Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen
![Pertidaksamaan Eksponen](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgP_qVTCU94OHTqHKypKP6VaoOa8igbajGECWr6fkze2yHDtAKaCdIQPZuNNWwFA4elh1gBWb4PSIUOkq5m5i3IDVSui6noryut910zivqUXkV82CsEWjD5mTOSX1YgqdsMyRc1xE1InbvhhCBnSqU31Zmk29hXVsu80LNJmO3sF_n4sIsV1UKYIs9qrg/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Eksponen.png)
A. Definisi Pertidaksamaan Eksponen
Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel.
Berikut contoh pertidaksamaan eksponen:
$a^{f(x)} > a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$, $a^{f(x)} < a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$
Berikut contoh pertidaksamaan eksponen:
$a^{f(x)} > a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$, $a^{f(x)} < a^{g(x)}$, $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$
B. Pertidaksamaan Eksponen
Bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen dan penyelesaiannya:
- Jika $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.
- Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $a > 1$ maka $f(x)\le g(x)$.
- Jika $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1 $ maka $f(x)\le g(x)$.
- Jika $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ dan $0 < a < 1$ maka $f(x)\ge g(x)$.
Contoh 1.
Tentukan penyelesaian dari $4^{x+1} > 32$.Penyelesaian:
$\begin{align}4^{x+1} & > 32 \\ (2^2)^{x+1} & > 2^5 \\ 2^{2x+2} & > 2^5 \\ 2x+2 & > 5 \\ 2x & > 3 \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x > \frac{3}{2} \right\}$.
Contoh 2.
Tentukan penyelesaian dari $729^{x+3}\ge 9^{x^2-1}$.Penyelesaian:
$\begin{align}729^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ (9^3)^{x+3} &\ge 9^{x^2-1} \\ 9^{3x+9} &\ge 9^{x^2-1} \\ 3x+9 &\ge x^2-1 \\ -x^2+3x+10 &\ge 0 \\ x^2-3x-10 &\le 0 \\ (x-5)(x+2) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-5=0\to x=5$
$x+2=0\to x=-2$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Eksponen](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvdNlL6Pec_zsGMTFURAWFMRlZa2semhN6buhvpfNQnCro3NnRaHD0VBDNDDHKTqp632n9aY5qyUrDa5LJguMXE5aSXGv-c0agXpjzpIkXBcFeKVcpfvEIwILidmJhvAC5XTW6IF_uDkar9nDdSHjY6AlWd6q6TmF8yx_TP20nHdf4PAgYvseJvCYxTg/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Eksponen%201.png)
HP = $\left\{ x|-2\le x\le 5 \right\}$
Contoh 3.
Tentukan penyelesaian dari $81^{3-2x} < \frac{1}{3}$.Penyelesaian:
$\begin{align}81^{3-2x} & < \frac{1}{3} \\ (3^4)^{3-2x} & < 3^{-1} \\ 3^{12-8x} & < 3^{-1} \\ 12-8x & < -1 \\ -8x & < -13 \\ x & > \frac{13}{8} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x>\frac{13}{8} \right\}$
Contoh 4.
Tentukan penyelesaian dari $7^{x^2}\le 49^{3x-4}$.Penyelesaian:
$\begin{align}7^{x^2} &\le 49^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le (7^2)^{3x-4} \\ 7^{x^2} &\le 7^{6x-8} \\ x^2 &\le 6x-8 \\ x^2-6x+8 &\le 0 \\ (x-2)(x-4) &\le 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-2=0\to x=2$
$x-4=0\to x=4$
Garis bilangan:
![Pertidaksamaan Eksponen](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu5naAR9fShUgzh5DVY1NDxv2xNMxnVyXYaFnmBJufND_MHwGUttY5GkkqUZ7N3B-MgNsx3E3cOqxfGmOF6ZN3kQRl-a4AjIINkrPOcx-2NWY7uzR6aOhPS-T2Tl-_Pk481YcncqT_qrbr9_NU2QQv3KlPOLcKOlyOZnQsKBcXGyAjRdJf-_6Wgoun6Q/s1600-rw/Pertidaksamaan%20Eksponen%202.png)
HP = $\{x|2\le x\le 4\}$
Contoh 5.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} > 1$.Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > 1 \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2-8x+7} & > \left( \frac{1}{2} \right)^0 \\ x^2-8x+7 & < 0 \\ (x-1)(x-7) & < 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x-1=0\to x=1$
$x-7=0\to x=7$
Garis bilangan:
![Penyelesaian Pertidaksamaan Eksponen](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4baEVeU99T7-Isg7nA9dyw7r3zQzR8RUD3DqV1bX2lSQUr_WgDPe1QGgKkeW2dEodbelX4kRYQ2rx969DWPwjViG1SB4eKY11B6IEDfYzzmaKIkzlsiuhlfwMsU618jWgAoWkf8LC0-B8UliOFDgFQsdDwzMpwJi-nkW-Cz8lzxb5lNvUl9sySwy6cQ/s1600-rw/Penyelesaian%20Pertidaksamaan%20Eksponen.png)
HP = $\{x|1 < x < 7\}$
Contoh 6.
Tentukan penyelesaian dari $\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} \ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1}$.Penyelesaian:
$\begin{align}\sqrt[4]{\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}} &\ge \left( \frac{1}{27} \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \left( \frac{1}{3} \right)^3 \right)^{x+1} \\ \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2x-1}{4}} &\ge \left( \frac{1}{3} \right)^{3x+3};\,0 < a < 1 \\ \frac{2x-1}{4} &\le 3x+3 \\ 2x-1 &\le 12x+12 \\ 2x-12x &\le 12+1 \\ -10x &\le 13 \\ x &\ge -\frac{13}{10} \end{align}$
HP = $\left\{ x|x\ge -\frac{13}{10} \right\}$
Contoh 7.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3}$.Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{125} \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right)^{x+3} \\ \left( \frac{1}{5} \right)^{x^2+5x+1} & < \left( \frac{1}{5} \right)^{3x+9};\,0 < a < 1 \\ x^2+5x+1 & > 3x+9 \\ x^2+2x-8 & > 0 \\ (x+4)(x-2) & > 0 \end{align}$
Nilai $x$ pembuat nol:
$x+4=0\to x=-4$
$x-2=0\to x=2$
Garis bilangan:
![Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Eksponen](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixCBGzIFmfi2j8V_m8LJpYZaxscANWPglXhgLMiH-HNBD2F0P4yd4fxvUvUuxqwe280SKqR_zfDK2Q_4cuL21c8GKVub7uT6ACzjXtVeOC_3hewztGpuSmMQN_emvnsfbjHHv9QtYxMYk78gI69DH21QYEmGBOtMyUJnpKE81YdUcRkaod1jeFBm6dZA/s1600-rw/Cara%20Menyelesaikan%20Pertidaksamaan%20Eksponen.png)
HP = $\{x|x < -4\,\text{atau}\,x > 2\}$
Contoh 8.
Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x}\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3}$.Penyelesaian:
$\begin{align}\left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{4}{81} \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \left( \frac{2}{9} \right)^2 \right)^{3x-3} \\ \left( \frac{2}{9} \right)^{8-x} &\le \left( \frac{2}{9} \right)^{6x-6};\,0 < a < 1 \\ 8-x &\ge 6x-6 \\ -x-6x &\ge -6-8 \\ -7x &\ge -14 \\ x &\le 2 \end{align}$
HP = $\{x|x\le 2\}$
Contoh 9.
Tentukan penyelesaian dari $5^{x+1}+5^{1-x}-26\ge 0$.Penyelesaian:
$\begin{align}5^{x+1}+5^{1-x}-26 &\ge 0 \\ 5.5^x+\frac{5}{5^x}-26 &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2+5-26.5^x &\ge 0 \\ 5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \end{align}$
Misalkan, $5^x=p$ maka:
$\begin{align}5.(5^x)^2-26.(5^x)+5 &\ge 0 \\ 5p^2-26p+5 &\ge 0 \\ (5p-1)(p-5) &\ge 0 \end{align}$
$p \le \frac{1}{5}$ atau $p \ge 5$
maka:
$\begin{align}p &\le \frac{1}{5} \\ 5^x &\le 5^{-1} \\ x &\le -1 \end{align}$
atau
$\begin{align}p &\ge 5 \\ 5^x &\ge 5^1 \\ x &\ge 1 \end{align}$
HP = $\{x|x\le -1\,\text{atau}\,x\ge 1\}$
Contoh 10.
Tentukan penyelesaian dari $3^{x+1}+9^{x+1} < 12$.Penyelesaian:
$\begin{align}3^{x+1}+9^{x+1} & < 12 \\ 3.3^x+9.9^x-12 & < 0 \\ 3^x+3.9^x-4 & < 0 \\ 3^x+3.(3^2)^x-4 & < 0 \\ 3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \end{align}$
Misalkan, $3^x=p$ maka:
$\begin{align}3.(3^x)^2+(3^x)-4 & < 0 \\ 3p^2+p-4 & < 0 \\ (3p+4)(p-1) & < 0 \end{align}$
$-\frac{4}{3} < p < 1$
Solusi 1:
$\begin{align}p & > -\frac{4}{3} \\ 2^x & > -\frac{4}{3} \end{align}$
HP1 = $\{x|x\in R\}$
Solusi 2:
$\begin{align}p & < 1 \\ 2^x & < 2^0 \\ x & < 0 \end{align}$
HP2 = $\{x|x < 0\}$
HP = HP1 $\cap $ HP2
HP = $\{x|x < 0\}$
C. Soal Latihan
- Tentukan penyelesaian dari $5^{x-4} > 625$.
- Tentukan penyelesaian dari $10^{1-2x}\le 1.000$.
- Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{7} \right)^{3-2x} < \left( \frac{1}{49} \right)^{x-9}$.
- Tentukan penyelesaian dari $\left( \frac{1}{4} \right)^{x^2+8} \le \left( \frac{1}{64} \right)^{x+2}$.
- Tentukan penyelesaian dari $9^x-4.3^x+3 > 0$.
Semoga postingan: Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Eksponen 6. Pertidaksamaan Eksponen"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.