Skip to content Skip to sidebar Skip to footer
Home / Eksponen

Eksponen 5. Persamaan Eksponen

Post a Comment
Persamaan Eksponen
Pada postingan ini akan dibahas Persamaan Eksponen, Sistem Persamaan Eksponen, beserta contoh soal dan latihannya.

A. Persamaan Eksponen

Berikut ini beberapa bentuk persamaan eksponen dan penyelesaiannya:
1.Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$.
2.Jika $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ maka $f(x)=0$.
3.Jika $f(x)^{g(x)}=1$ maka:
(i)$f(x)=1$
(ii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ genap.
(iii)$g(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$.
4.Jika $f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}$ maka:
(i)$f(x)=g(x)$
(ii)$f(x)=-g(x)$ dengan syarat $h(x)$ genap.
(iii)$h(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$ dan $g(x)\ne 0$.
5.Jika $f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}$ maka:
(i)$g(x)=h(x)$
(ii)$f(x)=1$
(iii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ sama-sama bernilai genap atau ganjil.
6.Jika $a(p^x)^2+b(p^x)+c=0$ maka solusinya menggunakan sifat persamaan kuadrat.
Contoh 1.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $9^{x^2-6x-7}=1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}9^{x^2-6x-7} &= 1 \\ 9^{x^2-6x-7} &= 9^0 \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \end{align}$
$x+1=0\to x=-1$
$x-7=0\to x=7$
HP = {-1, 7}
Contoh 2.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $8^{x+2}=0,125$.
Penyelesaian:
$\begin{align}8^{x+2} &= 0,125 \\ 8^{x+2} &= \frac{125}{1000} \\ 8^{x+2} &= \frac{1}{8} \\ 8^{x+2} &= 8^{-1} \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ x+2 &= -1 \\ x &= -3 \end{align}$
HP = {-3}
Contoh 3.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $25^{3x-4}=5.\left( 125^{x+1} \right)$.
Penyelesaian:
$\begin{align}25^{3x-4} &= 5.\left( 125^{x+1} \right) \\ \left( 5^2 \right)^{3x-4} &= 5.\left( 5^3 \right)^{x+1} \\ 5^{6x-8} &= 5^1.5^{3x+3} \\ 5^{6x-8} &= 5^{3x+4} \\ a^{f(x)} &= a^{g(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= g(x) \\ 6x-8 &= 3x+4 \\ 6x-3x &= 4+8 \\ 3x &= 12 \\ x &= 4 \end{align}$
HP = {4}
Contoh 4.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x^2-4x+1}=8^{x-4}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x^2-4x+1} &= 8^{x-4} \\ (2^2)^{x^2-4x+1} &= (2^3)^{x-4} \\ 2^{2x^2-8x+2} &= 2^{3x-12} \\ 2x^2-8x+2 &= 3x-12 \\ 2x^2-11x+12 &= 0 \\ (2x-7)(x-2) &= 0 \end{align}$
$2x-7=0 \to x=\frac{7}{2}$
$x-2=0 \to x=2$
HP = $\left\{ 2,\frac{7}{2} \right\}$
Contoh 5.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( \frac{1}{9} \right)^{x-1}=\sqrt[2]{3^{3x+1}}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{9} \right)^{x-1} &= \sqrt[2]{3^{3x+1}} \\ \left( 3^{-2} \right)^{x-1} &= 3^{\frac{3x+1}{2}} \\ 3^{-2x+2} &= 3^{\frac{3x+1}{2}} \\ -2x+2 &= \frac{3x+1}{2} \\ -4x+4 &= 3x+1 \\ -4x-3x &= 1-4 \\ -7x &= -3 \\ x &= \frac{3}{7} \end{align}$
HP = $\left\{ \frac{3}{7} \right\}$
Contoh 6.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x^2+5x-6}=9^{x^2+5x-6}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x^2+5x-6} &= 9^{x^2+5x-6} \\ a^{f(x)} &= b^{f(x)} \end{align}$
maka:
$\begin{align}f(x) &= 0 \\ x^2+5x-6 &= 0 \\ (x+6)(x-1) &= 0 \end{align}$
$x+6=0\to x=-6$
$x-1=0\to x=1$
HP = {-6, 1}
Contoh 7.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( x^2-3x-11 \right)^{x+1}=1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( x^2-3x-11 \right)^{x+1} &= 1 \\ f(x)^{g(x)} &= 1 \end{align}$
maka:
(i) $f(x)=1$
$x^2-3x-11=1$
$x^2-3x-12=0$
$\begin{align}x &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4.1.(-12)}}{2.1} \\ &= \frac{3\pm \sqrt{9+48}}{2} \\ x &= \frac{3\pm \sqrt{57}}{2} \end{align}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{2}$ dan $x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{2}$
(ii)$f(x)=-1$
$\begin{align}x^2-3x-11 &= -1 \\ x^2-3x-10 &= 0 \\ (x+2)(x-5) &= 0 \end{align}$
$x+2=0\to x=-2$
$x-5=0\to x=5$
Syarat: $g(x)=x+1$ (genap)
$x=-2\to g(-2)=-2+1=-1$, ganjil (tidak memenuhi).
$x=5\to g(5)=5+1=6$, genap (memenuhi).
(iii)$g(x)=0$
$x+1=0\to x=-1$
Syarat: $f(x)=x^2-3x-11\ne 0$
untuk $x=-1$ maka:
$\begin{align}f(-1) &= (-1)^2-3(-1)-11 \\ f(-1) &= -8 \\ f(-1) &\ne 0 \end{align}$
Jadi, $x=-1$ memenuhi.
$HP=\left\{ \frac{3-\sqrt{57}}{2},-1,5,\frac{3+\sqrt{57}}{2} \right\}$
Contoh 8.
Penyelesaian dari persamaan persamaan eksponen: $(3x+1)^{x+5}=(x+3)^{x+5}$ adalah ….
Penyelesaian:
$\begin{align}(3x+1)^{x+5} &= (x+3)^{x+5} \\ f(x)^{h(x)} &= g(x)^{h(x)} \end{align}$
Diperoleh $f(x)=3x+1$, $g(x)=x+3$ dan $h(x)=x+5$.
Solusi:
(i)$f(x)=g(x)$
$\begin{align}3x+1 &= x+3 \\ 3x-x &= 3-1 \\ 2x &= 2 \\ x_1 &= 1 \end{align}$
(ii)$f(x)=-g(x)$ dengan syarat $h(x)$ genap.
$\begin{align}3x+1 &= -(x+3) \\ 3x+1 &= -x-3 \\ 3x+x &= -3-1 \\ 4x &= -4 \\ x &= -1 \end{align}$
Cek syarat:
$\begin{align}h(x) &= x+5 \\ h(-1) &= -1+5 \\ h(-1) &= 4 \end{align}$
$h(-1)$ genap, maka $x_2=-1$ memenuhi.
(iii)$h(x)=0$ dengan syarat $f(x)\ne 0$ dan $g(x)\ne 0$.
$\begin{align}h(x) &= 0 \\ x+5 &= 0 \\ x &= -5 \end{align}$
Cek syarat:
$\begin{align}f(x) &= 3x+1 \\ f(-5) &= 3.(-5)+1 \\ f(-5) &= -14 \\ f(-5) &\ne 0 \end{align}$
$\begin{align}g(x) &= x+3 \\ g(-5) &= -5+3 \\ g(-5) &= -2 \\ g(-5) &\ne 0 \end{align}$
Nilai $x_3=-5$ memenuhi syarat.
Dari (i), (ii) dan (iii) diperoleh:
HP = {-5, -1, 1}
Contoh 9.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $\left( x-2 \right)^{3x^2+5x+1}=\left( x-2 \right)^{x^2-2x-2}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( x-2 \right)^{3x^2+5x+1} &= \left( x-2 \right)^{x^2-2x-2} \\ f(x)^{g(x)} &= f(x)^{h(x)} \end{align}$
Diperoleh $f(x)=x-2$, $g(x)=3x^2+5x+1$ dan $h(x)=x^2-2x-2$.
Solusi:
(i)$g(x)=h(x)$
$\begin{align}3x^2+5x+1 &= x^2-2x-2 \\ 2x^2+7x+3 &= 0 \\ (2x+1)(x+3) &= 0 \end{align}$
$2x+1=0\to x_1=-\frac{1}{2}$
$x+3=0\to x_2=-3$
(ii)$f(x)=1$
$x-1=0\to x_3=1$
(iii)$f(x)=-1$ dengan syarat $g(x)$ dan $h(x)$ sama-sama bernilai genap dan ganjil.
$x-1=-1\to x=0$
$\begin{align}g(x) &= 3x^2+5x+1 \\ g(0) &= 3.0^2+5.0+1 \\ g(0) &= 1\,(\text{ganjil}) \end{align}$
$\begin{align}h(x) &= x^2-2x-2 \\ h(0) &= 0^2-2.0-2 \\ h(0) &= -2\,(\text{genap}) \end{align}$
Karena $g(0)$ ganjil dan $h(0)$ genap, maka nilai $x=0$ tidak memenuhi syarat.
Dari (i), (ii) dan (iii) diperoleh:
HP = $\left\{ -3,-\frac{1}{2},1 \right\}$.
Contoh 10.
Tentukan penyelesaian dari persamaan eksponen: $4^{x+1}+11.2^x-3=0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x+1}+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.4^x+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.(2^2)^x+11.2^x-3 &= 0 \\ 4.(2^x)^2+11.(2^x)-3 &= 0 \end{align}$
Misalkan, $2^x=p$ maka:
$\begin{align}4.(2^x)^2+11.(2^x)-3 &= 0 \\ 4p^2+11p-3 &= 0 \\ (4p-1)(p+3) &= 0 \end{align}$
$\begin{align}4p-1 &= 0 \\ 4p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \\ 2^x &= 2^{-1} \\ x_1 &= -1 \end{align}$
$\begin{align}p+3 &= 0 \\ p &= -3 \\ 2^x &= -3\,(\text{tidak ada nilai x yang memenuhi}) \end{align}$
HP = {-1}

B. Sistem Persamaan Eksponen

Sistem persamaan eksponen adalah sekelompok persamaan eksponen yang mempunyai penyelesaian simultan.
Contoh 11.
Diketahui sistem persamaan eksponen: $3^{x-2y}=\frac{1}{81}$ dan $2^{x-y}-16=0$. Tentukan nilai $x+y$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3^{x-2y} &= \frac{1}{81} \\ 3^{x-2y} &= 3^{-4} \\ x-2y &= -4\,...\,(1) \end{align}$
$\begin{align}2^{x-y}-16 &= 0 \\ 2^{x-y} &= 16 \\ 2^{x-y} &= 2^4 \\ x-y &= 4\,...\,(2) \end{align}$
Eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}x-2y &= -4 \\ x-y &= 4 \end{align}$
----------------------- (-)
$-y=-8\to y=8$
Substitusi $y=8$ ke persamaan (2):
$\begin{align}x-y &= 4 \\ x-8 &= 4 \\ x &= 12 \end{align}$
Nilai, $x+y=12+8=20$
Contoh 12.
Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan eksponen: $\left\{ \begin{matrix}2^x+2^{y+2}=12 \\ 2^{x-1}+2^y=4 \\ \end{matrix} \right.$.
Penyelesaian:
$\begin{align}2^x+2^{y+2} &= 12 \\ 2^x+2^2.2^y &= 12 \\ 2^x+4.2^y &= 12\,...\,(1) \end{align}$
$\begin{align}2^{x-1}+2^y &= 4 \\ \frac{2^x}{2}+2^y &= 4 \\ 2^x+2.2^y &= 8\,...\,(2) \end{align}$
Eliminasi $2^x$ dari persamaan (1) dan (2):
$\begin{align}2^x+4.2^y &= 12 \\ 2^x+2.2^y &= 8 \end{align}$
-------------------------- (-)
$\begin{align}2.2^y &= 4 \\ 2^y &= 2^1 \\ y &= 1 \end{align}$
Substitusi $y=1$ ke persamaan (2):
$\begin{align}2^x+2.2^y &= 8 \\ 2^x+2.2^1 &= 8 \\ 2^x+4 &= 8 \\ 2^x &= 4 \\ 2^x &= 2^2 \\ x &= 2 \end{align}$
HP = $\{(2,1)\}$

C. Soal Latihan

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $3^{7x+6}=\left( \frac{1}{27} \right)^{-4x+3}$.
  2. Tentukan himpunan penyelesaian dari $8^{x-1}=32^{5+2x}$.
  3. Penyelesaian persamaan $\sqrt{8^{x^2-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}$ adalah $p$ dan $q$, dengan $p>q$. Tentukan nilai $p+6q$.
  4. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}=\sqrt[3]{2^{3x+1}}$.
  5. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x^2-10)^{x^2-9x+14}=1$.
  6. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x+1)^{x^2+7x+10}=(3-2x)^{x^2+7x+10}$.
  7. Tentukan himpunan penyelesaian dari $(x^2)^x=x^{4x-x^2}$.
  8. Tentukan himpunan penyelesaian dari $3^{2x+2}+8.3^x-1=0$.
  9. Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix}3^{x+2y}=\frac{1}{81} \\ x-y=-1 \\ \end{matrix} \right.$ .
  10. Tentukan himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix}2^x+2^{y+2}=12 \\ 2^{x-1}+2^y=4 \\ \end{matrix} \right.$.
Setelah mempelajari materi Persamaan Eksponen maka materi selanjutnya adalah Pertidaksamaan Eksponen.
Semoga postingan: Eksponen 5. Persamaan Eksponen ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Post a Comment for "Eksponen 5. Persamaan Eksponen"

Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.