Persamaan Trigonometri a cos x + b sin x = c
A. Persamaan Trigonometri $a\cos x+b\sin x=c$
Persamaan trigonometri berbentuk $a\cos x+b\sin x=c$ dapat diselesaikan dengan syarat $a^2+b^2\ge c^2$. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara mengubah $a\cos x+b\sin x=c$ menjadi $k\cos (x-\theta )$, sehingga:
$\begin{align} a\cos x+b\sin x &= c \\ k\cos (x-\theta ) &= c \end{align}$
Dimana:
$\theta ={\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$; $\theta $ dan titik $(a,b)$ pada kuadran yang sama.
$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Besar sudut $\theta $ tergantung pada kuadran titik $(a,b)$.
$\begin{align} a\cos x+b\sin x &= c \\ k\cos (x-\theta ) &= c \end{align}$
Dimana:
$\theta ={\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$; $\theta $ dan titik $(a,b)$ pada kuadran yang sama.
$k=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Besar sudut $\theta $ tergantung pada kuadran titik $(a,b)$.
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$
$a=\sqrt{3}$, $b=1$ dan $c=1$ maka:
$\theta $ dan titik $(a,b) = (\sqrt{3}, 1)$ di kuadran I.
$\begin{align}\theta &= {\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( \frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 30^\circ \end{align}$
$\begin{align}k &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} \\ k &= 2 \end{align}$
$\begin{align}\sqrt{3}\cos x+\sin x &= 1 \\ k\cos (x-\theta ) &= c \\ 2\cos (x-30^\circ ) &= 1 \\ \cos (x-30^\circ ) &= \frac{1}{2} \\ \cos (x-30^\circ ) &= \cos 60^\circ \end{align}$
diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=x-30^\circ$ dan $g(x)=60^\circ$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-30^\circ &= 60^\circ +k.360^\circ \\ x &= 60^\circ +30^\circ +k.360^\circ \\ x &= 90^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=0\to x=90^\circ +0\times 360^\circ =90^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-30^\circ &= -60^\circ +k.360^\circ \\ x &= -60^\circ +30^\circ +k.360^\circ \\ x &= -30^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=1\to x=-30^\circ +1\times 360^\circ =330^\circ $
HP = $\{90^\circ ,330^\circ \}$
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sqrt{3}\sin 2x-2\cos 2x=2\sqrt{3}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
$\begin{align}2\sqrt{3}\sin 2x-2\cos 2x &= 2\sqrt{3} \\ -2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x &= 2\sqrt{3} \end{align}$
$a=-2$, $b=2\sqrt{3}$ dan $c=2\sqrt{3}$ maka: $\theta$ dan titik $(a,b) = (-2, 2\sqrt{3})$ di kuadran II
$\begin{align}\theta &= {\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( \frac{2\sqrt{3}}{-2} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( -\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 120^\circ \end{align}$
$\begin{align}k &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{4+12} \\ k &= 4 \end{align}$
$\begin{align}-2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x &= 2\sqrt{3} \\ k\cos (2x-\theta ) &= c \\ 4\cos (2x-120^\circ ) &= 2\sqrt{3} \\ \cos (2x-120^\circ ) &= \frac{2\sqrt{3}}{4} \\ \cos (2x-120^\circ ) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (2x-120^\circ ) &= \cos 30^\circ \end{align}$
diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=2x-120^\circ$ dan $g(x)=30^\circ$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ$
$\begin{align}2x-120^\circ &= 30^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 30^\circ +120^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 150^\circ +k.360^\circ \\ x &= 75^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=75^\circ +0\times 180^\circ =75^\circ $
$k=1\to x=75^\circ +1\times 180^\circ =255^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x-120^\circ &= -30^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= -30^\circ +120^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 90^\circ +k.360^\circ \\ x &= 45^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=45^\circ +0\times 180^\circ =45^\circ $
$k=1\to x=45^\circ +1\times 180^\circ =225^\circ $
HP = $\{45^\circ ,75^\circ ,225^\circ ,255^\circ \}$
Contoh 3.
Tentukan batas nilai $p$ sehingga persamaan $p\cos x+(p-1)\sin x=p+1$ mempunyai penyelesaian.
Penyelesaian:
$p\cos x+(p-1)\sin x=p+1$
$a=p$, $b=p-1$ dan $c=p+1$
Syarat persamaan mempunyai penyelesaian adalah:
$\begin{align}a^2+b^2 &\ge c^2 \\ p^2+(p-1)^2 &\ge (p+1)^2 \\ p^2+p^2-2p+1 &\ge p^2+2p+1 \\ p^2-4p &\ge 0 \\ p(p-4) &\ge 0 \end{align}$
$p=0$ atau $p=4$ maka:
$p\le 0$ atau $p\ge 4$
Contoh 4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
$\sqrt{3}\cos x-\sin x=\sqrt{2}$
$a=\sqrt{3}$, $b=-1$ dan $c=\sqrt{2}$ maka:
$\theta $ dan titik $(a,b) = (\sqrt{3}, -1)$ di kuadran IV.
$\begin{align}\theta &= {\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 330^\circ \end{align}$
$\begin{align}k &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} \\ k &= 2 \end{align}$
$\begin{align}\sqrt{3}\cos x-\sin x &= \sqrt{2} \\ k\cos (x-\theta ) &= c \\ 2\cos (x-330^\circ ) &= \sqrt{2} \\ \cos (x-330^\circ ) &= \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \cos (x-330^\circ ) &= \cos 45^\circ \end{align}$
diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=x-330^\circ$ dan $g(x)=45^\circ$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-330^\circ &= 45^\circ +k.360^\circ \\ x &= 45^\circ +330^\circ +k.360^\circ \\ x &= 375^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=-1\to x=375^\circ +(-1)\times 360^\circ =15^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-330^\circ &= -45^\circ +k.360^\circ \\ x &= -45^\circ +330^\circ +k.360^\circ \\ x &= 285^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=0\to x=285^\circ +0\times 360^\circ =285^\circ $
HP = $\{15^\circ ,285^\circ \}$
Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
$\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$
$a=1$, $b=-\sqrt{3}$ dan $c=\sqrt{3}$ maka:
$\theta $ dan titik $(a,b) = (1, -\sqrt{3})$ berada di kuadran IV.
$\begin{align}\theta &= {\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}}{1} \right) \\ &= {\tan }^{-1}\left( -\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 300^\circ \end{align}$
$\begin{align}k &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} \\ k &= 2 \end{align}$
$\begin{align}\cos x-\sqrt{3}\sin x &= \sqrt{3} \\ k\cos (x-\theta ) &= c \\ 2\cos (x-300^\circ ) &= \sqrt{3} \\ \cos (x-300^\circ ) &= \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos (x-300^\circ ) &= \cos 30^\circ \end{align}$
diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=x-300^\circ$ dan $g(x)=30^\circ$ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-300^\circ &= 30^\circ +k.360^\circ \\ x &= 30^\circ +300^\circ +k.360^\circ \\ x &= 330^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=0\to x=330^\circ +0\times 360^\circ =330^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}x-300^\circ &= -30^\circ +k.360^\circ \\ x &= -30^\circ +300^\circ +k.360^\circ \\ x &= 270^\circ +k.360^\circ \end{align}$
$k=0\to x=270^\circ +0\times 360^\circ =270^\circ $
HP = $\{270^\circ ,330^\circ \}$
B. Soal Latihan
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos x-\sqrt{3}\sin x=2$ untuk $0^\circ \le x < 360^\circ $.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}$ untuk $0^\circ < < \le 360^\circ $.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0$ untuk $0^\circ \le x < 360^\circ $.
- Tentukan batas-batas nilai $m$ agar persamaan $3\cos x-m\sin x=3\sqrt{5}$ dapat diselesaikan.
- Tentukan batas-batas nilai $p$ agar persamaan $(p-2)\cos x+(p-1)\sin x=p$ dapat diselesaikan.
Semoga postingan: Persamaan Trigonometri a cos x + b sin x = c ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Persamaan Trigonometri a cos x + b sin x = c"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.