Logaritma 1. Definisi dan Sifat-sifat Logaritma

A. Definisi Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan (eksponen).
$^a\log b=c \Leftrightarrow b=a^c$ dengan $a > 0$, $a\ne 1$ dan $b > 0$.
Dimana:

1. $a$ = bilangan pokok (basis). Jika $a=10$, bilangan pokok ini tidak ditulis. Contoh $^{10}\log 5$ ditulis $\log 5$.
2. $b$ = numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya.
3. $c$ = hasil logaritma
4. $^a\log b$ dibaca logaritma $b$ dengan basis $a$.
5. $^a\log b$ dapat juga ditulis $\log_{a}b$.

B. Nilai Logaritma

Ada dua cara menentukan nilai logaritma suatu bilangan, yaitu:
Cara 1: Menggunakan alat hitung (kalkulator) atau tabel logaritma.
Cara 2: Menggunakan definisi logaritma.

1. Langkah-langkah menentukan nilai logaritma menggunakan definsi.
2. Misalkan hasil nilai logaritma adalah variabel tertentu.
3. Nyatakan bentuk logaritma yang dicari ke bentuk pangkat (sesuai definisi).
4. Nyatakan ruas kanan dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok yang sama dengan bentuk logaritma di ruas kiri.
5. Menarik kesimpulan dari kedua ruas.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari bentuk-bentuk logaritma berikut!

a.	$^{6}\log 216$
b.	$^{4}\log 256$
c.	$^{\frac{1}{3}}\log 9$
d.	$^{\frac{1}{4}}\log \frac{1}{64}$

Penyelesaian:

a.	$\begin{align}^6\log 216 &= x \\ 216 &= 6^x \\ 6^3 &= 6^x \\ 3 &= x \end{align}$ Jadi, $^{6}\log 216=3$
b.	$\begin{align}^4\log 256 &= x \\ 256 &= 4^x \\ 4^4 &= 4^x \\ 4 &= x \end{align}$ Jadi, $^{4}\log 256=4$
c.	$\begin{align}^{\frac{1}{3}}\log 9 &= x \\ 9 &= \left( \frac{1}{3} \right)^x \\ 9 &= \left( 3^{-1} \right)^x \\ 3^2 &= 3^{-x} \\ 2 &= -x \\ x &= -2 \end{align}$ Jadi, $^{\frac{1}{3}}\log 9=-2$
d.	$\begin{align}^{\frac{1}{4}}\log \frac{1}{64} &= x \\ ^{\frac{1}{4}}\log \frac{1}{64} &= x \\ \frac{1}{64} &= \left( \frac{1}{4} \right)^x \\ \left( \frac{1}{4} \right)^3 &= \left( \frac{1}{4} \right)^x \\ 3 &= x \end{align}$ Jadi, $^{\frac{1}{4}}\log \frac{1}{64}=3$

C. Sifat-sifat Logaritma

Untuk $a > 0$, $a\ne 1$, $b > 0$, $c > 0$ berlaku:

1. $^a\log \left( bc \right)=^a\log b+^a\log c$
2. $^a\log \left( \frac{b}{c} \right)=^a\log b-^a\log c$
3. $^a\log b.^b\log c=^a\log c$
4. $^{a^m}\log b=\frac{1}{m}.^a\log b=^a\log {b^{\frac{1}{m}}}$
5. ${^a\log {b^n}}=n.{^a\log b}={^{a^{\frac{1}{n}}}\log b}$
6. $^{a^m}\log {b^n}=\frac{n}{m}.{^a\log b}$
7. $^a\log b=\frac{1}{^b\log a}$
8. $^a\log b=\frac{^x\log b}{^x\log a};\,x > 0,\,x\ne 1$
9. $a^{^a\log b}=b$
10. $^a\log a=1$
11. $^a\log 1=0$

Contoh 2.

Diketahui $\log 8=0,903$. Nilai $\log 32$ adalah …
Penyelesaian:
$\begin{align}\log 8 &= 0,908 \\ \log {2^3} &= 0,903 \\ 3.\log 2 &= 0,903 \\ \log 2 &= \frac{0,903}{3} \\ \log 2 &= 0,301 \end{align}$
$\begin{align}\log 32 &= \log {2^5} \\ &= 5.\log 2 \\ &= 5\times (0,301) \\ \log 32 &= 1,505 \end{align}$

Contoh 3.

Diketahui $\log 3=0,477$ dan $\log 5=0,699$ maka $\log 45$ adalah …
Penyelesaian:
$\begin{align}\log 45 &= \log \left( 9\times 5 \right) \\ &= \log \left( 3^2\times 5 \right) \\ &= \log {3^2}+\log 5 \\ &= 2.\log 3+\log 5 \\ &= 2\times (0,477)+0,699 \\ &= 0,954+0,699 \\ \log 45 &= 1,653 \end{align}$

Contoh 4.

Tentukan nilai dari ${^2\log 3}-{^2\log 9}+{^2\log 12}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}{^2\log 3}-{^2\log 9}+{^2\log 12} &= {^2\log \left( \frac{3}{9}\times 12 \right)} \\ &= {^2\log 4} \\ &= {^2\log 2^2} \\ &= 2.{^2\log 2} \\ &= 2.1 \\ {^2\log 3}-{^2\log 9}+{^2\log 12} &= 2 \end{align}$

Contoh 5.

Tentukan nilai dari ${^9\log 25}.{^5\log 2}-{^3\log 54}$.
Penyelesaian:
${^9\log 25}.{^5\log 2}-{^3\log 54}$
= $
{^{3^2}\log {5^2}}.{^5\log 2}-{^3\log 54}$
= $
\frac{2}{2}.{^3\log 5}.{^5\log 2}-{^3\log 54}$
= $
{^3\log 2}-{^3\log 54}$
= $
{^3\log \frac{2}{54}}$
= $
{^3\log \frac{1}{27}}$
= $
{^3\log 3^{-3}}$
= $
-3.{^3\log 3}$
= $
-3.1 \\ ^9\log 25.{^5\log 2}-{^3\log 4}$
= $-3$

Contoh 6.

Tentukan nilai dari $\frac{^{27}\log 9+{^2\log 3}.{^{\sqrt{3}}\log 4}}{{^3\log 2}-{^3\log 18}}$.
Penyelesaian:
$\frac{^{27}\log 9+^2\log 3.^{\sqrt{3}}\log 4}{{^3\log 2}-{^3\log 18}}$
= $\frac{{^{3^3}\log {3^2}}+{^2\log 3}.{^{3^{\frac{1}{2}}}\log {2^2}}}{^3\log \frac{2}{18}}$
= $\frac{\frac{2}{3}.{^3\log 3}+{^2\log 3}.\frac{2}{1/2}.{^3\log 2}}{^3\log \frac{1}{9}}$
= $\frac{\frac{2}{3}+{^2\log 3}.4.{^3\log 2}}{^3\log {3^{-2}}}$
= $\frac{\frac{2}{3}+4.{^2\log 3}.{^3\log 2}}{-2.{^3\log 3}}$
= $\frac{\frac{2}{3}+4.{^2\log 2}}{-2.1}$
= $\frac{\frac{2}{3}+4.1}{-2}$
= $\frac{2+12}{-6}$
= $-\frac{14}{6} \\ \frac{{^{27}\log 9}+{^2\log 3}.{^{\sqrt{3}}\log 4}}{^3\log 2-{^3\log 18}}$
= $-\frac{7}{3}$

Contoh 7.

Hitunglah nilai dari $4^{^8\log 6}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}4^{^8\log 6} &= \left( 2^2 \right)^{^8\log 6} \\ &= 2^{2.{^8\log 6}} \\ &= 2^{^8\log {6^2}} \\ &= 2^{^{2^3}\log 36} \\ &= 2^{^2\log \left( 36 \right)^{\frac{1}{3}}} \\ &= 2^{^2\log \sqrt[3]{36}} \\ 4^{^8\log 6} &= \sqrt[3]{36} \end{align}$

Contoh 8.

Diketahui $^3\log 2=p$, tentukan nilai $^8\log 81$ dalam bentuk $p$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^8\log 81 &= {^{2^3}\log {3^4}} \\ &= \frac{4}{3}.{^2\log 3} \\ &= \frac{4}{3}.\frac{1}{^3\log 2} \\ &= \frac{4}{3}.\frac{1}{p} \\ ^8\log 81 &= \frac{4}{3p} \end{align}$

Contoh 9.

Diketahui $^3\log 5=m$ dan $^7\log 5=n$, tentukan nilai $^{35}\log 15$ dalam bentuk $m$ dan $n$.
Penyelesaian:
$\begin{align}^{35}\log 15 &= \frac{^5\log 15}{^5\log 35} \\ &= \frac{^5\log (3\times 5)}{^5\log (7\times 5)} \\ &= \frac{{^5\log 3}+{^5\log 5}}{{^5\log 7}+{^5\log 5}} \\ &= \frac{\frac{1}{^3\log 5}+1}{\frac{1}{^7\log 5}+1} \\ &= \frac{\frac{1}{m}+1}{\frac{1}{n}+1} \\ &= \frac{\frac{1+m}{m}}{\frac{1+n}{n}} \\ &= \frac{1+m}{m}\times \frac{n}{1+n} \\ ^{35}\log 15 &= \frac{n(m+1)}{m(n+1)} \end{align}$

Contoh 10.

Diketahui $b={{a}^{4}}$, $a$ dan $b$ positif, maka $^{a}\log b{{-}^{b}}\log a$ = ….
Penyelesaian:
$\begin{align}{^a\log b}-{^b\log a} &= {^a\log {a^4}}-{^{a^4}\log a} \\ &= 4.{^a\log a}-\frac{1}{4}.{^a\log a} \\ &= 4.1-\frac{1}{4}.1 \\ &= 4-\frac{1}{4} \\ {^a\log b}-{^b\log a} &= \frac{15}{4} \end{align}$

D. Soal Latihan

1. Tentukan nilai dari $^5\log 50+{^2\log 48}-{^5\log 2}-{^2\log 3}$.
2. Tentukan nilai dari $\frac{^3\log \sqrt{6}}{\left( ^3\log 18 \right)^2-\left( ^3\log 2 \right)^2}$.
3. Tentukan nilai dari $\frac{\log 8\sqrt{3}+\log 9\sqrt{3}}{\log 6}$.
4. Diketahui $^2\log 3=a$, tentukan nilai $^8\log 6$ dalam bentuk $a$.
5. Diketahui $^3\log 6=p$ dan $^3\log 2=q$, tentukan nilai $^{24}\log 288$ dalam bentuk $p$ dan $q$.

Semoga postingan: Logaritma 1. Definisi dan Sifat-sifat Logaritma ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :