left| \vec{a}\times \vec{b} \right| &= 3\sqrt{3} \end{align}$

---

Contoh 4.
Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah sisi-sisi dari suatu jajar genjang, buktikan bahwa luas jajar genjang adalah $L=\left| \vec{a}\times \vec{b} \right|$.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut!

Jajar genjang ABCD terdiri dari dua segitiga yang kongruen yaitu $\Delta DAB$ dan $\Delta BCD$.
Luas segitiga DAB adalah:
$L_{DAB}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \theta $
Karena panjang ruas garis AB = $\left| {\vec{a}} \right|$ dan panjang ruas garis AD = $\left| {\vec{b}} \right|$ maka:
$L_{DAB}=\frac{1}{2}.\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \theta $
$L_{DAB}=\frac{1}{2}.\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \angle (\vec{a},\vec{b})$

Luas jajar genjang adalah:
$\begin{align}L &= 2\times {L_{DAB}} \\ &= 2\times \frac{1}{2}.\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \angle (\vec{a},\vec{b}) \\ &= \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \angle (\vec{a},\vec{b}) \\ L &= \left| \vec{a}\times \vec{b} \right| \end{align}$
Terbukti.

C. Soal Latihan

1. Diketahui $\vec{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$ dan $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$. Tentukan $\vec{a}\times \vec{b}$.
2. Diketahui vektor $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}$ dan vektor $\vec{b}=4\hat{j}+5\hat{k}$. Tentukan $\vec{a}\times \vec{b}$.
3. Diketahui $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}$, dan $\vec{c}=3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$. Tentukan hasil dari $\vec{a}(\vec{b}\times \vec{c})$.
4. Diketahui $\left| {\vec{p}} \right|=4\sqrt{3}$, $\vec{q}=(3,0,5)$. Jika vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ membentuk sudut $120{}^\circ $, tentukan $\left| \vec{p}\times \vec{q} \right|$.
5. Tentukan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya $\vec{a}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k}$ dan $\vec{b}=4\hat{i}+6\hat{j}-\hat{k}$.

Semoga postingan: Vektor 5. Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product Vector) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :