Matriks 3. Determinan dan Invers Matriks 2x2

A. Determinan Matriks $2 \times 2$

Jika matriks

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

, maka determinan matriks A adalah:

\begin{aligned} det (A) & = | A | \\ = | \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | \\ det (A) & = a d - b c \end{aligned}

Catatan:
Jika matriks A adalah matriks singular maka det(A) = 0.

catatanmatematika.com

Contoh 1.
Tentukan determinan dari matriks berikut:

A = (\begin{matrix} 4 & 11 \\ 3 & 8 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix})

dan

C = (\begin{matrix} - 5 & 8 \\ 7 & 9 \end{matrix})

.
Penyelesaian:

\begin{aligned} det (A) & = | \begin{array}{c} 4 & 11 \\ 3 & 8 \end{array} | \\ = 4 \times 8 - 11 \times 3 \\ = 32 - 33 \\ det (A) & = - 1 \end{aligned}

\begin{aligned} det (B) & = | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 4 \end{array} | \\ = 3 \times 4 - 2 \times (- 1) \\ = 12 + 2 \\ det (B) & = 14 \end{aligned}

\begin{aligned} det (C) & = | \begin{array}{c} - 5 & 8 \\ 7 & 9 \end{array} | \\ = - 5 \times 9 - 8 \times 7 \\ = - 45 - 56 \\ det (C) & = - 101 \end{aligned}

Contoh 2.
Jika

| \begin{matrix} 2 x + 1 & 2 \\ 3 x - 15 & x - 8 \end{matrix} | = - 33

maka nilai

x

= ...
Penyelesaian:

\begin{aligned} | \begin{array}{c} 2 x + 1 & 2 \\ 3 x - 15 & x - 8 \end{array} | & = - 33 \\ (2 x + 1) (x - 8) - 2 (3 x - 15) & = - 33 \\ 2 x^{2} - 16 x + x - 8 - 6 x + 30 & = - 33 \\ 2 x^{2} - 21 x + 55 & = 0 \\ (2 x - 11) (x - 5) & = 0 \end{aligned}

2 x - 11 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 11 \Leftrightarrow x = \frac{11}{2}

atau

x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5

Jadi, nilai

x

yang memenuhi adalah 5 atau

\frac{11}{2}

Contoh 3.
Tentukan nilai

x

agar matriks

P = (\begin{matrix} x - 1 & 1 \\ - 2 & x - 4 \end{matrix})

menjadi matriks singular.
Penyelesaian:
Matriks P menjadi matriks singular maka:

\begin{aligned} det (P) & = 0 \\ | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ - 2 & x - 4 \end{array} | & = 0 \\ (x - 1) (x - 4) - 1. (- 2) & = 0 \\ x^{2} - 4 x - x + 4 + 2 & = 0 \\ x^{2} - 5 x + 6 & = 0 \\ (x - 2) (x - 3) & = 0 \end{aligned}

Baca Juga

x - 2 = 0 \to x = 2

x - 3 = 0 \to x = 3

Jadi,

x = 2

atau

x = 3

B. Adjoint Matriks $2 \times 2$

Jika matriks

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

, maka adjoint matriks A adalah

adj (A) = (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

C. Invers Matriks $2 \times 2$

Invers matriks A adalah

A^{- 1}

dengan

A^{- 1} = \frac{1}{det (A)} a d j (A)

Jika matriks

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

, maka invers matriks A adalah:

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Contoh:
Tentukanlah invers dari matriks

A = (\begin{matrix} - 5 & - 3 \\ 7 & 4 \end{matrix})

dan

B = (\begin{matrix} 3 & - 7 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

.
Penyelesaian:

A = (\begin{matrix} - 5 & - 3 \\ 7 & 4 \end{matrix})

maka invers matriks A adalah:

\begin{aligned} A^{- 1} & = \frac{1}{- 5.4 - (- 3) .7} (\begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 7 & - 5 \end{array}) \\ = \frac{1}{- 20 + 21} (\begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 7 & - 5 \end{array}) \\ A^{- 1} & = (\begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 7 & - 5 \end{array}) \end{aligned}

B = (\begin{matrix} 3 & - 7 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

maka invers matriks B adalah:

\begin{aligned} B^{- 1} & = \frac{1}{3.4 - (- 7) . (- 2)} (\begin{array}{c} 4 & 7 \\ 2 & 3 \end{array}) \\ = \frac{1}{12 - 14} (\begin{array}{c} 4 & 7 \\ 2 & 3 \end{array}) \\ = \frac{1}{- 2} (\begin{array}{c} 4 & 7 \\ 2 & 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \frac{4}{- 2} & \frac{7}{- 2} \\ \frac{2}{- 2} & \frac{3}{- 2} \end{array}) \\ B^{- 1} & = (\begin{array}{c} - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - \frac{3}{2} \end{array}) \end{aligned}

D. Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks

Misalkan ada matriks

A_{m \times m}

B_{m \times m}

, dan

C_{m \times m}

yang memiliki determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan dan invers:

$| A^{t} | = | A |$
$| A . B | = | A | . | B |$
$| A^{n} | = {| A |}^{n}$
$| A^{- 1} | = \frac{1}{| A |}$
$| k . A_{m \times m} | = k^{m} . | A |$
$(A^{- 1})^{- 1} = A$
$A^{- 1} . A = A . A^{- 1} = I$
Jika $A B = I$ maka $A = B^{- 1}$ atau $B = A^{- 1}$ .
$(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}$
Jika $A B = C$ maka $A = C . B^{- 1}$ atau $B = A^{- 1} . C$ .

Contoh 1.
Diketahui matriks

A_{2 \times 2}

dan

B_{2 \times 2}

dengan

| A^{- 1} | = - 4

dan

| B | = 5

. Tentukan nilai

| 8 A | - 20 | B^{- 1} |

.
Penyelesaian:

\begin{aligned} | 8 A | - 20 | B^{- 1} | & = 8^{2} | A | - 20 | B^{- 1} | \\ = 64. \frac{1}{| A^{- 1} |} - 20. \frac{1}{| B |} \\ = 64. (\frac{1}{- 4}) - 20. \frac{1}{5} \\ = - 16 - 4 \\ = - 20 \end{aligned}

Contoh 2.
Jika matriks

A = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 0 & 1 \end{matrix})

dan

A^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & b \\ 0 & 1 \end{matrix})

, tentukan nilai

b

.
Penyelesaian:

\begin{aligned} A . A^{- 1} & = I \\ (\begin{array}{c} a & 1 - b \\ 0 & 1 \end{array}) . (\begin{array}{c} 2 & b \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 2 a & a b + 1 - b \\ 0 & 1 \end{array}) & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}

2 a = 1 \to a = \frac{1}{2}

\begin{aligned} a b + 1 - b & = 0 \\ \frac{1}{2} . b - b & = - 1 \\ - \frac{1}{2} b & = - 1 \\ b & = 2 \end{aligned}

E. Soal Latihan

Tentukan determinan dari matriks $A = (\begin{matrix} 16 & - 9 \\ - 7 & 4 \end{matrix})$ .
Tentukan invers dari matriks $B = (\begin{matrix} 12 & - 5 \\ 7 & - 3 \end{matrix})$ .
Tentukan nilai $x$ agar matriks $(\begin{matrix} 2 x & x \\ 4 & x + 5 \end{matrix})$ merupakan matriks singular.
Diketahui matriks $A = (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix})$ dan $B = (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ . Jika $A C = B$ , tentukan $det (3 C)^{- 1}$ .
Diketahui $A = (\begin{matrix} 4 a & 5 \\ 3 & 2 \end{matrix})$ dan $A^{- 1} = (\begin{matrix} 2 b & 4 - c \\ - 3 & 8 \end{matrix})$ . Tentukan nilai $a + b + c$ .