Eksponen 1. Pangkat Bulat

Pada postingan kali ini kita akan membahas pangkat bulat positif, pangkat bulat negatif dan pangkat nol.

A. Pangkat Bulat Positif

1. Definisi dan Notasi

Jika $a$ bilangan real ($a\in R$) dan $n$ bilangan bulat positif lebih besar dari 1 ($n\in A$, $n > 1$), maka perkalian sembarang $a$ sebanyak $n$ kali adalah $a^n$ (dibaca “$a$ pangkat $n$”). Dalam bentuk matematis ditulis sebagai: $a^n=\underbrace{a\times a\times a\times ...\times a\times a}_{\text{terdiri atas n buah faktor sama}}$
Keterangan:
$a$ = bilangan pokok
$n$ = pangkat atau eksponen

2. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Jika $m,n\in A$ dan $a,b\in R$, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

1. $a^m \times a^n=a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
3. $\left( a^m \right)^n=a^{mn}$
4. $\left( a.b \right)^m=a^m.b^m$
5. $\left( \frac{a}{b} \right)^m=\frac{a^m}{b^m}$, dengan $b\ne 0$

Contoh 1.
Tuliskan dalam bentuk pangkat paling sederhana!
a) $5^4\times 5^2$
b) $7^6:7^3$
c) $\left( 6^5 \right)^9$
d) $\left( 2\times 5 \right)^{19}$
e) $\left( \frac{3}{5} \right)^8$
Penyelesaian:
a) $5^4\times 5^2=5^{4+2}=5^6$
b) $7^6:7^3=7^{6-3}=7^3$
c) $\left( 6^5 \right)^9=6^{5\times 9}=6^{45}$
d) $\left( 2\times 5 \right)^{19}=2^{19}\times 5^{19}$
e) $\left( \frac{3}{5} \right)^8=\frac{3^8}{5^8}$

Contoh 2.
Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!
a) $\left( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right)^4 \right)^3$
b) $\left( \frac{\left( 3x \right)^3}{y^2} \right)^5$
c) $\left( \frac{a^3b}{c} \right)^3\times \frac{a^3b^4}{c^2}$
d) $\left( \frac{x^3y^2}{x} \right)^5:\frac{x^4y^3}{xy^4}$
Penyelesaian:
a) $\left( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right)^4 \right)^3$
$\begin{align}\left( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right)^4 \right)^3 &= \left( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right)^{4\times 3} \\ &= \left( \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right)^{12} \\ &= \left( \frac{2}{3} \right)^{5\times 12} \\ &= \left( \frac{2}{3} \right)^{60} \\ &= \frac{2^{60}}{3^{60}} \end{align}$
b) $\left( \frac{\left( 3x \right)^3}{y^2} \right)^5$
$\begin{align}\left( \frac{\left( 3x \right)^3}{y^2} \right)^5 &= \frac{\left( 3x \right)^{3\times 5}}{y^{2\times 5}} \\ &= \frac{\left( 3x \right)^{15}}{y^{10}} \\ &= \frac{3^{15}.x^{15}}{y^{10}} \end{align}$
c) ${{\left( \frac{{{a}^{3}}b}{c} \right)}^{3}}\times \frac{{{a}^{3}}{{b}^{4}}}{{{c}^{2}}}$
$\begin{align} {\left( \frac{a^3b}{c} \right)^3}\times \frac{a^3b^4}{c^2} &=\frac{\left(a^3b \right)^3}{c^3}\times \frac{a^3b^4}{c^2} \\ &= \frac{{\left(a^3 \right)^3}.b^3}{c^3}\times \frac{a^3b^4}{c^2} \\ &= \frac{a^{3\times 3}.b^3}{c^3}\times \frac{a^3b^4}{c^2} \\ &= \frac{a^9.b^3.a^3.b^4}{c^3.c^2} \\ &= \frac{a^{9+3}.b^{3+4}}{c^{3+2}} \\ &= \frac{a^{12}.b^7}{c^5} \end{align}$

d) ${\left( \frac{x^3y^2}{x} \right)^5}:\frac{x^4y^3}{xy^4}$
${\left( \frac{x^3y^2}{x} \right)^5}:\frac{x^4y^3}{xy^4}$
= $\frac{\left(x^3y^2 \right)^5}{x^5}\times \frac{xy^4}{x^4y^3}$
= $\frac{{{\left(x^3 \right)}^5}{\left(y^2 \right)^5}}{x^5}\times \frac{xy^4}{x^4y^3}$
= $\frac{x^{3\times 5}.y^{2\times 5}}{x^5}\times \frac{xy^4}{x^4y^3}$
= $\frac{x^{15}.y^{10}}{x^5}\times \frac{xy^4}{x^4y^3}$
= $x^{15-5}.y^{10}.x^{1-4}.y^{4-3}$
= $x^{10}.y^{10}.x^{-3}.y^1$
= $x^{10+(-3)}.y^{10+1}$
= $x^7.y^{11}$

Contoh 3.
Diketahui jarak matahari ke planet Venus adalah $1,9\times 10^{11}$ m dan cepat rambat cahaya adalah $3\times 10^3\text{ms}^{-1}$. Tentukan lama waktu yang diperlukan sinar matahari agar sampai di planet Venus!
Penyelesaian:
$s=1,9\times 10^{11}\,\text{m}$
$v=3\times 10^3\text{ms}^{-1}$
$\begin{align}t &= \frac{s}{v} \\ &= \frac{1,9\times 10^{11}}{3\times 10^3} \\ t &= 0,63\times 10^{11-3} \end{align}$

B. Pangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol

1. Pangkat Bulat Negatif

Untuk setiap $a\in R$, $a\ne 0$, dan $n$ bilangan bulat positif berlaku:
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ atau $a^n=\frac{1}{a^{-n}}$

2. Pangkat Nol

Untuk setiap $a\in R$ dan $a\ne 0$ berlaku: $a^0=1$

Contoh 4.
Sederhanakan dan nyatakan $\frac{r^4}{\left( 3p^2q^7 \right)}:\frac{r^{-3}}{p^6q^{-5}}$ dalam pangkat bulat positif.
Penyelesaian:
$\frac{r^4}{\left( 3p^2q^7 \right)}:\frac{r^{-3}}{p^6q^{-5}}$
= $\frac{r^4}{\left( 3p^2q^7 \right)}\times \frac{p^6q^{-5}}{r^{-3}}$
= $\frac{r^4p^6q^{-5}}{3p^2q^7r^{-3}}$
= $\frac{r^{4-(-3)}p^{6-2}q^{-5-7}}{3}$
= $\frac{r^{7}p^4q^{-12}}{3}$
= $\frac{p^4r^7}{3q^{12}}$

Contoh 5.
Ubahlah $\frac{x^{-1}y-xy^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}$ ke dalam pangkat bulat positif?
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{x^{-1}y-xy^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}} &= \frac{\frac{y}{x}-\frac{x}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} \\ &= \frac{\frac{y^2-x^2}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} \\ &= \frac{y^2-x^2}{xy}.\frac{xy}{y-x} \\ &= \frac{y^2-x^2}{y-x} \\ &= \frac{(y-x)(y+x)}{(y-x)} \\ &= x+y \end{align}$

C. Penulisan Bilangan dalam Bentuk Baku (Notasi Ilmiah)

Suatu bilangan N yang dituliskan dalam bentuk notasi ilmiah merupakan hasil kali sembarang bilangan $a$ antara 1 dan 10 dengan sembarang bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 10. Secara matematis, $N=a\times 10^n$ dimana $1 \le a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.

Contoh 6.
Nyatakanlah bilangan-bilangan berikut ke dalam notasi ilmiah.
a) 0,097
b) 365,4
c) $\frac{1}{16}$
d) $(3\times 10^{-5}):{(8\times 10^{-7})^2}$
Penyelesaian:
a) Bilangan 0,097 dapat dinyatakan ke dalam notasi ilmiah dengan cara menggeser koma dua tempat ke kanan sehingga diperoleh 9,7 kemudian kalikan dengan $10^{-2}$ (pangkat -2 diperoleh karena koma digeser ke kanan dua tempat).
Jadi, 0,097 = $9,7\times 10^{-2}$
b) Bilangan 365,4 dapat dinyatakan ke dalam notasi ilmiah dengan cara menggerser koma dua tempat ke kiri sehingga diperoleh 3,654 kemudian kalikan dengan $10^2$ (pangkat 2 diperoleh karena koma digeser ke kiri dua tempat).
Jadi, 365,4 = $3,654\times 10^2$
c) $\frac{1}{16}=0,0625=6,25\times 10^{-2}$
d) $(3\times 10^{-5}):{(8\times 10^{-7})^2}$
$(3\times 10^{-5}):{(8\times 10^{-7})^2}$
= $\frac{3\times 10^{-5}}{(8\times 10^{-7})^2}$
= $\frac{3\times 10^{-5}}{8^2\times 10^{-7\times 2}}$
= $\frac{3\times 10^{-5}}{16\times 10^{-14}}$
= $0,046875\times 10^{-5-(-14)}$
= $4,6875\times 10^{-2}\times 10^9$
= $4,6875\times 0^7$

D. Soal Latihan

1. Tuliskan bentuk paling sederhana dari $\frac{16x^2y^{-3}}{2x^{-4}y^{-7}}$.
2. Tentukan nilai $(x-2)^{\frac{2}{5}}$ untuk $x=4\sqrt{2}+2$.
3. Tuliskan bentuk sederhana dari $\frac{y^{-1}+xy^{-2}}{1-x^2y^{-2}}$.
4. Diketahui $A=2^{n+2}.6^{n-4}$ dan $B=12^{n-1}$, $n$ bilangan asli. Tuliskan $\frac{A}{B}$ dalam bentuk paling sederhana.
5. Menurut Einstein, energi yang dimiliki oleh suatu benda yang bermassa $m$ dirumuskan oleh $E=mc^2$, dengan $c$ adalah kecepatan cahaya. Jika massa suatu benda $5,78\times {10}^{28}$ kg, tentukan energi yang dimiliki benda tersebut!

By: Catatan Matematika

Semoga postingan: Eksponen 1. Pangkat Bulat ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :