Eksponen 2. Bentuk Akar

Pada postingan kali ini kita akan mempelajari Bentuk Akar, Operasi Aljabar pada Bentuk Akar, Menyederhanakan Bentuk Akar dan Merasionalkan Penyebut.

A. Definisi Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Contoh 1.
Dari bilangan-bilangan berikut tentukan mana yang merupakan bentuk akar dan mana yang bukan!
a) $\sqrt{12}$
b) $\sqrt{25}$
c) $\sqrt{0,49}$
d) $\sqrt{145}$
e) $\sqrt[3]{0,008}$
Penyelesaian:

a)	$\sqrt{12}=3,4641....$ (bentuk akar)
b)	$\sqrt{25}=5$ (bukan bentuk akar)
c)	$\sqrt{0,49}=\sqrt{{{(0,7)}^{2}}}=0,7$ (bukan bentuk akar)
d)	$\sqrt{145}=12,0415....$ (bentuk akar)
e)	$\sqrt[3]{0,008}=\sqrt[3]{{{(0,2)}^{3}}}=0,2$ (bukan bentuk akar)

B. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

a) Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk setiap $a,b\in R$ dan $c\in {{R}^{+}}$, maka berlaku:
1) $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
2) $a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$

b) Perkalian Bentuk Akar
Untuk setiap $a,b,c,d\in R$ dan $c,d>0$ maka berlaku:
1) $\sqrt{c}\times \sqrt{d}=\sqrt{c\times d}$
2) $a\sqrt{c}\times b\sqrt{d}=a\times b\sqrt{c\times d}$
3) $\sqrt{c}(a+b\sqrt{d})=a\sqrt{c}+b\sqrt{cd}$

Contoh 2.
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ini!
a) $\sqrt{48}+\sqrt{75}+\sqrt{147}$
b) $\sqrt{8}-\sqrt{20}+3\sqrt{45}-5\sqrt{72}$
c) $\sqrt{3}\left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)$
d) $4\sqrt{2}\left( 3\sqrt{14}-\sqrt{18} \right)$
e) ${{\left( 3\sqrt{5}+6 \right)}^{2}}$
Penyelesaian:

a)	$\sqrt{48}+\sqrt{75}+\sqrt{147}$ = $\sqrt{16\times 3}+\sqrt{25\times 3}+\sqrt{49\times 3}$ = $\sqrt{16}\times \sqrt{3}+\sqrt{25}\times \sqrt{3}+\sqrt{49}\times \sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}+5\sqrt{3}+7\sqrt{3}$ = $(4+5+7)\sqrt{3}$ = $16\sqrt{3}$
b)	$\sqrt{8}-\sqrt{20}+3\sqrt{45}-5\sqrt{72}$ = $\sqrt{4\times 2}-\sqrt{4\times 5}+3\sqrt{9\times 5}-5\sqrt{36\times 2}$ = $2\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3.3\sqrt{5}-5.6\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2}-30\sqrt{2}-2\sqrt{5}+9\sqrt{5}$ = $-28\sqrt{2}+7\sqrt{5}$ = $7\sqrt{5}-28\sqrt{2}$
c)	$\sqrt{3}\left( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right)$ = $\sqrt{3\times 7}+\sqrt{3\times 3}$ = $\sqrt{21}+\sqrt{9}$ = $\sqrt{21}+3$ = $3+\sqrt{21}$
d)	$4\sqrt{2}\left( 3\sqrt{14}-\sqrt{18} \right)$ = $4\times 3\sqrt{2\times 14}-4\sqrt{2\times 18}$ = $12\sqrt{24}-4\sqrt{36}$ = $12\sqrt{4\times 6}-4.6$ = $12.2\sqrt{6}-24$ = $24\sqrt{6}-24$
e)	${{\left( 3\sqrt{5}+6 \right)}^{2}}$ = $\left( 3\sqrt{5}+6 \right)\left( 3\sqrt{5}+6 \right)$ = $9\sqrt{25}+18\sqrt{5}+18\sqrt{5}+36$ = $45+36\sqrt{5}+36$ = $81+36\sqrt{5}$

C. Menyederhanakan Bentuk Akar

Perhatikan uraian berikut ini:
$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}} &=a+b+2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}+\sqrt{b} &=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} \end{align}$
$\begin{align}{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right) \\ &= \sqrt{{{a}^{2}}}-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+\sqrt{{{b}^{2}}} \\ {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}} &= a+b-2\sqrt{ab} \\ \sqrt{a}-\sqrt{b} &= \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} \end{align}$

Dari uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut: Untuk $a>0$, $b>0$ dan $a>b$ maka:
a) $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
b) $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Contoh 3.
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
a) $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$
b) $\sqrt{10-2\sqrt{24}}$
c) $\sqrt{16+\sqrt{220}}$
d) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$
e) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$
Penyelesaian:

a)	$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$ = $\sqrt{(4+3)+2\sqrt{4\times 3}}$ = $\sqrt{4}+\sqrt{3}$ = $2+\sqrt{3}$
b)	$\sqrt{10-2\sqrt{24}}$ = $\sqrt{(6+4)-2\sqrt{6\times 4}}$ = $\sqrt{6}-\sqrt{4}$ = $\sqrt{6}-2$
c)	$\sqrt{16+\sqrt{220}}$ = $\sqrt{16+2\sqrt{\frac{220}{4}}}$ = $\sqrt{16+2\sqrt{55}}$ = $\sqrt{(11+5)+2\sqrt{11\times 5}}$ = $\sqrt{11}+\sqrt{5}$
d)	$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2.2\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2.\sqrt{4}.\sqrt{5}}$ = $\sqrt{9-2\sqrt{20}}$ = $\sqrt{(5+4)-2\sqrt{5\times 4}}$ = $\sqrt{5}-\sqrt{4}$ = $\sqrt{5}-2$
e)	$\sqrt{3-\sqrt{5}}$ = $\sqrt{3-\frac{2}{2}\sqrt{5}}$ = $\sqrt{\frac{6}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{2}}$ = $\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{(5+1)-2\sqrt{5\times 1}}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$

D. Merasionalkan Penyebut

a.	Pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$
	$\begin{align}\frac{a}{\sqrt{b}} &= \frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \\ &= \frac{a\sqrt{b}}{b} \end{align}$
b.	Pecahan bentuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$
	$\begin{align}\frac{a}{b+\sqrt{c}} &=\frac{a}{b+\sqrt{c}}\times \frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}} \\ &= \frac{ab-a\sqrt{c}}{{{b}^{2}}-c} \end{align}$
c.	Pecahan bentuk $\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
	$\begin{align}\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} &=\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\times \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} \\ &= \frac{a\sqrt{b}-a\sqrt{c}}{b-c} \end{align}$

Contoh 4.
Rasionalkanlah penyebut dari pecahan-pecahan berikut!
a) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$
b) $\frac{4}{3-\sqrt{5}}$
c) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4}$
Penyelesaian:

a)	$\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{2\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$
b)	$\begin{align}\frac{4}{3-\sqrt{5}} &= frac{4}{3-\sqrt{5}}\times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \\ &= \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} \\ &= \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} \\ &= 3+\sqrt{5} \end{align}$
c)	$\begin{align}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}+4}\times \frac{\sqrt{11}-4}{\sqrt{11}-4} \\ &= \frac{\sqrt{55}-4\sqrt{5}}{11-16} \\ &= \frac{\sqrt{55}-4\sqrt{5}}{-5} \\ &= \frac{4\sqrt{5}-\sqrt{55}}{5} \end{align}$

E. Soal Latihan

Bentuk sederhana dari $3\sqrt{48}+2\sqrt{27}-5\sqrt{125}$
Bentuk sederhana dari $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ adalah $a+\sqrt{b}$. Tentukan nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
Diketahui bilangan bulat $p$ dan $q$ memenuhi $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}=p+q\sqrt{8}$. Tentukan nilai $p-q$.
Rasionalkanlah penyebut dari $\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
Rasionalkanlah penyebut dari $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}-2}$.

By: Catatan Matematika

CATATAN MATEMATIKA