Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

A. Persamaan Trigonometri Berbentuk Persamaan Kuadrat $a{{x}^2}+bx+c=0$

Bentuk-bentuk persamaan trigonometri yang telah diubah menjadi persamaan kuadrat:

1. $a{{\sin }^2}f(x)+b\sin f(x)+c=0$
2. $a{{\cos }^2}f(x)+b\cos f(x)+c=0$
3. $a{{\tan }^2}f(x)+b\tan f(x)+c=0$

Langkah-langkah menyelesaikan persamaan trigonometri di atas adalah:

1. Misalkan $\sin f(x)=p$, $\cos f(x)=p$ dan $\tan f(x)=p$.
2. Gunakan metode faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc sehingga diperoleh persamaan trigonometri dasar.
3. Selesaikan persamaan trigonometri dasar yang diperoleh pada langkah 2 untuk mencari nilai-nilai $x$ yang memenuhi.

---

Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\sin }^2}2x-7\sin 2x+3=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
Penyelesaian:
Misal $\sin 2x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\sin }^2}2x-7\sin 2x+3 &= 0 \\ 2p^2-7p+3 &= 0 \\ (p-3)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-3 &= 0 \\ p &= 3 \\ \sin 2x &= 3 \end{align}$
(tidak memenuhi karena nilai sinus maksimum 1)
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}2 \\ \sin 2x &= \frac{1}2 \\ \sin 2x &= \sin 30^\circ \\ \sin f(x) &= \sin g(x) \end{align}$
maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= 30^\circ +k.360^\circ \\ x &= 15^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=15^\circ +0\times 180^\circ =15^\circ $
$k=1\to x=15^\circ +1\times 180^\circ =195^\circ $
2) $f(x)=(180^\circ -g(x))+k.360^\circ $
$\begin{align}2x &= (180^\circ -30^\circ )+k.360^\circ \\ 2x &= 150^\circ +k.360^\circ \\ x &= 75^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=75^\circ +0\times 180^\circ =75^\circ $
$k=1\to x=75^\circ +1\times 180^\circ =255^\circ $
HP = $\{15^\circ ,75^\circ ,195^\circ ,255^\circ \}$ atau HP = $\left\{ \frac{1}{12}\pi ,\frac{5}{12}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi \right\}$

---

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $3{{\tan }^2}2x-1=0$ untuk $0^\circ < x < 180^\circ $.
Penyelesaian:
$\begin{align}3{{\tan }^2}2x-1 &= 0 \\ 3{{\tan }^2}2x &= 1 \\ {{\tan }^2}2x &= \frac{1}{3} \\ \tan 2x &= \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}\tan 2x &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan 2x &= \tan 30^\circ \end{align}$
$\begin{align}\color{blue}f(x) &\color{blue}= g(x)+k.180^\circ \\ 2x &= 30^\circ +k.180^\circ \\ x &= 15^\circ +k.90^\circ \end{align}$
$k=0\to x=15^\circ +0\times 90^\circ =15^\circ $
$k=1\to x=15^\circ +1\times 90^\circ =105^\circ $
Kasus 2.
$\begin{align}\tan 2x &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan 2x &= \tan 150^\circ \end{align}$
$\begin{align}\color{blue}f(x) &\color{blue}= g(x)+k.180^\circ \\ 2x &= 150^\circ +k.180^\circ \\ x &= 75^\circ +k.90^\circ \end{align}$
$k=0\to x=75^\circ +0\times 90^\circ =75^\circ $
$k=1\to x=75^\circ +1\times 90^\circ =165^\circ $
HP = $\{15^\circ ,75^\circ ,105^\circ ,165^\circ \}$ atau HP = $\left\{ \frac{1}{12}\pi ,\frac{5}{12}\pi ,\frac{7}{12}\pi ,\frac{11}{12}\pi \right\}$

---

Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^2}x-5\cos x+2=0$ untuk $-180^\circ < x < 180^\circ $.
Penyelesaian:
Misal $\cos x=p$ maka:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-5\cos x+2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (p-2)(2p-1) &= 0 \end{align}$
Kasus 1.
$\begin{align}p-2 &= 0 \\ p &= 2 \\ \cos x &= 2 \end{align}$
(tidak memenuhi karena nilai maksimum cosinus adalah 1).
Kasus 2.
$\begin{align}2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}2 \\ \cos x &= \frac{1}2 \\ \cos x &= \cos 60^\circ \end{align}$
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$x=60^\circ +k.360^\circ $
$k=0\to x=60^\circ +0\times 360^\circ =60^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$x=-60^\circ +k.360^\circ $
$k=0\to x=-60^\circ +0\times 360^\circ =-60^\circ $
HP = $\{-60^\circ ,60^\circ \}$ atau HP = $\left\{ -\frac{1}{3}\pi ,\frac{1}{3}\pi \right\}$

---

Contoh 4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $3{{\tan }^2}x-{{\sec }^2}x-5=0$ untuk $0 < x < \frac{3}2\pi $.
Penyelesaian:
$\begin{align}3{{\tan }^2}x-{{\sec }^2}x-5 &= 0 \\ 3{{\tan }^2}x-(1+{{\tan }^2}x)-5 &= 0 \\ 3{{\tan }^2}x-1-{{\tan }^2}x-5 &= 0 \\ 2{{\tan }^2}x-6 &= 0 \\ 2{{\tan }^2}x &= 6 \\ {{\tan }^2}x &= 3 \\ \tan x &= \pm \sqrt{3} \end{align}$
$\tan x=\sqrt{3}$ maka $x=60^\circ$ atau $x=240^\circ $
$\tan x=-\sqrt{3}$ maka $x=120^\circ$
HP = $\{60^\circ ,120^\circ ,240^\circ \}$ atau HP = $\left\{ \frac{1}{3}\pi ,\frac2{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi \right\}$

---

Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^2}x-\sin x-2=0$ untuk $0 < x < 2\pi $.
Penyelesaian:
$\begin{align}2{{\cos }^2}x-\sin x-2 &= 0 \\ 2(1-{{\sin }^2}x)-\sin x-2 &= 0 \\ 2-2{{\sin }^2}x-\sin x-2 &= 0 \\ -2{{\sin }^2}x-\sin x &= 0 \\ 2{{\sin }^2}x+\sin x &= 0 \\ \sin x(2\sin x+1) &= 0 \end{align}$
$\sin x=0$ maka $x=180^\circ $
$\begin{align}2\sin x+1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &=-\frac{1}2\end{align}$
$x=210^\circ$ atau $x=330^\circ$
HP = $\{180^\circ ,210^\circ ,330^\circ \}$ atau HP = $\left\{ \pi ,\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi \right\}$

---

B. Soal Latihan

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^2}x+5\sin x-4=0$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
2. Tentukan penyelesaian persamaan ${{\cos }^2}x-\cos x-2=0$ pada interval $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $\tan x+\cot x=-2$ dalam interval $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri ${{\tan }^2}2x-2\tan 2x=-1$ untuk $0^\circ \le x\le 360^\circ $.
5. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2{{\sin }^2}x+\sin x-1=0$ untuk $-2\pi \le x\le 2\pi $.

Semoga postingan: Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :