Polinomial 1. Definisi, Operasi Aljabar dan Kesamaan Suku Banyak

A. Definisi Suku Banyak

Suku banyak (polinom) dengan variabel $x$ dan berderajat $n$ adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum:
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
Dengan $a_0$, $a_1$, …, $a_{n-1}$, $a_n$ bilangan real dan $a_n\ne 0$
Keterangan:

♥	$n$ adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.
♥	derajat suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari $x$ pada suku banyak itu.
♥	$a_n$ disebut koefisien dari $x^n$, $a_{n-1}$ disebut koefisien dari $x^{n-1}$, ... , dan $a_1$ disebut koefisien dari $x$. Sedangkan suku yang tidak memuat variabel (peubah) $x$ yaitu $a_0$ disebut konstanta (suku tetap).
♥	Variabel (peubah) suku banyak dapat menggunakan lambang lain selain $x$, seperti $a$, $b$, $c$, ..., $y$ atau $z$.

Contoh:
Diketahui suku banyak $f(x)=-3x^5+7x^4-5x^2+x-2$. Tentukan:

a.	Derajat suku banyak $f(x)$.
b.	Koefisien $x^4$
c.	Koefisien $x^3$
d.	Suku tetap

Penyelesaian:
$f(x)=-3x^5+7x^4-5x^2+x-2$ dapat ditulis secara lengkap menjadi:
$f(x)=-3x^5+7x^4+0x^3-5x^2+x-2$

a.	Pangkat tertinggi variabel $x$ adalah 5. Jadi, derajat suku banyak $f(x)$ adalah 5.
b.	Koefisien $x^4$ = 7
c.	Koefisien $x^3$ = 0
d.	Suku tetap (konstanta) = $-2$

B. Operasi Aljabar Suku Banyak

Operasi aljabar pada suku banyak terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang memiliki sifat dan aturan yang sama seperti operasi aljabar pada bilangan real. Untuk operasi pembagian akan dibahas secara khusus pada bagian berikutnya.
Contoh:
Diketahui $f(x)=3x^2+7x-5$ dan $g(x)=2x^3-9x^2-x+4$. Tentukan:

a.	$f(x)+g(x)$ serta derajatnya
b.	$f(x)-g(x)$ serta derajatnya
c.	$f(x)\times g(x)$ serta derajatnya

Penyelesaian:

a.	$f(x)+g(x)$ = $3x^2+7x-5+2x^3-9x^2-x+4$ = $2x^3+3x^2-9x^2+7x-x-5+4$ = $2x^3-6x^2+6x-1$ Derajatnya adalah 3.
b.	$f(x)-g(x)$ = $3x^2+7x-5-(2x^3-9x^2-x+4)$ = $3x^2+7x-5-2x^3+9x^2+x-4$ = $-2x^3+3x^2+9x^2+7x+x-4-5$ = $-2x^3+12x^2+8x-9$ Derajatnya adalah 3.
c.	$f(x)\times g(x)$ = $(3x^2+7x-5)(2x^3-9x^2-x+4)$ = $6x^5-27x^4-3x^3+12x^2$ + $14x^4-63x^3-7x^2+28x$$-10x^3+45x^2+5x-20$ = $6x^5-27x^4+14x^4$$-3x^3-63x^3-10x^3$$+12x^2-7x^2+45x^2$$+28x+5x-20$ = $6x^5-13x^4-76x^3+50x^2+33x-20$ Derajatnya adalah 5.

C. Kesamaan Suku Banyak

Misalkan diberikan suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dengan:
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
$g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0$
Jika $f(x)=g(x)$ maka: $a_n=b_n$, $a_{n-1}=b_{n-1}$, …, $a_1=b_1$ dan $a_0=b_0$.

---

Contoh 1.
Diketahui $f(x)=x^3+4x^2-7x+p$ dan $g(x)=(x-2)(x+1)(x+q)$. Jika $f(x)=g(x)$ tentukan nilai $p$ dan $q$.
Penyelesaian:
$\begin{align}g(x) &= (x-2)(x+1)(x+q) \\ &= (x^2+x-2x-2)(x+q) \\ &= (x^2-x-2)(x+q) \\ &= x^3+qx^2-x^2-qx-2x-2q \\ g(x) &= x^3+(q-1)x^2-(q+2)x-2q \end{align}$
$f(x)=g(x)$
$x^3+4x^2-7x+p$ = $x^3+(q-1)x^2-(q+2)x-2q$
Perhatikan koefisien $x^2$ di ruas kanan dan kiri maka:
$\begin{align}q-1 &= 4 \\ q &= 4+1 \\ q &= 5 \end{align}$
Perhatikan konstanta di ruas kiri dan kanan maka:
$\begin{align}p &= -2q \\ &= -2.5 \\ p &= -10 \end{align}$
Jadi, nilai $p=-10$ dan $q=5$.

---

Contoh 2.
Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari kesamaan $(ax+2)(x-b)=3x^2-10x-8$.
Penyelesaian:

$\begin{align}(ax+2)(x-b) &= 3x^2-10x-8 \\ ax^2-abx+2x-2b &= 3x^2-10x-8 \\ ax^2+(2-ab)x-2b &= 3x^2-10x-8 \end{align}$
Perhatikan koefisien $x^2$ di ruas kiri dan kanan maka:
$a=3$
Perhatikan konstanta di ruas kiri dan kanan maka:
$-2b=-8\Rightarrow b=4$
Jadi, nilai $a=3$ dan $b=4$.

---

Contoh 3.
Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari kesamaan:
$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x-2}$
Penyelesaian:
$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x-2}$
$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{a(x-2)+b(x-3)}{x^2-5x+6}$
$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{ax-2a+bx-3b}{x^2-5x+6}$
$\frac{5x-13}{x^2-5x+6}=\frac{(a+b)x-2a-3b}{x^2-5x+6}$
maka:
$5x-13=(a+b)x-2a-3b$
$\begin{align}a+b &= 5 \\ a &= 5-b \end{align}$
$\begin{align}-2a-3b &= -13 \\ 2a+3b &= 13 \\ 2(5-b)+3b &= 13 \\ 10-2b+3b &= 13 \\ b &= 13-10 \\ b &= 3 \end{align}$
Substitusi $b=3$ ke persamaan:
$\begin{align}a &= 5-b \\ &= 5-3 \\ a &= 2 \end{align}$
Jadi, nilai $a=2$ dan $b=3$.

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $a$, $b$ dan $c$ dari kesamaan:
$\frac{5x^2-8x+5}{(x-2)(x^2-x+1)}=\frac{a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
Penyelesaian:
$\frac{5x^2-8x+5}{(x-2)(x^2-x+1)}=\frac{a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
$\frac{5x^2-8x+5}{(x-2)(x^2-x+1)}$ = $\frac{a(x^2-x+1)+(bx+c)(x-2)}{(x-2)(x^2-x+1)}$
maka:
$5x^2-8x+5$ = $a(x^2-x+1)+(bx+c)(x-2)$
$5x^2-8x+5$ = $ax^2-ax+a$$+bx^2-2bx+cx-2c$
$5x^2-8x+5$ = $ax^2+bx^2$$-ax-2bx+cx+a-2c$
$5x^2-8x+5$ = $(a+b)x^2$$-(a+2b-c)x+a-2c$
Perhatikan koefisien $x^2$ ruas kanan dan kiri maka:
$a+b=5\,....\,(1)$
Perhatikan koefisien $x$ ruas kanan dan kiri maka:
$\begin{align}-(a+2b-c) &= -8 \\ a+2b-c &= 8\,....\,(2) \end{align}$
Perhatikan konstanta di ruas kanan dan kiri maka:
$a-2c=5\,....\,(3)$
Eliminasi $b$ dari persamaan (1) dan (2) maka:
$\left. \begin{align}a+b &= 5 \\ a+2b-c &= 8 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$\frac{\begin{align}2a+2b &= 10 \\ a+2b-c &= 8 \end{align}}{a+c=2\,....\,(4)}-$
Eliminasi $a$ dari persamaan (4) dan (3):
$\frac{\begin{align}a+c &= 2 \\ a-2c &= 5 \end{align}}{\begin{align}3c &= -3 \\ c &= -1 \end{align}}-$
Substitusi $c=-1$ ke persamaan (4):
$\begin{align}a+c &= 2 \\ a-1 &= 2 \\ a &= 3 \end{align}$
Substitusi $a=3$ ke persamaan (1):
$\begin{align}a+b &= 5 \\ 3+b &= 5 \\ b &= 2 \end{align}$
Jadi, nilai $a=3$, $b=2$ dan $c=-1$.

---

D. Soal Latihan

1.	Diketahui $f(x)=x^2+3x-5$ dan $g(x)=x^3-x^2+1$. Tentukan $f(x)\times g(x)$ dan derajatnya.
2.	Sebuah peti berbentuk balok berukuran panjang $(3x+4)$ cm, lebar $(3x-5)$ cm dan tinggi $7x$ cm. Nyatakan volume peti tersebut dalam suku banyak.
3.	Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari kesamaan $\frac{3x+4}{9-x^2}=\frac{a}{3-x}+\frac{b}{3+x}$.
4.	Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari kesamaan $\frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-2}\equiv \frac{6x}{x^2+x-6}$.
5.	Hitunglah nilai $a$, $b$ dan $c$ dari kesamaan: $\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}=\frac{a}{4x+1}+\frac{bx+c}{x^2+1}$.

Semoga postingan: Polinomial 1. Definisi, Operasi Aljabar dan Kesamaan Suku Banyak ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :