Nilai Maksimum dan Minimum y = a cos x + b sin x + c

A. Nilai Maksimum dan Minimum $y=a\cos x+b\sin x+c$

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=a\cos x+b\sin x+c$ bentuk $a\cos x+b\sin x$ diubah menjadi $k\cos (x-\theta )$ dengan $k=\sqrt{a^2+b^2}$ dan $\theta ={\tan }^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$.
Besar sudut $\theta $ tergantung tanda (negatif/positif) dari koefisien $\cos x$ dan $\sin x$ mengikuti tabel berikut:

Sehingga, $y=a\cos x+b\sin x+c$ menjadi $y=k\cos (x-\theta )+c$. Nilai $y=k\cos (x-\theta )+c$ akan maksimum untuk $\cos (x-\theta )=1$ dan minimum untuk $\cos (x-\theta )=-1$.
Jadi, nilai optimum dari $y=a\cos x+b\sin x+c$ adalah $y_{\max }=k+c$ dan $y_{\min }=-k+c$.
atau

Nilai maksimum dan minimum dari $y=a\cos x+b\sin x+c$ adalah:
1. $y_{\max }=\sqrt{a^2+b^2}+c$
2. $y_{\min }=-\sqrt{a^2+b^2}+c$

---

Contoh 1.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=2\cos x+\sqrt{5}\sin x$.
Penyelesaian:
$y=2\cos x+\sqrt{5}\sin x$
$a=2$, $b=\sqrt{5}$ dan $c=0$
$\begin{align}y_{\max } &= \sqrt{a^2+b^2}+c \\ &= \sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}+0 \\ &= \sqrt{4+5} \\ y_{\max } &= 3 \end{align}$
$\begin{align}y_{\min } &= -\sqrt{a^2+b^2}+c \\ &= -\sqrt{2^2+(\sqrt{5})^2}+0 \\ &= -\sqrt{4+5} \\ y_{\min } &= -3 \end{align}$
Jadi, nilai maksimum dan minimum dari $y=2\cos x+\sqrt{5}\sin x$ berturut-turut adalah $y_{\max} = 3$ dan $y_{\min} = -3$.

---

Contoh 2.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=-2\cos x-\sqrt{3}\sin x+3$.
Penyelesaian:
$y=-2\cos x-\sqrt{3}\sin x+3$
$a=-2$, $b=-\sqrt{3}$ dan $c=3$
$\begin{align}y_{\max } &= \sqrt{a^2+b^2}+c \\ &= \sqrt{(-2)^2+(-\sqrt{3})^2}+3 \\ &= \sqrt{4+3}+3 \\ y_{\max } &= \sqrt{7}+3 \end{align}$
$\begin{align}y_{\min } &= -\sqrt{a^2+b^2}+c \\ &= -\sqrt{(-2)^2+(-\sqrt{3})^2}+3 \\ &= -\sqrt{4+3}+3 \\ y_{\min } &= -\sqrt{7}+3 \end{align}$
Jadi, nilai maksimum dan minimum dari $y=2\cos x+\sqrt{5}\sin x$ berturut-turut adalah $y_{\max}=\sqrt{7}+3$ dan $y_{\min}=-\sqrt{7}+3$.

---

Contoh 3.
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $y=\frac{12}{4\cos x+3\sin x-7}$.
Penyelesaian:
$y=\frac{12}{4\cos x+3\sin x-7}$
Perhatikan penyebut: $4\cos x+3\sin x-7$ dengan $a=4$, $b=3$ dan $c=-7$ maka nilai maksimum dan minimum $4\cos x+3\sin x-7$ adalah:
$\sqrt{a^2+b^2}+c$=$\sqrt{4^2+3^2}-7=-2$
dan
$-\sqrt{a^2+b^2}+c$=$-\sqrt{4^2+3^2}-7=-12$.
Substitusi nilai-nilai tersebut ke:
$y=\frac{12}{4\cos x+3\sin x-7}$ maka diperoleh:
$y=\frac{12}{-2}\Rightarrow y=-6$ (minimum)
$y=\frac{12}{-12}\Rightarrow y=-1$ (maksimum)
Jadi, nilai maksimum dan minimum $y=\frac{12}{4\cos x+3\sin x-7}$ berturut-turut adalah $y_{\max} = -1$ dan $y_{\max} = -6$

---

Contoh 4.
Tentukan nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $f(x)=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$ maksimum.
Penyelesaian:
$f(x)=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$
$a=1$ dan $b=\sqrt{3}$ maka $\theta $ di kuadran I.
$\begin{align}\theta &= {{\tan }^{-1}}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {{\tan }^{-1}}\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) \\ &= {{\tan }^{-1}}\sqrt{3} \\ \theta &= 60^\circ \end{align}$
$k=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\Leftrightarrow k=2$
$\begin{align}f(x) &= \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x \\ &= k\cos (2x-\theta ) \\ f(x) &= 2\cos (2x-60^\circ ) \end{align}$
Nilai $f(x)$ maksimum jika: $\cos (2x-60^\circ )=1$
$\cos (2x-60^\circ )=\cos 0^\circ =\cos 360^\circ $
$2x-60^\circ =0^\circ \to 2x=60^\circ \to x=30^\circ$
$2x-60^\circ =360^\circ \to 2x = 420^\circ \to x = 210^\circ$ (tidak memenuhi)
Jadi, nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $f(x)=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x$ maksimum adalah $x=60^\circ $ dan $x = 210^\circ$.

---

Contoh 5.
Tentukan nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $y=2\sqrt{3}\sin 2x-2\cos 2x$ minimum.
Penyelesaian:
$y=2\sqrt{3}\sin 2x-2\cos 2x$
$y=-2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x$
$a=-2$ dan $b=2\sqrt{3}$ maka $\theta $ di kuadran II.
$\begin{align}\theta &= {{\tan }^{-1}}\left( \frac{b}{a} \right) \\ &= {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\sqrt{3}}{-2} \right) \\ &= {{\tan }^{-1}}\left( -\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 120^\circ \end{align}$
$\begin{align}k &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{4+12} \\ k &= 4 \end{align}$
$\begin{align}y &= -2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x \\ &= k\cos (2x-\theta ) \\ y &= 4\cos (2x-120^\circ ) \end{align}$
Nilai $f(x)$ minimum jika $\cos (2x-120^\circ )=-1$ maka:
$\cos (2x-120^\circ )=-1$
$\cos (2x-120^\circ )=\cos 180^\circ $
Bentuk ini adalah persamaan trigonometri sederhana $\cos f(x)=\cos g(x)$ dengan $f(x)=2x-120^\circ $ dan $g(x)=180^\circ $ maka:
1) $f(x)=g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x-120^\circ &= 180^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 180^\circ +120^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= 300^\circ +k.360^\circ \\ x &= 150^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=0\to x=150^\circ $
$k=1\to x=330^\circ $
2) $f(x)=-g(x)+k.360^\circ $
$\begin{align}2x-120^\circ &= -180^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= -180^\circ +120^\circ +k.360^\circ \\ 2x &= -60^\circ +k.360^\circ \\ x &= -30^\circ +k.180^\circ \end{align}$
$k=1\to x=150^\circ $
$k=2\to x=330^\circ $
Jadi, nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $y=2\sqrt{3}\sin 2x-2\cos 2x$ minimum adalah $x=150^\circ $ atau $x=330^\circ $.

---

B. Soal Latihan

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$.
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=\sqrt{3}\sin 3x-\sqrt{13}\cos 3x+8$.
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $y=\frac{16}{15\sin x-8\cos x+25}$.
4. Tentukan nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $y=\sqrt{2}\cos x+\sqrt{6}\sin x$ maksimum.
5. Tentukan nilai $x$ pada interval $0\le x\le 2\pi $ agar $y=5\cos x-5\sin x$ minimum.

Semoga postingan: Nilai Maksimum dan Minimum y = a cos x + b sin x + c ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :