Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen

Pada postingan sebelumnya Catatan Matematika telah membahas materi mengenai Persamaan Eksponen, pada saat ini kita akan belajar materi Pertidaksamaan Eksponen.

A. Definisi Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.
Berikut contoh pertidaksamaan eksponen:
$a^{f(x)} > a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$, $a^{f(x)} < a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$

B. Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan penyelesaiannya:

1. Jika $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.
2. Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\le g(x)$.
3. Jika $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1 $ maka $f(x)\le g(x)$.
4. Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian dari $4^{x+1} > 32$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x+1} & > 32 \\ (2^2)^{x+1} & > 2^5 \\ 2^{2x+2} & > 2^5 \\ 2x+2 & > 5 \\ 2x & > 3 \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x > \frac{3}{2} \right\}$.

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari $729^{x+3}\ge 9^{x^2-1}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}729^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ (9^3)^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ 9^{3x+9} &\ge 9^{x^2-1} \\ 3x+9 &\ge x^2-1 \\ -x^2+3x+10 &\ge 0 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ (x-5)(x+2) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-5=0\to x=5$
$x+2=0\to x=-2$
Garis bilangan:

HP = $\left\{ x|-2\le x\le 5 \right\}$

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian dari $81^{3-2x} < \frac{1}{3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}81^{3-2x} & < \frac{1}{3} \\ (3^4)^{3-2x} & < 3^{-1} \\ 3^{12-8x} & < 3^{-1} \\ 12-8x & < -1 \\ -8x & < -13 \\ x & > \frac{13}{8} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x>\frac{13}{8} \right\}$

Contoh 4.

Tentukan penyelesaian dari $7^{x^2}\le 49^{3x-4}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}7^{x^2} &\le 49^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le (7^2)^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le 7^{6x-8} \\ x^2 &\le 6x-8 \\ x^2-6x+8 &\le 0 \\ (x-2)(x-4) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-2=0\to x=2$
$x-4=0\to x=4$
Garis bilangan:

HP = $\{x|2\le x\le 4\}$

Contoh 5.

Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} > 1$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > 1 \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > \left( \frac{1}{2} \right)^0 \\ x^2-8x+7 & < 0 \\ (x-1)(x-7) & < 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-1=0\to x=1$
$x-7=0\to x=7$
Garis bilangan:

HP = $\{x|1 < x < 7\}$

Contoh 6.

Tentukan penyelesaian dari $\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} \ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} &\ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \left( \frac{1}{3} \right)^3 \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+3};\,0 < a < 1 \\ \frac{2x-1}{4} &\le 3x+3 \\ 2x-1 &\le 12x+12 \\ 2x-12x &\le 12+1 \\ -10x &\le 13 \\ x &\ge -\frac{13}{10} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x\ge -\frac{13}{10} \right\}$

Contoh 7.

Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{5} \right)^{3x+9};\,0 < a < 1 \\ x^2+5x+1 & > 3x+9 \\ x^2+2x-8 & > 0 \\ (x+4)(x-2) & > 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+4=0\to x=-4$
$x-2=0\to x=2$
Garis bilangan:

HP = $\{x|x < -4\,\text{atau}\,x > 2\}$

Contoh 8.

Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x}\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \left( \frac{2}{9} \right)^2 \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{2}{9} \right)^{6x-6};\,0 < a < 1 \\ 8-x &\ge 6x-6 \\ -x-6x &\ge -6-8 \\ -7x &\ge -14 \\ x &\le 2 \end{align}$
HP = $\{x|x\le 2\}$

Contoh 9.

Tentukan penyelesaian dari $5^{x+1}+5^{1-x}-26\ge 0$.
Penyelesaian:
$\begin{align}5^{x+1}+5^{1-x}-26 &\ge 0 \\ 5.5^x+\frac{5}{5^x}-26 &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2+5-26.5^x &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \end{align}$
Misalkan, $5^x=p$ maka:
$\begin{align}5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \\ 5p^2-26p+5 &\ge 0 \\ (5p-1)(p-5) &\ge 0 \end{align}$
$p \le \frac{1}{5}$ atau $p \ge 5$
maka:
$\begin{align}p &\le \frac{1}{5} \\ 5^x &\le 5^{-1} \\ x &\le -1 \end{align}$
atau
$\begin{align}p &\ge 5 \\ 5^x &\ge 5^1 \\ x &\ge 1 \end{align}$
HP = $\{x|x\le -1\,\text{atau}\,x\ge 1\}$

Contoh 10.

Tentukan penyelesaian dari $3^{x+1}+9^{x+1} < 12$.
Penyelesaian:
$\begin{align}3^{x+1}+9^{x+1} & < 12 \\ 3.3^x+9.9^x-12 & < 0 \\ 3^x+3.9^x-4 & < 0 \\ 3^x+3.(3^2)^x-4 & < 0 \\ 3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \end{align}$
Misalkan, $3^x=p$ maka:
$\begin{align}3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \\ 3p^2+p-4 & < 0 \\ (3p+4)(p-1) & < 0 \end{align}$
$-\frac{4}{3} < p < 1$
Solusi 1:
$\begin{align}p & > -\frac{4}{3} \\ 2^x & > -\frac{4}{3} \end{align}$
HP1 = $\{x|x\in R\}$
Solusi 2:
$\begin{align}p & < 1 \\ 2^x & < 2^0 \\ x & < 0 \end{align}$
HP2 = $\{x|x < 0\}$
HP = HP1 $\cap $ HP2
HP = $\{x|x < 0\}$

C. Soal Latihan

1. Tentukan penyelesaian dari $5^{x-4} > 625$.
2. Tentukan penyelesaian dari $10^{1-2x}\le 1.000$.
3. Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{7} \right)^{3-2x} < \left( \frac{1}{49} \right)^{x-9}$.
4. Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{4} \right)^{x^2+8} \le \left( \frac{1}{64} \right)^{x+2}$.
5. Tentukan penyelesaian dari $9^x-4.3^x+3 > 0$.

Share :