Logaritma 2. Fungsi Logaritma dan Grafiknya

Pada postingan kali ini kita akan membahas dan mempelajari materi Fungsi Logaritma dan Grafiknya yang terdiri dari beberapa sub materi yaitu: 1) Definisi Logaritma; 2) Cara Menggambar Grafik Fungsi Logaritma; 3) Menentukan Sifat-sifat Grafik Fungsi Logaritma; 4) Cara Menentukan Asimtot Tegak Grafik Fungsi Logaritma; 5) Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Logaritma

A. Definisi Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa bentuk logaritma. Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen.
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok atau basis $a$ dapat dituliskan dalam bentuk $y=f(x)={^a\log x}$ dengan:

1. $x$ adalah variabel bebas atau numerus dan berlaku sebagai daerah asal (domain) fungsi $f$, yaitu $Df=\{x|x > 0,\,x\in R\}$.
2. $a$ adalah bilangan pokok atau basis logaritma dengan ketentuan $a > 0$ dan $a\ne 1$.
3. $y$ adalah variabel tak bebas dan berlaku sebagai daerah hasil (range) fungsi yaitu, $Rf=\{y|y\in R\}$.

B. Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma $y=f(x)={^a\log x}$ dikelompokkan menjadi dua macam berdasarkan bilangan pokok $a$, yaitu:

1. Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok $a > 1$ (perhatikan contoh 1).
2. Grafik fungsi logaritma dengan bilangan pokok $0 < a < 1$ (perhatikan contoh 2).

Contoh 1.

Gambarkanlah grafik fungsi logaritma $y=f(x)={^2\log x}$.
Pembahasan:
Kita buat tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai $x$ dengan nilai $y={^2\log x}$.

Gambarkan titik-titik koordinat $(x,y)$ pada bidang cartesius. Kemudian hubungkan antara dua titik yang berdekatan dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma $y={^2\log x}$.

Contoh 2.

Gambarkanlah grafik fungsi logaritma $y=f(x)={^{\frac{1}{2}}\log x}$.
Pembahasan:
Kita buat tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai $x$ dengan nilai $y={^{\frac{1}{2}}\log x}$.

Gambarkan titik-titik koordinat $(x,y)$ pada bidang cartesius. Kemudian hubungkan antara dua titik yang berdekatan dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma $y={^{\frac{1}{2}}\log x}$.

C. Sifat-sifat Fungsi Logaritma

Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 grafik fungsi logaritma $y=f(x)={^a\log x}$ secara umum ditunjukkan pada gambar berikut.

Dengan memperhatikan grafik di atas secara seksama kita bisa mendaftarkan sifat-sifat penting dari fungsi logaritma, sebagai berikut:

1. $f$ selalu memotong sumbu $X$ di titik $(1,0)$.
2. $f$ adalah fungsi kontinu.
3. Sumbu Y tidak pernah dipotong oleh fungsi $f$ melainkan hanya didekati. Sumbu Y sebagai asimtot tegak.
4. Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Misalnya, $y={^a\log x}$ adalah invers dari $y=a^x$. Oleh karena itu grafik $y={^a\log x}$ bisa diperoleh dengan mencerminkan grafik $y=a^x$ terhadap garis $y=x$.
5. $f$ merupakan fungsi naik untuk $a > 1$.
6. $f$ merupakan fungsi turun untuk $0 < a < 1$.
7. Grafik $y={^a\log x}$ dan $y={^{\frac{1}{a}}\log x}$ simetri terhadap sumbu X. Oleh karena itu grafik $y={^{\frac{1}{a}}\log x}$ dapat diperoleh dari pencerminan grafik $y={^a\log x}$ terhadap sumbu X.

D. Asimtot Tegak Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma memiliki asimtot tegak. Untuk menentukan persamaan asimtot tegak grafik fungsi logaritma maka numerusnya sama dengan nol.
Jika fungsi logaritma $y={^a\log g(x)}$ maka asimtot tegaknya adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $g(x)=0$.

Contoh 3.

Tentukan asimtot tegak dari grafik fungsi $f(x)={^6\log (x-12)+4}$.
Pembahasan:
$f(x) = {^6\log (x-12)+4}$, asimtot tegak diperoleh jika numerus sama dengan nol, maka:
$\begin{align}x-12 &= 0 \\ x &= 12 \end{align}$
Jadi, asimtot tegak grafik fungsi $f(x)={^6\log (x-12)+4}$ adalah $x=12$.

E. Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Logaritma

Untuk menentukan persamaan dari grafik fungsi logaritma, kita dapat menggunakan beberapa keterangan yang diberikan pada gambar seperti melalui beberapa titik, asimtot tegak dan bentuk persamaannya.

Contoh 4.

Tentukan persamaan grafik fungsi logaritma pada gambar di bawah ini.

Pembahasan:
Karena grafik melalui titik $(1,0)$ maka bentuk persamaan fungsinya adalah $y={^a\log x}$.
Grafik melalui titik $(9,-2)$ maka:
$\begin{align}y &= {^a\log x} \\ -2 &= {^a\log 9} \\ a^{-2} &= 9 \\ a^{-2} &= 3^2 \\ a^{-2} &= (3^{-1})^{-2} \\ a &= 3^{-1} \\ a &= \frac{1}{3} \end{align}$
$y={^a\log x}\to y={^{\frac{1}{3}}\log x}$
Jadi, persamaan dari grafik fungsi tersebut adalah $y={^{\frac{1}{3}}\log x}$.

Contoh 5.

Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini.

Pembahasan:
Berdasarkan gambar diperoleh:
1) Grafik melalui titik $(1,1)$
2) Grafik melalui titik $(4,3)$
Jika diketahui dua informasi maka bentuk persamaan grafiknya adalah $y={^a\log bx}$.
Grafik melalui titik $(1,1)$ maka:
$\begin{align}y &= {^a\log bx} \\ 1 &= {^a\log b} \\ a &= b \end{align}$
Grafik melalui titik $(4,3)$ maka:
$\begin{align}y &= {^a\log bx} \\ 3 &= {^b\log (b.4)} \\ 3 &= {^b\log b}+{^b\log 4} \\ 3 &= 1+{^b\log 4} \\ 2 &= {^b\log 4} \\ b^2 &= 4 \\ b^2 &= 2^2 \\ b &= 2 \end{align}$
$a=b\to a=2$
$y={^a\log bx}\to y={^2\log 2x}$
Jadi, persamaan dari grafik fungsi tersebut adalah $y={^2\log 2x}$.

Contoh 6.

Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini.

Pembahasan:
Berdasarkan gambar diperoleh:
1) Asimtot tegak $x=1$
2) Grafik melalui titik $(3,1)$
3) Grafik melalui titik $(5,2)$ Jika diketahui tiga informasi maka bentuk persamaan grafik fungsinya adalah $y={^a\log \left( bx+c \right)}$.
Asimtot tegak grafik fungsi $y = {^a\log \left( bx+c \right)}$ adalah $x=1$ maka:
$\begin{align}bx+c &= 0 \\ b.1+c &= 0 \\ b &= -c \,........(1) \end{align}$
Grafik melalui titik $(3,1)$ maka:
$\begin{align}y &= {^a\log \left( bx+c \right)} \\ 1 &= {^a\log \left( 3b+c \right)} \\ 3b+c &= a^1 \\ 3b+c &= a \,\,........\,(2) \end{align}$
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2):
$\begin{align}3b+c &= a \\ 3(-c)+c &= a \\ -2c &= a\,........\,(3) \end{align}$
Grafik melalui titik $(5,2)$ maka:
$\begin{align}y &= {^a\log \left( bx+c \right)} \\ 2 &= {^a\log \left( 5b+c \right)} \\ 5b+c &= a^2 \\ 5b+c &= a^2\,........\,(4) \end{align}$
Substitusi persamaan (1) dan (3) ke persamaan (4):
$\begin{align}5b+c &= a^2 \\ 5(-c)+c &= (-2c)^2 \\ -4c &= 4c^2 \\ 4c^2+4c &= 0 \\ c^2+c &= 0 \\ c(c+1) &= 0 \end{align}$
$c=0$ atau $c=-1$
Untuk $c=0$ maka:
$\begin{align}a &= -2c \\ &= -2.0 \\ a &= 0\,(\text{tidak memenuhi}) \end{align}$
Untuk $c=0$ maka:
$\begin{align}a &= -2c \\ &= -2.(-1) \\ a &= 2\,(\text{memenuhi}) \end{align}$
$c=-1$ substitusi ke persamaan (1):
$\begin{align}b &= -c \\ b &= -(-1) \\ b &= 1 \end{align}$
$y={^a\log \left( bx+c \right)}\to y={^2\log \left( x-1 \right)}$
Jadi, persamaan grafik fungsi pada gambar adalah $y={^2\log \left( x-1 \right)}$.

F. Soal Latihan Fungsi Logaritma

1.	Gambarlah grafik fungsi $y={^3\log 3x}$.
2.	Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar berikut!
3.	Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar berikut!
4.	Tentukan asimtot grafik fungsi $f(x)={^2\log (x-3)}$.
5.	Diketahui grafik fungsi logaritma $f(x)={^3\log (x-6)-1}$ memiliki asimtot $x=a$ dan memotong sumbu X di $x=b$. Tentukan nilai dari $a+b$.

Semoga postingan: Logaritma 2. Fungsi Logaritma dan Grafiknya ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :