Transformasi Geometri 1. Translasi (Pergeseran)

A. Definisi Translasi

Translasi (pergeseran) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada suatu bangun yang ditransformasikan dari kedudukan yang satu ke kedudukan yang lain pada bidang yang sama dalam arah tertentu.
Jika titik $P(x,y)$ ditranslasikan oleh $T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$, maka bayangannya adalah $P'(x',y')$, ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}P'(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$

Contoh 1.
Tentukan bayangan titik $A(-2,5)$ jika ditranslasikan terhadap $T=\left( \begin{matrix} 4 \\ -9 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
Konsep: $(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.
$A(-2,5)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 4 \\ -9 \\ \end{matrix} \right)}A'(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ -9 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 2 \\ -4 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, $A'(2,-4)$.

---

Contoh 2.
Jika titik $(p,q)$ ditranslasikan terhadap $\left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$ menghasilkan peta $(8,7)$. Tentukan nilai $p+q$.
Penyelesaian:
Konsep: $(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.
$(p,q)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)}(8,7)$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 8 \\ 7 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 8 \\ 7 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} p+3 \\ q-1 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$p+3=8\to p=5$
$q-1=7\to q=8$
$p+q=5+8=13$

---

Contoh 3.
Titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $T(-1,-6)$ menjadi $A'(7,-4)$. Tentukan koordinat titik A.
Penyelesaian:
Konsep: $(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.
$A(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} -1 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)}A'(7,-4)$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -1 \\ -6 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x-1 \\ y-6 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$.
$x-1=7\to x=8$
$y-6=-4\to y=2$
Jadi, koordinat titik $A(x,y)=A(8,2)$

---

Contoh 4.
Tentukan persamaan bayangan kurva $y={{x}^{2}}-3x+2$ jika ditranslasikan terhadap $T=\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
Konsep: $(x,y)\xrightarrow{T=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka $\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$.
$(x,y)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x-3 \\ y+4 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$x-3=x'\to x=x'+3$
$y+4=y'\to y=y'-4$
Substitusi $x=x'+3$ dan $y=y'-4$ ke persamaan:
$\begin{align}y &= x^2-3x+2 \\ y'-4 &= (x'+3)^2-3(x'+3)+2 \\ y'-4 &= (x')^2+6x'+9-3x'-9+2 \\ y' &= (x')^2+3x'+6 \end{align}$
Jadi, persamaan bayangan kurva $y={{x}^{2}}-3x+2$ jika ditranslasikan terhadap $T=\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$ adalah $y={{x}^{2}}+3x+6$.

---

B. Komposisi Translasi

Jika translasi pertama dinyatakan dengan ${{T}_{1}}$ dilanjutkan dengan tranlasi kedua yang dinyatakan dengan $T_2$ maka komposisi translasinya dapat ditulis dengan: $T_2\circ T_1$.
Misal $T_1=\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$ dan $T_2=\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)$ maka $T_2\circ T_1=\left( \begin{matrix} a+p \\ b+q \\ \end{matrix} \right)$.

Contoh 1.
Tentukan bayangan dari titik $P(4,-5)$ oleh translasi $T_1=(-2,-6)$ dilanjutkan dengan translasi $T_2(-3,7)$.
Penyelesaian:
$T_1=\left( \begin{matrix} -2 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)$ dilanjutkan $T_2=\left( \begin{matrix} -3 \\ 7 \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$T_2\circ T_1=\left( \begin{matrix} -2 \\ -6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -3 \\ 7 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$P(4,-5)\xrightarrow{T_2\circ T_1}P'(x',y')$
$P(4,-5)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)}P'(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)$
Jadi, bayangan titik $P(4,-5)$ oleh translasi $T_1=(-2,-6)$ dilanjutkan $T_2(-3,7)$ adalah $P'(-1,-4)$.

---

Contoh 2.
Diketahui translasi $T_1=\left( \begin{matrix} a \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ dan $T_2=\left( \begin{matrix} 3 \\ b \\ \end{matrix} \right)$. Titik-titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik A dan B oleh komposisi transformasi $T_1\circ T_2$. Jika $A(-1,2)$, $A'(1,11)$ dan $B'(12,13)$, tentukan koordinat titik B.
Penyelesaian:
$T_1=\left( \begin{matrix} a \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ dilanjutkan $T_2=\left( \begin{matrix} 3 \\ b \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$T_1\circ T_2=\left( \begin{matrix} 3 \\ b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a+3 \\ b+2 \\ \end{matrix} \right)$
$A(-1,2)\xrightarrow{T_1\circ T_2}A'(x',y')$
$A(-1,2)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 3+a \\ b+2 \\ \end{matrix} \right)}A'(1,11)$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a+3 \\ b+2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 11 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a+3 \\ b+2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 11 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} a+2 \\ b+4 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$a+2=1\to a=-1$
$b+4=11\to b=7$
Jadi, $T_1\circ T_2=\left( \begin{matrix} a+3 \\ b+2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1+3 \\ 7+2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 9 \\ \end{matrix} \right)$
$B(12,13)\xrightarrow{T_1\circ T_2}B'(x',y')$
$B(12,13)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 2 \\ 9 \\ \end{matrix} \right)}B'(x',y')$ maka:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 12 \\ 13 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 14 \\ 22 \\ \end{matrix} \right)$
Jadi, bayangan titik $B(12,13)$ setelah ditransformasi oleh $T_1\circ T_2$ adalah $B'(14,22)$.

---

Contoh 3.
Tentukan persamaan bayangan garis $y=5x-7$ jika ditranslasikan secara berurutan oleh $T_1=\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)$ dan $T_2=\left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)$.
Penyelesaian:
$(x,y)\xrightarrow{T_2\circ T_1}(x',y')$
$(x,y)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$
$(x,y)\xrightarrow{\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} x+8 \\ y+2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$x+8=x'\to x=x'-8$
$y+2=y'\to y=y'-2$
Substitusi ke $y=5x-7$ maka:
$\begin{align}y &= 5x-7 \\ y'-2 &= 5(x'-8)-7 \\ y'-2 &= 5x'-40-7 \\ y' &= 5x'-45 \end{align}$
Jadi, bayangan garis $y=5x-7$ setelah translasi berurutan oleh $T_1=\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \right)$ dan $T_2=\left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \\ \end{matrix} \right)$adalah $y=5x-45$.

---

C. Soal Latihan

1.	Tentukan bayangan titik $A(-3,4)$ jika ditranslasikan terhadap $T=\left( \begin{matrix} 5 \\ -7 \\ \end{matrix} \right)$.
2.	Jika titik $B(1,-3)$ ditranslasikan terhadap $\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$ menghasilkan peta $B'(-5,-9)$. Tentukan nilai $3a-2b$.
3.	Tentukan persamaan bayangan garis $2y-3x+6=0$ jika ditranslasikan terhadap $T=\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$.
4.	Tentukan bayangan dari titik $P(-2,10)$ oleh translasi $T_1=(-1,6)$ dilanjutkan dengan translasi $T_2(4,-9)$.
5.	Tentukan persamaan bayangan garis $y=2{{x}^{2}}-5$ jika ditranslasikan secara berurutan oleh $T_1=\left( \begin{matrix} -4 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)$ dan $T_2=\left( \begin{matrix} 6 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)$.

Semoga postingan: Transformasi Geometri 1. Translasi (Pergeseran) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :