Pembahasan Soal Seleksi Mandiri UNRAM 2019 Matematika Saintek

Selamat datang di Website Catatan Matematika, website belajar matematika secara online dan mandiri. Pada postingan ini Catatan Matematika berbagi Pembahasan Soal Seleksi Mandiri Universitas Mataram Tahun 2019 Matematika Saintek . Pembahasan ini dapat dijadikan sebagai bahan belajar bagi adik-adik pejuang PTN (Perguruan Tinggi Negeri) dalam menghadapi Seleksi Mandiri UNRAM

Tata Cara Belajar:
Jawablah soal berikut ini secara mandiri. Setelah itu periksa jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "Lihat Pembahasan:".

---

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 1

Jika $f:R\to R$ dengan $f(x)=2x-2$ dan $g:R\to R$ dengan $g(x)=x^2-1$, maka $(f\circ g)(x+1)$ = ...
(A) $2x^2-5$
(B) $2x^2-4$
(C) $2x^2-2$
(D) $2x^2+4x-2$
(E) $2x^2-4x+1$

Pembahasan:
$\begin{align}(f\circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= 2.g(x)-2 \\ &= 2(x^2-1)-2 \\ (f\circ g)(x) &= 2x^2-4 \end{align}$
$\begin{align}(f\circ g)(x+1) &= 2(x+1)^2-4 \\ &= 2(x^2+2x+1)-4 \\ (f\circ g)(x+1) &= 2x^2+4x-2 \end{align}$
Jawaban: D

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 2

Tabel berikut adalah data tinggi badan siswa kelas XII IPS.

Modus data tersebut adalah ...
(A) 158,5
(B) 161,5
(C) 158,75
(D) 159,75
(E) 159,5

Pembahasan:
Kelas modus terletak pada kelas yang frekuensinya terbesar yaitu:
158 – 163
Tb = 158 – 0,5 = 157,5
Ta = 163 + 0,5 = 163,5
c = Ta – Tb = 163,5 – 157,5 = 6
$\begin{align}d_1 &= f_{\text{kelas modus}}-f_{\text{sebelum kelas modus}} \\ &= 17-14 \\ d_1 &= 3 \end{align}$
$\begin{align}d_2 &= f_{\text{kelas modus}}-f_{\text{setelah kelas modus}} \\ &= 17-12 \\ d_2 &= 5 \end{align}$
$\begin{align}Mo &= Tb+\left( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right).c \\ &= 157,5+\left( \frac{3}{3+5} \right).6 \\ &= 157,5+\frac{9}{4} \\ &= 157,5+2,25 \\ Mo &= 159,75 \end{align}$
Jawaban: D

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 3

Misalkan:
$f(x)=\left\{ \begin{matrix}2x-1,\,\text{untuk}\,0 < x < 1 \\ x^2+1,\,\text{untuk} \, x \, \text{yang lain} \\ \end{matrix} \right.$
maka $f(2).f(-4)+f\left( \frac{1}{2} \right).f(3)$ = ...
(A) 85
(B) 210
(C) 52
(D) 105
(E) 55

Pembahasan:
$f(2).f(-4)+f\left( \frac{1}{2} \right).f(3)$
= $(2^2+1).\left( (-4)^2+1 \right)+\left( 2.\frac{1}{2}-1 \right).(3^2+1)$
= $5\times 17+0\times 10$
= 85
Jawaban: A

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 4

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}}=1$ adalah ...
(A) $-2$
(B) $-3$
(C) $-1$
(D) 1
(E) 0

Pembahasan:
$\begin{align}\frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} &= 1 \\ \sqrt[3]{{{(0,008)}^{7-2x}}} &= (0,2)^{-4x+5} \\ {{\left( {{(0,2)}^{3}} \right)}^{\frac{7-2x}{3}}} &= (0,2)^{-4x+5} \\ (0,2)^{7-2x} &= (0,2)^{-4x+5} \\ 7-2x &= -4x+5 \\ -2x+4x &= 5-7 \\ 2x &= -2 \\ x &= -1 \end{align}$
Jawaban: C

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 5

Kotak segiempat dibuat dari selembar karton dengan panjang 24 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong persegi identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Maka volume maksimum yang diperoleh adalah ...
(A) 100 ${\text{cm}}^3$
(B) 200 ${\text{cm}}^3$
(C) 125 ${\text{cm}}^3$
(D) 175 ${\text{cm}}^3$
(E) 150 ${\text{cm}}^3$

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

$p=24-2x$; $l=9-2x$ dan $t=x$
$\begin{align}p &\ge 0 \\ 24-2x &\ge 0 \\ -2x &\ge -24 \\ x &\le 12 \end{align}$
$\begin{align}l & > 0 \\ 9-2x & > 0 \\ -2x & > -9 \\ x & < \frac{9}{2} \end{align}$
$t > 0\Leftrightarrow x>0$
Jadi, dari $p$, $l$ dan $t$ diperoleh $0 < x < \frac{9}{2}$
$\begin{align}V &= p.l.t \\ &= (24-2x)(9-2x)x \\ &= (216-48x-18x+4x^2)x \\ V &= 216x-66x^2+4x^3 \end{align}$
Volume maksimum maka:
$\begin{align}V' &= 0 \\ 216-132x+12x^2 &= 0 \\ x^2-11x+18 &= 0 \\ (x-2)(x-9) &= 0 \end{align}$
$x=2$ (memenuhi syarat)
$x=9$ (tidak memenuhi syarat)
$\begin{align}V &= (24-2x)(9-2x)x \\ &= (24-2.2)(9-2.2).2 \\ &= 20\times 5\times 2 \\ V &= 200 \end{align}$
Jadi, volume maksimum adalah 200 ${\text{cm}}^3$.
Jawaban: B

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 6

Dua garis dalam persamaan matriks $\left( \begin{matrix} -2 & a \\ b & 6 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ \end{matrix} \right)$ saling tegak lurus jika $a:b$ = ...
(A) 1 : 3
(B) $-3$ : 2
(C) 2 : 3
(D) 1 : 2
(E) $-6$ : 1

Pembahasan:
$\left( \begin{matrix} -2 & a \\ b & 6 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ \end{matrix} \right)$
$-2x+ay=5\Leftrightarrow m_1=-\frac{-2}{a}=\frac{2}{a}$
$bx+6y=7\Leftrightarrow m_2=-\frac{b}{6}$
Kedua garis saling tegak lurus maka:
$\begin{align}m_1.m_2 &= -1 \\ \frac{2}{a}.\left( -\frac{b}{6} \right) &= -1 \\ \frac{-b}{3a} &= -1 \\ \frac{b}{3a} &= 1 \\ \frac{b}{a} &= \frac{3}{1} \\ \end{align}$
$a:b=1:3$
Jawaban: A

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 7

Perhatikan gambar berikut!

Integral yang menyatakan luas daerah yang diarsir adalah ...
(A) $\int\limits_{0}^{2}{(4-2x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{(2x^2-6x+4)dx}$
(B) $\int\limits_{0}^{2}{(4-2x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{(x^2-3x+2)dx}$
(C) $\int\limits_{0}^{2}{(2x-4)dx}+\int\limits_{1}^{2}{(x^2+3x+2)dx}$
(D) $\int\limits_{0}^{1}{(2x^2-6x+4)dx}-\int\limits_{1}^{2}{(2x-4)dx}$
(E) $\int\limits_{0}^{1}{(-2x^2+4x)dx}+\int\limits_{1}^{2}{(4-2x)dx}$

Pembahasan:
Dari gambar, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik $(1,0)=(x_1,0)$ dan $(2,0)=(x_2,0)$ maka persamaan grafiknya adalah:
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$y=a(x-1)(x-2)$
Grafik melalui titik (0,4) maka:
$\begin{align}y &= a(x-1)(x-2) \\ 4 &= a(0-1)(0-2) \\ 4 &= 2a \\ 2 &= a \end{align}$
Persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah:
$\begin{align}y &= a(x-1)(x-2) \\ y &= 2(x-1)(x-2) \\ y &= 2x^2-6x+4 \end{align}$
Persamaan garis lurus melalui titik (0,4) dan (2,0) adalah:
$\begin{align}4x+2y &= 8 \\ 2x+y &= 4 \\ y &= 4-2x \end{align}$
Perhatikan gambar berikut!

L = $\int\limits_{0}^{2}{\left( (4-2x)-(2x^2-6x+4) \right)dx}$ – $\left( -\int\limits_{1}^{2}{(2x^2-6x+4)dx} \right)$
L = $\int\limits_{0}^{2}{(-2x^2+4x)dx}$ + $\int\limits_{1}^{2}{(2x^2-6x+4)dx}$
L = $\int\limits_{0}^{1}{(-2x^2+4x)dx}$ + $\int\limits_{1}^{2}{(-2x^2+4x)dx}$ + $\int\limits_{1}^{2}{(2x^2-6x+4)dx}$
L = $\int\limits_{0}^{1}{(-2x^2+4x)dx}$ + $\int\limits_{1}^{2}{(4-2x)dx}$
Jawaban: E

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 8

Kotak obat berbentuk kubus ABCD.EFGH. Panjang tinggi kotak 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP:DP = 1:3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ...
(A) $6\sqrt{2}$ cm
(B) $9\sqrt{2}$ cm
(C) $12\sqrt{2}$ cm
(D) $16\sqrt{2}$ cm
(E) $18\sqrt{2}$ cm

Pembahasan:
DC di perpanjang sehingga CP:DP = 1: 3
Misal: CP = x maka DP = 3x
$\begin{align}DC &= DP-CP \\ 12 &= 3x-x \\ 12 &= 2x \\ 6 &= x \end{align}$
Jadi, panjang CP = x = 6 cm.
Perhatikan gambar berikut!

Jarak titik P ke bidang BDHF adalah:
= Jarak titik P ke garis BD
= Jarak titik P ke titik Q
= PQ
AC adalah diagonal sisi kubus maka:
$AC=s\sqrt{2}=12\sqrt{2}$
$CR=\frac{1}{2}AC=6\sqrt{2}$
Perhatikan:
Segitiga DQP sebangun dengan segitiga DRC maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah:
$\begin{align}\frac{PQ}{CR} &= \frac{DP}{DC} \\ PQ &= \frac{DP\times CR}{DC} \\ &= \frac{18\times 6\sqrt{2}}{12} \\ PQ &= 9\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik P ke bidang BDHF adalah $9\sqrt{2}$ cm.
Jawaban: B

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 9

Bayangan titik koordinat polar $(2,30^\circ )$ bila dicerminkan terhadap sumbu Y adalah ...
(A) $(-2,150^\circ )$
(B) $(2,30^\circ )$
(C) $(2,150^\circ )$
(D) $(2,120^\circ )$
(E) $(-2,30^\circ )$

Pembahasan:
$(2,30^\circ )=(r,\theta )$
$\begin{align}x &= r.\cos \theta \\ &= 2.\cos 30^\circ \\ &= 2.\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ x &= \sqrt{3} \end{align}$
$\begin{align}y &= r.\sin \theta \\ &= 2.\sin 30^\circ \\ &= 2.\frac{1}{2} \\ y &= 1 \end{align}$
Titik $(\sqrt{3},1)$ dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya $(-\sqrt{3},1) = (x',y')$.
$\begin{align}r' &= \sqrt{(x')^2+(y')^2} \\ &= \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2} \\ r' &= 2 \end{align}$
$\begin{align}\tan \theta &= \frac{y}{x} \\ &= \frac{1}{-\sqrt{3}} \\ \tan \theta &= -\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \theta &= 150^\circ \end{align}$
$(-\sqrt{3},1)=(2,150^\circ )$
Jawaban: C

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 10

Suatu proyek akan diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari = $(2x+\frac{1000}{x}-40)$ ribu rupiah, maka total biaya proyek minimum adalah ...
(A) 500 ribu rupiah
(B) 800 ribu rupiah
(C) 600 ribu rupiah
(D) 900 ribu rupiah
(E) 700 ribu rupiah

Pembahasan:
B(x) = biaya total selama x hari.
$B(x)=(2x+\frac{1000}{x}-40).x$
$B(x)=2x^2-40x+1000$ (dalam ribu rupiah)
Biaya minimum, maka:
$\begin{align}B'(x) &= 0 \\ 4x-40 &= 0 \\ 4x &= 40 \\ x &= 10 \end{align}$
$\begin{align}B(x) &= 2x^2-40x+1000 \\ B(10) &= 2.10^2-40.10+1000 \\ &= 200-400+1000 \\ B(10) &= 800 \end{align}$
Jadi, biaya minimum adalah 800 ribu rupiah.
Jawaban: B

Gunakan Petunjuk B untuk menjawab soal nomor 11 s/d nomor 15
Dibawah soal diberikan 4 pernyataan, maka pilihlah:
(A) jika pernyataan 1, 2, 3 betul.
(B) jika pernyataan 1 dan 3 betul.
(C) jika pernyataan 2 dan 4 betul.
(D) jika hanya pernyataan 4 yang betul.
(E) jika semua pernyataan betul.

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 11

Diketahui $f(x)=\frac{x-2011}{x-1}$
1) $f(x)$ tidak berlaku untuk $x=1$
2) $f(3)=1004$
3) $(f\circ f\circ f\circ f\circ f)(x)=\frac{x-2011}{x-1}$
4) $(f\circ f\circ f\circ f\circ f)(x)=\frac{x+2011}{x-1}$

Pembahasan:
$f(x)=\frac{x-2011}{x-1}$
penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka:
$\begin{align}x-1 &\ne 0 \\ x &\ne 1 \end{align}$
Jadi, $f(x)$ tidak berlaku untuk $x=1$ (pernyataan 1 benar)
$\begin{align}f(x) &= \frac{x-2011}{x-1} \\ f(3) &= \frac{3-2011}{3-1} \\ &= \frac{-2008}{2} \\ f(3) &= -1004 \end{align}$
Pernyataan 2 (salah)
$f(x)=\frac{x-2011}{x-1}\Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{x-2011}{x-1}$, karena $f(x)=f^{-1}(x)$ maka: $(f\circ f\circ f\circ f\circ f)(x)=\frac{x-2011}{x-1}$ (pernyataan 3 benar dan pernyataan 4 salah)
Karena (1) dan (3) benar, maka opsi B.
Jawaban: B

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 12

Persamaan $\tan 2x+2\sin x=0$, untuk $0 < x \le \pi $ adalah $x_1$ dan $x_2$ serta $x_1 > x_2$
1) $x_1.x_2=\frac{\pi }{3}$
2) $x_1-\frac{x_2}{x_1}=\frac{2}{3}$
3) $x_1+2x_2=-\frac{5\pi }{3}$
4) $x_1+x_2=\frac{4\pi }{3}$

Pembahasan:
$\tan 2x+2\sin x=0$
$\tan 2x=-2\sin x$
$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=-2\sin x$
$\sin 2x=-2.\cos 2x.\sin x$
$2\sin x.\cos x=-2.\cos 2x.\sin x$
$\sin x(\cos x+\cos 2x)=0$
$\sin x(2{{\cos }^{2}}x-1+\cos x)=0$
$\sin x(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$

Ingat: $0 < x \le \pi $
1) $\sin x=0$ maka $x=180^\circ =\pi $
2) $2\cos x-1=0\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ maka $x=60^\circ =\frac{1}{3}\pi $
3) $\cos x+1=0\Leftrightarrow \cos x=-1$ maka $x=180^\circ =\pi $
Jadi, $x_1=\pi $ dan $x_2=\frac{1}{3}\pi $
$x_1.x_2=\pi .\frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}{{\pi }^2}$ (pernyataan 1 salah)
Pernyataan 2 jelas salah, karena hasilnya harusnya dalam bentuk $\pi $.
$x_1+2x_1=\pi +2.\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi $ (pernyataan 3 salah)
$x_1+x_2=\pi +\frac{1}{3}\pi =\frac{4\pi }{3}$ (pernyataan 4 benar)
Sesuai petunjuk B, hanya pernyataan 4 benar maka opsi D.
Jawaban: D

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 13

Jika $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ dan $g(x)=\frac{x}{\sin x}$, maka ...
1) $\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)}=0$
2) $\frac{f'(x)}{g'(x)}=-{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{2}}$
3) $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=1$
4) $\frac{g'(x)}{f'(x)}=-{\left( \frac{x}{\sin x} \right)^2}$

Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1$
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=1$
$\frac{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)}{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)}=\frac{1}{1}=1$
Jadi, pernyataan 1 salah
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=1+1=2$
Jadi, pernyataan 3 salah
$f(x)=\frac{\sin x}{x}\Leftrightarrow f'(x)=\frac{x.\cos x-\sin x}{x^2}$
$g(x)=\frac{x}{\sin x}\Leftrightarrow g'(x)=\frac{\sin x-x.\cos x}{{{\sin }^2}x}$
$\begin{align}\frac{f'(x)}{g'(x)} &= \frac{\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}{\frac{\sin x-x.\cos x}{{{\sin }^2}x}} \\ &= \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.\frac{{{\sin }^2}x}{\sin x-x.\cos x} \\ &= -\frac{{{\sin }^2}x}{x^2} \\ \frac{f'(x)}{g'(x)} &= -{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^2} \end{align}$
Jadi, pernyataan 2 benar.
$\frac{f'(x)}{g'(x)}=-{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \frac{g'(x)}{f'(x)}=-{{\left( \frac{x}{\sin x} \right)}^{2}}$
Jadi, pernyataan 4 benar
Sesuai petunjuk B (pernyataan 2 dan 4 benar) maka opsi C.
Jawaban: C

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 14

Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh wanita juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar ...
1) Peluang pelajar pria yang terpilih memakai arloji = $\frac{1}{3}$.
2) Peluang pelajar wanita yang terpilih tidak memakai arloji = $\frac{1}{3}$.
3) Peluang pelajar wanita dan memakai arloji = $\frac{2}{3}$.
4) Peluang wanita atau memakai arloji = $\frac{5}{6}$

Pembahasan:
Perhatikan tabel berikut!

Peluang pelajar pria yang terpilih memakai arloji adalah:
= $\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$ (pernyataan 1 salah).
Peluang pelajar wanita yang terpilih tidak memakai arloji adalah:
= $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ (pernyataan 2 benar).
Peluang pelajar wanita dan memakai arloji adalah:
= $\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ (pernyataan 3 salah).
Peluang wanita atau memakai arloji adalah:
= $\frac{10}{30}+\frac{15}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$ (pernyataan 4 benar).
Sesuai petunjuk B (2 dan 4 benar), maka opsi C.
Jawaban: C

Soal UNRAM 2019 - Matematika Saintek No. 15

Titik $P(x,y)$ ditransformasikan oleh matriks $\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$. Bayangannya ditransformasikan pula oleh matriks $\left( \begin{matrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \\ \end{matrix} \right)$ adalah ...
1) $(y,x)$ bila $\alpha =-1$ dan $\beta =-1$
2) $(y,x)$ bila $\alpha =-1$ dan $\beta =1$
3) $(y,-x)$ bila $\alpha =1$ dan $\beta =1$
4) $(-y,-x)$ bila $\alpha =1$ dan $\beta =-1$

Pembahasan:
$P(x,y)$ ditransformasikan oleh matriks $\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$P'(x',y')=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -y \\ x \\ \end{matrix} \right)$
$P'(-y,x)$ ditransformasikan oleh matriks $\left( \begin{matrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$P''(x'',y'')=\left( \begin{matrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -\alpha y \\ \beta x \\ \end{matrix} \right)$
$P''(-\alpha y,\beta x)$
$\alpha =-1$, $\beta =-1$ maka $P''(y,-x)$, pernyataan 1 salah.
$\alpha =-1$, $\beta =1$ maka $P''(y,x)$, pernyataan 2 benar.
$\alpha =1$, $\beta =1$ maka $P''(-y,x)$, pernyataan 3 salah.
$\alpha =1$, $\beta =-1$ maka $P''(-y,-x)$, pernyataan 4 benar.
Berdasarkan petunjuk B (2 dan 4 benar), maka opsi C.
Jawaban: C

By: Catatan Matematika

Share :