Soal Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri dan Pembahasan

Hallo...! Pengunjung setia Catatan Matematika, kali ini Bang RP (Reikson Panjaitan, S.Pd) berbagi Kumpulan Soal Nilai Maksimum/Minimum Fungsi Trigonometri beserta pembahasannya. Ayo... manfaatkan website Catatan Matematika ini untuk belajar matematika secara online.

Tata Cara Belajar:
Cobalah mengerjakan soal-soal yang tersedia secara mandiri. Setelah itu cek jawaban kamu dengan pembahasan yang telah disediakan, dengan cara:
klik "LIHAT/TUTUP:".

---

Soal No. 1

Nilai minimum $f(x)=2\sin (x-\frac{\pi }{3})+1$ adalah ….
A. $-3$
B. $-2$
C. $-1$
D. 1
E. 3

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, $y=a\sin b(x-\theta )+c$ maka $y_{min}=-\left|a\right|+c$.
$y=2\sin (x-\frac{\pi }{3})+1$
$a=2$ dan $c=1$ maka:
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-\left|2\right|+1=-1$
Jawaban: C

---

Soal No. 2

Diketahui $f(x)=\sqrt{2}\cos 3x+1$. Jika nilai maksimum dan minimum $f(x)$ berturut-turut adalah $p$ dan $q$, maka nilai $p^2+q^2$ adalah ….
A. 3
B. 6
C. 12
D. 18
E. 36

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\sin b(x-\theta )+c$ maka $y_{max}=\left|a\right|+c$ dan $y_{min}=-\left|a\right|+c$
$y=\sqrt{2}\cos 3x+1$
$a=\sqrt{2}$ dan $c=1$ maka:
$y_{max}=\left|a\right|+c=\left|\sqrt{2}\right|+1=1+\sqrt{2}=p$
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-\left|\sqrt{2}\right|+1=1-\sqrt{2}=q$
$\begin{array}{rl}{p}^2+q^2& =(1+\sqrt{2}{)}^2+(1-\sqrt{2}{)}^2\\ & =1+2\sqrt{2}+2+1-2\sqrt{2}+2\\ p^2+q^2& =6\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 3

$y=4\sin x\sin (x-{60}^{\circ })$ mencapai nilai minimum pada ….
A. $x={60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$
B. $x={60}^{\circ }+k{.180}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$
C. $x={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$
D. $x={30}^{\circ }+k{.180}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$
E. $x=k{.360}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{array}{rl}y& =4\sin x\sin (x-{60}^{\circ })\\ & =4.-\frac{1}{2}(\cos (x+x-{60}^{\circ })-\cos (x-x+{60}^{\circ }))\\ & =-2(\cos (2x-{60}^{\circ })-\cos {60}^{\circ })\\ & =-2(\cos (2x-{60}^{\circ })-\frac{1}{2})\\ y& =-2\cos (2x-{60}^{\circ })+1\end{array}$
Mencapai nilai minimum jika:
$\cos (2x-{60}^{\circ })=1$
$\cos (\underset{f(x)}{\underbrace{2x-{60}^{\circ }}})=\cos \underset{g(x)}{\underbrace{0^{\circ }}}$
$\begin{array}{rl}f(x)& =\pm g(x)+k{.360}^{\circ }\\ 2x-{60}^{\circ }& =\pm 0^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 2x& ={60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={30}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\end{array}$
Jadi, $y=4\sin x\sin (x-{60}^{\circ })$ mencapai nilai minimum pada $x={30}^{\circ }+k{.180}^{\circ }$; $k=0,1,2,...$
Jawaban: D

---

Soal No. 4

Nilai terkecil yang dapat dicapai oleh $y=3-2\sin x\cos x$ adalah ….
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. -2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\sin b(x+\theta )+c$ maka $y_{min}=-|a|+c$.
$y=3-2\sin x\cos x$
$y=3-\sin 2x$
$y=-2\sin 2x+3$
$a=-2$ dan $c=3$ maka:
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-|-2|+3=1$
Jawaban: C

---

Soal No. 5

Nilai minimum dan maksimum dari $y=-9{\sin }^{2}x+6\sin x+7$ masing-masing adalah ….
A. $-8$ dan 2
B. $-1$ dan 8
C. $-2$ dan 4
D. $-8$ dan 8
E. $-2$ dan 1

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=-9{\sin }^{2}x+6\sin x+7$
$a=-9$ dan $b=6$
$\sin x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2(-9)}=\frac{1}{3}$
$-1\le \sin x\le 1$ dan $-1\le -\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\le 1$ maka substitusi $\sin x=-1$, $\sin x=\frac{1}{3}$ dan $\sin x=1$ ke $y=-9{\sin }^{2}x+6\sin x+7$.
$\sin x=-1$ maka $y_1=-9(-1{)}^2+6(-1)+7=-8$
$\sin x=\frac{1}{3}$ maka $y_2=-9{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+6.\frac{1}{3}+7=8$
$\sin x=1$ maka $y_3=-{9.1}^2+6.1+7=4$
Jadi, $y_{min}=-8$ dan $y_{max}=8$.
Jawaban: D

---

Soal No. 6

Titik minimum dari fungsi $f(x)=2{\cos }^2(2x-{30}^{\circ })$ adalah ….
A. $({15}^{\circ },-2)$
B. $({30}^{\circ },-2)$
C. $({45}^{\circ },-2)$
D. $({60}^{\circ },0)$
E. $({75}^{\circ },0)$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=f(x)=2{\cos }^2(2x-{30}^{\circ })$
$a=2$ dan $b=0$
$\cos (2x-{30}^{\circ })=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2.2}=0$
$-1\le \cos (2x-{30}^{\circ })\le 1$ dan $-1\le -\frac{b}{2a}=0\le 1$ maka substitusi $\cos (2x-{30}^{\circ })=-1$, $\cos (2x-{30}^{\circ })=0$ dan $\cos (2x-{30}^{\circ })=1$ ke $y=2{\cos }^2(2x-{30}^{\circ })$.
$\cos (2x-{30}^{\circ })=-1\to y_1=2(-1{)}^2=2$
$\cos (2x-{30}^{\circ })=0\to y_2={2.0}^2=0$
$\cos (2x-{30}^{\circ })=1\to y_3={2.1}^2=2$
Nilai $y_{min}=0$ untuk:
$\begin{array}{rl}\cos (2x-{30}^{\circ })& =0\\ \cos (2x-{30}^{\circ })& =\cos {90}^{\circ }\\ 2x-{30}^{\circ }& ={90}^{\circ }\\ 2x& ={120}^{\circ }\\ x& ={60}^{\circ }\end{array}$
Jadi, titik minimum dari fungsi $f(x)=2{\cos }^2(2x-{30}^{\circ })$ adalah $({60}^{\circ },0)$.
Jawaban: D

---

Soal No. 7

Nilai maksimum dari fungsi $y=1-{\sin }^{2}x$ sama dengan ….
A. $\mathrm{\infty }$
B. 2
C. 1
D. 0
E. $-1$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=1-{\sin }^{2}x\iff y=-{\sin }^{2}x+1$
$a=-1$, $b=0$
$\sin x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2(-1)}=0$
$-1\le \sin x\le 1$ dan $-1\le -\frac{b}{2a}=0\le 1$ maka substitusi $\sin x=-1$, $\sin x=0$ dan $\sin x=1$ ke $y=-{\sin }^{2}x+1$.
$\sin x=-1\to y_1=1-(-1{)}^2=0$
$\sin x=0\to y_2=1-0^2=1$
$\sin x=-1\to y_3=1-1^2=0$
Jadi, nilai $y_{max}=1$
Jawaban: C

---

Soal No. 8

Nilai maksimum dan minimum dari $f(x)=2\sin x-\cos x$ berturut-turut adalah ….
A. $\sqrt{2}$ dan $-\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$ dan $-\sqrt{3}$
C. 2 dan $-2$
D. $\sqrt{5}$ dan $-\sqrt{5}$
E. $\sqrt{7}$ dan $-\sqrt{7}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat: $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$ dan $y_{min}=-\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$f(x)=2\sin x-\cos x$
$f(x)=-\cos x+2\sin x$
$a=-1$, $b=2$ dan $c=0$
$\begin{array}{rl}{f}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{(-1{)}^2+2^2}+0\\ f_{max}& =\sqrt{5}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{f}_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{(-1{)}^2+2^2}+0\\ f_{min}& =-\sqrt{5}\end{array}$
Jawaban: D

---

Soal No. 9

Nilai maksimum dari $k(x)=2\cos x+\sqrt{5}\sin x-1$ adalah ….
A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$k(x)=2\cos x+\sqrt{5}\sin x-1$
$a=2$, $b=\sqrt{5}$ dan $c=-1$
$\begin{array}{rl}{k}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{2^2+(\sqrt{5}{)}^2}-1\\ k_{max}& =2\end{array}$
Jawaban: E

---

Soal No. 10

Nilai minimum dari fungsi $f(x)=\frac{15}{\cos x-\sqrt{3}\sin x+3}$ adalah ….
A. 15
B. 10
C. 5
D. 3
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=\frac{15}{\cos x-\sqrt{3}\sin x+3}$
Perhatikan penyebut:
$\cos x-\sqrt{3}\sin x+3$
$a=1$, $b=-\sqrt{3}$ dan $c=3$
Nilai optimum $\cos x-\sqrt{3}\sin x+3$ adalah:
$\sqrt{a^2+b^2}+c=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}+3=5$
dan
$-\sqrt{a^2+b^2}+c=-\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}+3=1$
Substitusi nilai-nilai tersebut ke $f(x)=\frac{15}{\cos x-\sqrt{3}\sin x+3}$ maka:
$f(x)=\frac{15}{5}=3$ (minimum)
dan
$f(x)=\frac{15}{1}=15$ (maksimum)
Jadi, nilai $f_{/min}=3$.
Jawaban: D

---

Soal No. 11

Nilai maksimum dari $y=3\sin x$, sama dengan …
A. $\mathrm{\infty }$
B. 360
C. 3
D. 1
E. 0

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\sin b(x+\theta )+c$ maka $y_{max}=-|a|+c$.
$y=3\sin x$
$a=3$ dan $c=0$ maka:
$y_{max}=|a|+c=|3|+0=3$
Jawaban: C

---

Soal No. 12

Nilai $y=-2\sin (4x-{10}^{\circ })-5$ akan mempunyai ….
A. $y_{min}=-7$ untuk $k={70}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$
B. $y_{max}=-3$ untuk $x={25}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$
C. $y_{max}=-3$ untuk $x={20}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$
D. $y_{min}=-7$ untuk $x={20}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$
E. $y_{max}=-3$ untuk $x={70}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=-2\sin (4x-{10}^{\circ })-5$
$a=-2$ dan $c=-5$ maka:
$y_{max}=\left|a\right|+c=|-2|-5=-3$
Untuk
$\begin{array}{rl}\sin (4x-{10}^{\circ })& =-1\\ \sin (4x-{10}^{\circ })& =\sin {270}^{\circ }\\ 4x-{10}^{\circ }& ={270}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 4x& ={280}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={70}^{\circ }+k{.90}^{\circ }\end{array}$
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-|-2|-5=-7$
Untuk
$\begin{array}{rl}\sin (4x-{10}^{\circ })& =1\\ \sin (4x-{10}^{\circ })& =\sin {90}^{\circ }\\ 4x-{10}^{\circ }& ={90}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 4x& ={100}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={25}^{\circ }+k{.90}^{\circ }\end{array}$
Jadi, nilai $y=-2\sin (4x-{10}^{\circ })-5$ akan mempunyai $y_{max}=-3$ untuk $x={70}^{\circ }+k{.90}^{\circ }$.
Jawaban: E

---

Soal No. 13

Diketahui $x=\cos A-2\sin B$ dan $y=\sin A+2\cos B$. Nilai minimum dari $x^2+y^2$ = ….
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x=\cos A-2\sin B$ maka:
$x^2=(\cos A-2\sin B{)}^2$
$x^2={\cos }^{2}A-4\cos A\sin B+4{\sin }^{2}B$
$y=\sin A+2\cos B$
$y^2=(\sin A+2\cos B{)}^2$
$y^2={\sin }^{2}A+4\sin A\cos B+4{\cos }^{2}B$
$x^2+y^2$ = ${\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A$ + $4\sin A\cos B$ $-4\cos A+\sin B$ + $4{\sin }^{2}B+4{\cos }^{2}B$
$x^2+y^2$ = 1 + $4(\sin A\cos B-\cos A\sin B)$ + $4({\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B)$
$x^2+y^2$ = 1 + $4\sin (A-B)$ + 4
$x^2+y^2$ = $4\sin (A-B)$ + 5
Agar $x^2+y^2$ maka $\sin (A-B)=-1$ maka:
$(x^2+y^2{)}_{min}=4.(-1)+5=1$
Jawaban: A

---

Soal No. 14

Diketahui sistem persamaan $x=\sin \alpha +\sqrt{3}\sin \beta$ dan $y=\cos \alpha +\sqrt{3}\cos \beta$. Jika nilai maksimum dari $x^2+y^2$ adalah $a+b\sqrt{3}$ maka nilai $a+b$ adalah ….
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x=\sin \alpha +\sqrt{3}\sin \beta$ maka:
$x^2={(\sin \alpha +\sqrt{3}\sin \beta )}^2$
$x^2={\sin }^2\alpha +2\sqrt{3}\sin \alpha \sin \beta +3{\sin }^2\beta$
$y=\cos \alpha +\sqrt{3}\cos \beta$ maka:
$y^2={(\cos \alpha +\sqrt{3}\cos \beta )}^2$
$y^2={\cos }^2\alpha +2\sqrt{3}\cos \alpha \cos \beta +3{\cos }^2\beta$
$x^2+y^2$ = ${\sin }^2\alpha +2\sqrt{3}\sin \alpha \sin \beta +3{\sin }^2\beta$ + ${\cos }^2\alpha +2\sqrt{3}\cos \alpha \cos \beta +3{\cos }^2\beta$
$x^2+y^2$ = ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta$ + $2\sqrt{3}(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$ + $3({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\beta )$
$x^2+y^2=1+2\sqrt{3}\cos (\alpha -\beta )+3$
$x^2+y^2=\underset{a}{\underbrace{2\sqrt{3}}}\cos (\alpha -\beta )+\underset{c}{\underbrace{4}}$
$\begin{array}{rl}(x^2+y^2{)}_{max}& =\left|a\right|+c\\ & =\left|2\sqrt{3}\right|+4\\ a+b\sqrt{3}& =4+2\sqrt{3}\end{array}$
Diperoleh $a=4$ dan $b=2$ maka:
$a+b=4+2=6$
Jawaban: C

---

Soal No. 15

Fungsi $f(x)=-3{\sin }^2(2x-{40}^{\circ })+4$ akan mempunyai ….
A. $y_{min}=1$ untuk $x={60}^{\circ }$
B. $y_{min}=1$ untuk $x={335}^{\circ }$
C. $y_{min}=1$ untuk $x={345}^{\circ }$
D. $y_{min}=4$ untuk $x={65}^{\circ }$
E. $y_{min}=4$ untuk $x={165}^{\circ }$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=-3{\sin }^2(2x-40)+4$
$a=-3$, $b=0$
$\sin (2x-{40}^{\circ })=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2(-3)}=0$
$-1\le \sin (2x-{40}^{\circ })\le 1$ dan $-1\le -\frac{b}{2a}=0\le 1$ maka substitusi $\sin (2x-{40}^{\circ })=-1$, $\sin (2x-{40}^{\circ })=0$ dan $\sin (2x-{40}^{\circ })=1$ ke $y=-3{\sin }^2(2x-40)+4$.
$\sin (2x-{40}^{\circ })=-1$ maka $y_1=-3.(-1{)}^2+4=1$
$\sin (2x-{40}^{\circ })=0$ maka $y_2=-{3.0}^2+4=4$
$\sin (2x-{40}^{\circ })=-1$ maka $y_2=-{3.1}^2+4=1$
Nilai $y_{min}=1$ untuk:
Kasus 1.
$\begin{array}{rl}\sin (2x-{40}^{\circ })& =1\\ \sin (2x-{40}^{\circ })& =\sin {90}^{\circ }\\ 2x-{40}^{\circ }& ={90}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 2x& ={130}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={65}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\end{array}$
$k=0\to x={65}^{\circ }$
$k=1\to x={245}^{\circ }$
Kasus 2.
$\begin{array}{rl}\sin (2x-{40}^{\circ })& =-1\\ \sin (2x-{40}^{\circ })& =\sin {270}^{\circ }\\ 2x-{40}^{\circ }& ={270}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 2x& ={310}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={155}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\end{array}$
$k=0\to x={155}^{\circ }$
$k=1\to x={335}^{\circ }$
Jadi, $y_{min}=1$ untuk $x={335}^{\circ }$.
Jawaban: B

---

Soal No. 16

Nilai minimum dan maksimum fungsi $f(x)={\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x$ secara berturut-turut adalah ….
A. $\frac{3}{4}$ dan 1
B. $\frac{1}{4}$ dan $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{4}$ dan 1
D. $-\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{4}$
E. $-\frac{3}{4}$ dan 1

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misalkan, $a={\cos }^{2}x$ dan $b={\sin }^{2}x$ maka:
$a+b={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$
$\begin{array}{rl}ab& ={\cos }^{2}x.{\sin }^{2}x\\ & =(\sin x\cos x{)}^2\\ & ={(\frac{1}{2}\sin 2x)}^2\\ ab& =\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\end{array}$
$\begin{array}{rl}f(x)& ={\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x\\ y& =({\cos }^{2}x{)}^3+({\sin }^{2}x{)}^3\\ & =a^3+b^3\\ & =(a+b{)}^3-3ab(a+b)\\ & =1^3-3.\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.1\\ y& =-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x+1\end{array}$
$a=-\frac{3}{4}$ dan $b=0$
$\sin 2x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2(-\frac{3}{4})}=0$
$-1\le \sin 2x\le 1$ dan $-1\le -\frac{b}{2a}=0\le 1$ maka substitusi $\sin 2x=-1$, $\sin 2x=0$ dan $\sin 2x=1$ ke $y=-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x+1$.
$\sin 2x=-1\to y_1=-\frac{3}{4}.(-1{)}^2+1=\frac{1}{4}$
$\sin 2x=0\to y_2=-\frac{3}{4}{.0}^2+1=1$
$\sin 2x=1\to y_1=-\frac{3}{4}{.1}^2+1=\frac{1}{4}$
Jadi, nilai $y_{min}=\frac{1}{4}$ dan $y_{max}=1$.
Jawaban: C

---

Soal No. 17

Nilai maksimum dari fungsi trigonometri $h:x\to \sin x+\sqrt{3}\cos x$ dalam interval $[0,2\pi ]$ adalah ….
A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$h:x\to \sin x+\sqrt{3}\cos x$
$h:x\to \sqrt{3}\cos x+\sin x$
$a=\sqrt{3}$, $b=1$ dan $c=0$
$\begin{array}{rl}{h}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}+0\\ h_{max}& =2\end{array}$
Jawaban: E

---

Soal No. 18

Diketahui $f(x)=3\cos x+4\sin x+c$, $c$ suatu konstanta. Jika nilai maksimum $f(x)$ adalah 1, maka nilai minimumnya adalah ….
A. 0
B. $-1$
C. $-5$
D. $-9$
E. $-25$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=3\cos x+4\sin x+c$
$a=3$, $b=4$ dan $c=c$
$\begin{array}{rl}{f}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ 1& =\sqrt{3^2+4^2}+c\\ 1& =5+c\\ -4& =c\end{array}$
$\begin{array}{rl}{f}_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{3^2+4^2}-4\\ & =-5-4\\ f_{min}& =-9\end{array}$
Jawaban: D

---

Soal No. 19

Nilai minimum dari $f(x)=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sin x+\cos x}$ adalah ….
A. 1
B. $3-2\sqrt{2}$
C. $1-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}-3$
E. $2\sqrt{2}-3$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sin x+\cos x}$
$y=\frac{1-\sqrt{2}}{\cos x+\sin x+1}$
Perhatikan penyebut:
$\cos x+\sin x+1$
$a=1$, $b=1$ dan $c=1$
Nilai optimum $\cos x+\sin x+1$ adalah:
$\sqrt{a^2+b^2}+c=\sqrt{1^2+1^2}+1=1+\sqrt{2}$
dan
$-\sqrt{a^2+b^2}+c=-\sqrt{1^2+1^2}+1=1-\sqrt{2}$
Substitusi nilai-nilai tersebut ke $y=\frac{1-\sqrt{2}}{\cos x+\sin x+1}$ maka:
$\begin{array}{rl}y& =\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\\ & =\frac{3-2\sqrt{2}}{-1}\\ y& =2\sqrt{2}-3(\text{minimum})\end{array}$
dan
$y=\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=1(\text{maksimum})$
Jadi, nilai $y_{/min}=2\sqrt{2}-3$.
Jawaban: E

---

Soal No. 20

Nilai maksimum dari $\frac{m}{15\sin x-8\cos x+25}$ adalah 2. Ini berarti $m$ = ….
A. 4
B. 16
C. 36
D. 64
E. 84

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=\frac{m}{15\sin x-8\cos x+25}$ dan $y_{max}=2$
$y_{max}$ jika nilai $15\sin x-8\cos x+25$ minimum maka:
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\frac{m}{(15\sin x-8\cos x+25{)}_{min}}\\ 2& =\frac{m}{-\sqrt{{15}^2+(-8{)}^2}+25}\\ 2& =\frac{m}{8}\\ m& =16\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 21

Fungsi $f(x)=2-5\sin \frac{\pi x}{6}$ untuk $-5\le x\le 1$ mempunyai nilai maksimum $p$ di titik $x=q$. Nilai $p+q$ = ….
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\sin b(x-\theta )+c$ maka $y_{max}=\left|a\right|+c$.
$y=2-5\sin \frac{\pi x}{6}\iff y=-5\sin \frac{\pi x}{6}+2$
$a=-5$ dan $c=2$ maka:
$y_{max}=\left|a\right|+c=|-5|+2=7=p$
Nilai $y=2-5\sin \frac{\pi x}{6}$ maksimum jika:
$\begin{array}{rl}\sin \frac{\pi x}{6}& =-1\\ \sin \frac{\pi x}{6}& =\sin (-\frac{\pi }{2})\\ \frac{\pi x}{6}& =-\frac{\pi }{2}\\ 2\pi x& =-6\pi \\ x& =\frac{-6\pi }{2\pi }\\ x=-3& =q\end{array}$
$p+q=7+(-3)=4$
Jawaban: B

---

Soal No. 22

Nilai minimum dan maksimum fungsi $f(x)=2[1+\cos 2x\cos 2(x-\frac{\pi }{6})]$ berturut-turut adalah ….
A. 0,5 dan 2,5
B. 0,5 dan 4,5
C. 1 dan 5
D. 1,5 dan 3,5
E. -0,5 dan 1,5

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=2[1+\cos 2x\cos 2(x-\frac{\pi }{6})]$
$f(x)=2[1+\cos 2x\cos (2x-{60}^{\circ })]$
$f(x)=2[1+\frac{1}{2}(\cos (4x-{60}^{\circ })+\cos {60}^{\circ })]$
$f(x)=2+(\cos (4x-{60}^{\circ })+\cos {60}^{\circ })$
$f(x)=2+\cos (4x-{60}^{\circ })+\frac{1}{2}$
$f(x)=\cos (4x-{60}^{\circ })+\frac{5}{2}$
$a=1$ dan $c=\frac{5}{2}$
$f_{min}=-\left|a\right|+c=-\left|1\right|+\frac{5}{2}=1,5$
$f_{max}=\left|a\right|+c=\left|1\right|+\frac{5}{2}=3,5$
Jawaban: D

---

Soal No. 23

Nilai maksimum dan minimum berturut-turut dari fungsi $f(x)=\frac{5}{3\sin x+4}$ adalah ….
A. $5$ dan $\frac{5}{7}$
B. $\frac{5}{3}$ dan $\frac{4}{7}$
C. $\frac{4}{3}$ dan $-4$
D. $\frac{5}{3}$ dan $-\frac{5}{4}$
E. $\frac{5}{7}$ dan $-\frac{5}{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=\frac{5}{3\sin x+4}$ nilai optimum $y$ adalah:
$\begin{array}{rl}{y}_1& =\frac{5}{(3\sin x+4{)}_{max}}\\ & =\frac{5}{\left|3\right|+4}\\ y_1& =\frac{5}{7}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{y}_2& =\frac{5}{(3\sin x+4{)}_{min}}\\ & =\frac{5}{-\left|3\right|+4}\\ y_2& =5\end{array}$
Jadi, $y_{max}=5$ dan $y_{min}=\frac{5}{7}$
Jawaban: A

---

Soal No. 24

Hasil kali nilai maksimum dan nilai minimum dari $f(x)={}^4\log (\cos 2x-6\cos x+9)$ sama dengan nilai maksimum dari $g(x)=2\cos 4x+4\sin 2x+m$ maka $m$ = ….
A. $-3$
B. $-1$
C. 2
D. 5
E. 8

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)={}^4\log (\cos 2x-6\cos x+9)$
$f(x)={}^4\log (2{\cos }^{2}x-1-6\cos x+9)$
$f(x)={}^4\log (2{\cos }^{2}x-6\cos x+8)$
Untuk $\cos x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2.2}=\frac{3}{2}$ (tidak memenuhi).
Untuk $\cos x=1$ maka:
$\begin{array}{rl}f(x)& ={}^4\log (2{\cos }^{2}x-6\cos x+8)\\ f& ={}^4\log ({2.1}^2-6.1+8)\\ & ={}^4\log 4\\ f& =1\end{array}$
Untuk $\cos x=-1$ maka:
$\begin{array}{rl}f(x)& ={}^4\log (2{\cos }^{2}x-6\cos x+8)\\ f& ={}^4\log (2(-1{)}^2-6(-1)+8)\\ & ={}^4\log 16\\ & ={}^4\log 4^2\\ f& =2\end{array}$
Jadi, $f_{max}=2$ dan $f_{min}=1$
$g(x)=2\cos 4x+4\sin 2x+m$
$g(x)=2(1-2{\sin }^{2}2x)+4\sin 2x+m$
$g(x)=2-4{\sin }^{2}2x+4\sin 2x+m$
$g(x)=-4{\sin }^{2}2x+4\sin 2x+m+2$
Untuk $\sin 2x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-4)}=\frac{1}{2}$ (memenuhi $-1\le \sin 2x\le 1$) dan $a<0$ maka:
$\begin{array}{rl}g(x)& =-4{\sin }^{2}2x+4\sin 2x+m+2\\ g_{max}& =-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4.\frac{1}{2}+m+2\\ & =-1+2+m+2\\ g_{max}& =m+3\end{array}$
$\begin{array}{rl}{f}_{max}.f_{min}& =g_{max}\\ 2.1& =m+3\\ 2& =m+3\\ -1& =m\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 25

Diketahui $f(x)=\sin x-\cos x$. Untuk sembarang nilai $x$, maka nilai maksimum untuk $f(x)$ adalah ….
A. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$
E. $3\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$f(x)=\sin x-\cos x$
$f(x)=-\cos x+\sin x$
$a=-1$, $b=1$ dan $c=0$
$\begin{array}{rl}{f}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{(-1{)}^2+1^2}+0\\ f_{max}& =\sqrt{2}\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 26

Nilai maksimum dari fungsi $h(x)=1+\sin 2x+\cos 2x$ adalah ….
A. 4
B. $2\sqrt{2}+1$
C. 3
D. $\sqrt{2}+1$
E. 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat: $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$h(x)=1+\sin 2x+\cos 2x$
$h(x)=\cos 2x+\sin 2x+1$
$a=1$, $b=1$ dan $c=1$
$\begin{array}{rl}{h}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{1^2+1^2}+1\\ h_{max}& =\sqrt{2}+1\end{array}$
Jawaban: D

---

Soal No. 27

Nilai maksimum dan nilai minimum dari $f(x)=\sin x+\cos x+2\sqrt{2}$ adalah ….
A. $3\sqrt{2}$ dan $2\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$ dan $-\sqrt{2}$
E. $3\sqrt{2}$ dan $-3\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat: $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$ dan $y_{min}=-\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$f(x)=\sin x+\cos x+2\sqrt{2}$
$f(x)=\cos x+\sin x+2\sqrt{2}$
$a=1$, $b=1$ dan $c=2\sqrt{2}$
$\begin{array}{rl}{f}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{1^2+1^2}+2\sqrt{2}\\ & =\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\ f_{max}& =3\sqrt{2}\end{array}$
$\begin{array}{rl}{f}_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{1^2+1^2}+2\sqrt{2}\\ & =-\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\ f_{min}& =\sqrt{2}\end{array}$
Jadi, nilai $f_{max}=3\sqrt{2}$ dan $f_{min}=\sqrt{2}$.
Jawaban: B

---

Soal No. 28

Selisih nilai maksimum dan terhadap nilai minimum dari $y=\sin x+\cos x-\sqrt{2}$ untuk $0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$ sama dengan ….
A. $-2\sqrt{2}$
B. $-2$
C. $-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$
E. $2\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{max}=\sqrt{a^2+b^2}+c$ dan $y_{min}=-\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$y=\sin x+\cos x-\sqrt{2}$
$y=\cos x+\sin x-\sqrt{2}$
$a=1$, $b=1$ dan $c=-\sqrt{2}$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}-y_{min}& =2\sqrt{a^2+b^2}\\ & =2\sqrt{1^2+1^2}\\ y_{max}-y_{min}& =2\sqrt{2}\end{array}$
Jawaban: E

---

Soal No. 29

Jika $g(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(3\sqrt{3}\cos x-3\sin x)$, maka nilai minimum dari $g(x)$ adalah ….
A. $-6$
B. $-3$
C. 0
D. 3
E. 6

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, jika $y=a\cos x+b\sin x+c$ maka $y_{min}=-\sqrt{a^2+b^2}+c$.
$g(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(3\sqrt{3}\cos x-3\sin x)$
$g(x)=9\sin x\cos x-3\sqrt{3}{\sin }^{2}x+3\sqrt{3}{\cos }^{2}x-3\sin x\cos x$
$g(x)=6\sin x\cos x+3\sqrt{3}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$
$g(x)=3.2\sin x\cos x+3\sqrt{3}\cos 2x$
$g(x)=3\sqrt{3}\cos 2x+3\sin 2x$
$a=3\sqrt{3}$, $b=3$ dan $c=0$
$\begin{array}{rl}{g}_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+3^2}+0\\ g_{min}& =-6\end{array}$
Jawaban: A

---

Soal No. 30

Jika nilai maksimum $y=3\cos (px+{20}^{\circ })+2p$ sama dengan empat kali nilai minimumnya, maka $y$ akan minimum untuk $x$ = ….
A. ${65}^{\circ }$
B. ${102}^{\circ }$
C. ${208}^{\circ }$
D. ${272}^{\circ }$
E. ${300}^{\circ }$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=3\cos (px+{20}^{\circ })+2p$
$a=3$ dan $c=2p$ maka:
$y_{max}=\left|a\right|+c=3+2p$
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-3+2p$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =4y_{min}\\ 3+2p& =4(-3+2p)\\ 3+2p& =-12+8p\\ -6p& =-15\\ p& =\frac{-15}{-6}\\ p& =\frac{5}{2}\end{array}$
Nilai $y_{min}$ maka:
$\begin{array}{rl}\cos (px+{20}^{\circ })& =-1\\ \cos (\frac{5}{2}x+{20}^{\circ })& =\cos {180}^{\circ }\\ \frac{5}{2}x+{20}^{\circ }& ={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ \frac{5}{2}x& ={160}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={64}^{\circ }+k{.144}^{\circ }\end{array}$
$k=0\to x={64}^{\circ }$
$k=1\to x={208}^{\circ }$
Jawaban: C

---

Soal No. 31

Fungsi $y=\cos x\cos (x-\frac{\pi }{3})+\frac{3}{4}$ mencapai nilai ….
A. maksimum 3 dan minimum 1
B. maksimum $\frac{3}{2}$ dan minimum $\frac{1}{2}$
C. maksimum 1 dan minimum 0
D. maksimum $\frac{9}{4}$ dan minimum $\frac{1}{4}$
E. maksimum $\frac{5}{4}$ dan minimum $\frac{3}{4}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Ingat, $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$ maka:
$\begin{array}{rl}y& =\cos x\cos (x-\frac{\pi }{3})+\frac{3}{4}\\ & =\frac{1}{2}[\cos (2x-\frac{\pi }{3})+\cos \frac{\pi }{3}]+\frac{3}{4}\\ & =\frac{1}{2}[\cos (2x-\frac{\pi }{3})+\frac{1}{2}]+\frac{3}{4}\\ & =\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{3})+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\ y& =\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{3})+1\end{array}$
$a=\frac{1}{2}$ dan $c=1$ maka:
$y_{max}=\left|a\right|+c=\left|\frac{1}{2}\right|+1=\frac{3}{2}$
$y_{min}=-\left|a\right|+c=-\left|\frac{1}{2}\right|+1=\frac{1}{2}$
Jawaban: B

---

Soal No. 32

Dua lebih dari nilai maksimum $y=2\cos px-2\sqrt{3}\sin px+2p-1$ sama dengan tiga kali nilai minimumnya, maka $y$ akan minimum untuk $x$ = ….
A. ${17}^{\circ }$
B. ${112}^{\circ }$
C. ${193}^{\circ }$
D. ${246}^{\circ }$
E. ${305}^{\circ }$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=2\cos px-2\sqrt{3}\sin px+2p-1$
$a=2$, $b=-2\sqrt{3}$ dan $c=2p-1$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}+2p-1\\ y_{max}& =2p+3\end{array}$
$\begin{array}{rl}{y}_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}+2p-1\\ y_{min}& =2p-5\end{array}$
$\begin{array}{rl}2+y_{max}& =3y_{min}\\ 2+2p+3& =3(2p-5)\\ 2p+5& =6p-15\\ -4p& =-20\\ p& =5\end{array}$
$y=2\cos px-2\sqrt{3}\sin px+2p-1$
$y=2\cos 5x-2\sqrt{3}\sin 5x+9$
$a=2$ dan $b=-2\sqrt{3}$ maka:
$\theta$ dan titik $(a,b)=(2,-2\sqrt{3})$ di kuadran IV
$\begin{array}{rl}\theta & ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\\ & ={\tan }^{-1}\left(\frac{-2\sqrt{3}}{2}\right)\\ & ={\tan }^{-1}(-\sqrt{3})\\ \theta & ={330}^{\circ }\end{array}$
$\begin{array}{rl}k& =\sqrt{a^2+b^2}\\ & =\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}\\ k& =4\end{array}$
$\begin{array}{rl}y& =2\cos 5x-2\sqrt{3}\sin 5x+9\\ & =k\cos (5x-\theta )+9\\ y& =4\cos (5x-{330}^{\circ })+9\end{array}$
Nilai $y$ minimum jika:
$\begin{array}{rl}\cos (5x-{330}^{\circ })& =-1\\ \cos (5x-{330}^{\circ })& =\cos {180}^{\circ }\\ 5x-{330}^{\circ }& ={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ 5x& ={510}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={102}^{\circ }+k{.72}^{\circ }\end{array}$
$k=-1\to x={30}^{\circ }$
$k=0\to x={102}^{\circ }$
$k=1\to x={174}^{\circ }$
$k=2\to x={246}^{\circ }$
$k=3\to x={318}^{\circ }$
Jadi, $y$ akan minimum untuk $x={246}^{\circ }$.
Jawaban: D

---

Soal No. 33

Perhatikan gambar!

Keliling $\mathrm{\Delta }ABC$ adalah 8 cm, panjang sisi AC terkecil yang memungkinkan adalah ….
A. $\frac{8}{2-\sqrt{2}}$
B. $8(\sqrt{2}-1)$
C. $\frac{8}{2+\sqrt{2}}$
D. $8(\sqrt{2}+1)$
E. 4

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}\iff BC=AC\sin \alpha$
$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}\iff AB=AC\cos \alpha$
$\begin{array}{rl}\text{Keliling }\mathrm{\Delta }ABC& =8\\ AC+AB+BC& =8\\ AC+AC\cos \alpha +AC\sin \alpha & =8\\ AC(1+\cos \alpha +\sin \alpha )& =8\end{array}$
$AC=\frac{8}{\cos \alpha +\sin \alpha +1}$
$\begin{array}{rl}A{C}_{min}& =\frac{8}{(\cos \alpha +\sin \alpha +1{)}_{max}}\\ & =\frac{8}{\sqrt{1^2+1^2}+1}\\ & =\frac{8}{\sqrt{2}+1}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\\ A{C}_{min}& =8(\sqrt{2}-1)\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 34

Nilai minimum dan maksimum $(p-1)\sin x+(2p-3)\cos x+3q+3$ secara berturut-turut adalah 2 dan 7. Jika $p_1$ dan $p_2$ penyelesaian $p$ dari masalah ini, maka $q+p_1+p_2$ = ….
A. 0,5
B. 2,3
C. 2,8
D. 3,1
E. 3,3

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(p-1)\sin x+(2p-3)\cos x+3q+3$
$a=p-1$, $b=2p-3$ dan $c=3q+3$ maka:
$\frac{\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ y_{min}& =-\sqrt{a^2+b^2}+c\end{array}}{\begin{array}{rl}{y}_{max}+y_{min}& =2c\\ 2+7& =2(3q+3)\\ 9& =6q+6\\ 6q& =3\\ q& =\frac{1}{2}\end{array}}+$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ 7& =\sqrt{(p-1{)}^2+(2p-3{)}^2}+3q+3\\ 7& =\sqrt{5p^2-14p+10}+3.\frac{1}{2}+3\\ 7& =\sqrt{5p^2-14p+10}+\frac{9}{2}\\ \frac{5}{2}& =\sqrt{5p^2-14p+10}\\ \frac{25}{4}& =5p^2-14p+10\\ 25& =20p^2-56p+40\\ 0& =20p^2-56p+15\end{array}$
$p_1+p_2=-\frac{-56}{20}=2,8$
$q+p_1+p_2=0,5+2,8=3,3$
Jawaban: E

---

Soal No. 35

Jika $A+B$ di kuadran I, $\cos (A+B)=\frac{3}{5}$ dan $y=\cos A+\sin B$, maka $y_{max}$ = ….
A. $\frac{1}{5}\sqrt{58}$
B. $\frac{3}{5}\sqrt{10}$
C. $\frac{1}{5}\sqrt{41}$
D. $\frac{4}{5}\sqrt{2}$
E. $\frac{4}{5}\sqrt{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Misal:
$\alpha =A+B$ maka:
$\cos (A+B)=\frac{3}{5}\iff \cos \alpha =\frac{3}{5}=\frac{sa}{mi}$
$\begin{array}{rl}\sin \alpha & =\frac{de}{mi}\\ & =\frac{\sqrt{m{i}^2-d{e}^2}}{mi}\\ & =\frac{\sqrt{5^2-3^2}}{5}\\ \sin \alpha & =\frac{4}{5}\end{array}$
$\begin{array}{rl}B& =\alpha -A\\ \sin B& =\sin (\alpha -A)\\ & =\sin \alpha \cos A-\cos \alpha \sin A\\ \sin B& =\frac{4}{5}\cos A-\frac{3}{5}\sin A\end{array}$
$\begin{array}{rl}y& =\cos A+\sin B\\ & =\cos A+\frac{4}{5}\cos A-\frac{3}{5}\sin A\\ y& =\frac{9}{5}\cos A-\frac{3}{5}\sin A\end{array}$
$a=\frac{9}{5}$, $b=-\frac{3}{5}$ dan $c=0$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{{\left(\frac{9}{5}\right)}^2+{(-\frac{3}{5})}^2}+0\\ & =\sqrt{\frac{81}{25}+\frac{9}{25}}\\ & =\sqrt{\frac{90}{25}}\\ y_{max}& =\frac{3\sqrt{10}}{5}\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 36

Nilai maksimum dari $3\cos x-\sqrt{3}\sin x-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ adalah ….
A. $\frac{5}{2}\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{\frac{3}{2}}$
E. $-5\sqrt{\frac{3}{2}}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=3\cos x-\sqrt{3}\sin x-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$a=3$, $b=-\sqrt{3}$ dan $c=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{3^2+(-\sqrt{3}{)}^2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & =2\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ y_{max}& =\frac{3}{2}\sqrt{3}\end{array}$
Jawaban: C

---

Soal No. 37

Nilai maksimum $f(x)=3\cos x+4\sin x-2$ adalah ….
A. 0
B. 3
C. 6
D. 9
E. 10

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$f(x)=3\cos x+4\sin x-2$
$a=3$, $b=4$ dan $c=-2$ maka:
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{3^2+4^2}-2\\ y_{max}& =3\end{array}$
Jawaban: B

---

Soal No. 38

$y=\sqrt{3}\sin 3x-\sqrt{13}\cos 3x+8$ mempunyai nilai maksimum ….
A. 12
B. 14
C. $8+\sqrt{3}$
D. $8-\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{20}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=\sqrt{3}\sin 3x-\sqrt{13}\cos 3x+8$
$y=-\sqrt{13}\cos 3x+\sqrt{3}\sin 3x+8$
$a=-\sqrt{13}$ dan $b=\sqrt{3}$ dan $c=8$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{(-\sqrt{13}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}+8\\ y_{max}& =12\end{array}$
Jawaban: A

---

Soal No. 39

Fungsi $y=-\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$ mempunyai nilai …
A. minimum = $-2$ untuk $x={330}^{\circ }$
B. maksimum = 2 untuk $x={150}^{\circ }$
C. minimum = 2 untuk $x={150}^{\circ }$
D. maksimum = 6 untuk $x={330}^{\circ }$
E. maksimum = 6 untuk $x={150}^{\circ }$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$y=-\sqrt{3}\cos x+\sin x+4$
$a=-\sqrt{3}$, $b=1$ dan $c=4$
$\theta$ dan titik $(a,b)=(-\sqrt{3},1)$ di kuadran II.
$\begin{array}{rl}\theta & ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\\ & ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)\\ & ={\tan }^{-1}(-\frac{1}{3}\sqrt{3})\\ \theta & ={150}^{\circ }\end{array}$
$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}+4\\ y_{max}& =6\end{array}$
Nilai $y_{max}$ untuk:
$\begin{array}{rl}\cos (x-\theta )& =1\\ \cos (x-{150}^{\circ })& =\cos 0^{\circ }\\ x-{150}^{\circ }& =k{.360}^{\circ }\\ x& ={150}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\end{array}$
$k=0\to x={150}^{\circ }$
$\begin{array}{rl}{y}_{min}& =\sqrt{a^2+b^2}+c\\ & =-\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}+4\\ y_{min}& =2\end{array}$
Nilai $y_{min}$ untuk:
$\begin{array}{rl}\cos (x-\theta )& =-1\\ \cos (x-{150}^{\circ })& =\cos {180}^{\circ }\\ x-{150}^{\circ }& ={180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ x& ={330}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\end{array}$
$k=0\to x={330}^{\circ }$
Jadi, $y_{min}=2$ untuk $x={330}^{\circ }$ dan $y_{max}=6$ untuk $x={150}^{\circ }$.
Jawaban: E

---

Share :

You may like these posts :

• 
  Soal Aturan Cosinus dan Pembahasan
• 
  Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
• 
  Aturan Sinus dan Pembuktiannya
• 
  Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
• 
  Aturan Cosinus dan Pembuktiannya
• 
  Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
• 
  Soal Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa dan Pembahasan
• 
  Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasan