Transformasi Geometri 3. Rotasi (Perputaran)

A. Definisi Rotasi (Pergeseran)

Rotasi (perputaran) adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh pusat perputaran, arah perputaran dan besar sudut perputaran. Pusat perputaran suatu rotasi terdiri atas dua yaitu di titik O(0,0) dan di titik A(x,y). Sementara itu, arah perputaran suatu rotasi dapat berlawanan arah jarum jam (rotasi positif) dan dapat pula searah jarum jam (rotasi negatif).

B. Rotasi Terhadap Titik Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar berikut!

$P(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta ]}P'(x',y')$
Titik $P(x,y)$ jika ditulis dalam koordinat kutub adalah $A(r,\alpha )$ dengan $x=r\cos \alpha $ dan $y=r\sin \alpha $.
Titik $A'(x',y')$ jika ditulis dalam koordinat kutub adalah $A'(r,\alpha +\theta )$ dengan:
$\begin{align}x' &= r\cos (\alpha +\theta ) \\ &= r(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta ) \\ &= \cos \theta .r\cos \alpha -\sin \theta .r\sin \alpha \\ x' &= \cos \theta .x-\sin \theta .y \end{align}$
dan
$\begin{align}y' &= r\sin (\alpha +\theta ) \\ &= r(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta ) \\ &= \cos \theta .r\sin \alpha +\sin \theta .r\cos \alpha \\ &= \cos \theta .y+\sin \theta .x \\ y' &= \sin \theta .x+\cos \theta .y \end{align}$
Kesimpulan:

Titik $P(x,y)$ dirotasikan terhadap titik pusat O(0,0) sejauh $\theta $ menghasilkan bayangan $p'(x',y')$ ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta ]}P'(x',y')$; dimana:
$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$
$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$
atau jika ditulis dalam bentuk matriks diperoleh:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh 1.
Tentukan bayangan titik $(4,-3)$ jika dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30{}^\circ $.
Penyelesaian:
$(4,-3)\xrightarrow{R[O,30^\circ ]}(x',y')$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 2\sqrt{3}+\frac{3}{2} \\ 2-\frac{3}{2}\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, bayangan titik $(4,-3)$ jika dirotasi pada titik O(0,0) sejauh $30^\circ $ adalah $A'\left( 2\sqrt{3}+\frac{3}{2},2-\frac{3}{2}\sqrt{3} \right)$.

---

Contoh 2.
Tentukan bayangan garis $y=6x+2$ jika dirotasi terhadap titik O(0,0) sejauh $45^\circ $.
Penyelesaian:
$y=6x+2\xrightarrow{R[O,45^\circ ]}?$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= {{\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y' \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y' \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
Substitusi $x=\frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y'$ dan $y=-\frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y'$ ke persamaan:
$-\frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y'=6\left( \frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y' \right)+2$
$-\frac{1}{2}\sqrt{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{2}y'=3\sqrt{2}x'+3\sqrt{2}y'+2$
$-\sqrt{2}x'+\sqrt{2}y'=6\sqrt{2}x'+6\sqrt{2}y'+4$
$6\sqrt{2}x'+\sqrt{2}x'+6\sqrt{2}y'-\sqrt{2}y'+4=0$
$7\sqrt{2}x'+4\sqrt{2}y'+4=0$
Jadi, bayangan garis $y=6x+2$ jika dirotasi terhadap titik O(0,0) sejauh $45^\circ $ adalah $7\sqrt{2}x+4\sqrt{2}y+4=0$

---

C. Rotasi Terhadap Titik Pusat (a,b)

Titik $P(x,y)$ dirotasikan terhadap titik $(a,b)$ sejauh $\theta $ menghasilkan bayangan $p'(x',y')$ ditulis:
$P(x,y)\xrightarrow{R[O,\theta ]}P'(a+(x-a)\cos \theta -(y-b)\sin \theta ,b+(x-a)\sin \theta +(y-b)\cos \theta )$
atau dalam bentuk matriks diperoleh:
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$

---

Contoh 1. Tentukan bayangan titik (2,4) jika dirotasikan pada titik A(4,6) sejauh $60^\circ $ searah putaran jarum jam.
Penyelesaian:
$60^\circ $ searah putaran jarum jam maka $\theta =-60^\circ $.
$(4,6)\xrightarrow{R[(2,4),-60^\circ ]}(x',y')$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos (-60^\circ ) & -\sin (-60^\circ ) \\ \sin (-60^\circ ) & \cos (-60^\circ ) \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2-4 \\ 4-6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} -2 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1-\sqrt{3} \\ \sqrt{3}-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 3-\sqrt{3} \\ 5+\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right)$
Jadi, bayangan titik (2,4) jika dirotasikan pada titik A(4,6) sejauh $60^\circ $ searah putaran jarum jam adalah $(3-\sqrt{3},5+\sqrt{3})$.

---

Contoh 2.
Titik $(2a,-a)$ diputar $90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat perputaran titik $(1,1)$. Jika hasil rotasi adalah $(2+a,-2)$, tentukan nilai $a$.
Penyelesaian:
$(2a,-a)\xrightarrow{R\left[ (1,1),90^\circ \right]}(2+a,-2)$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-1 \\ -a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-1 \\ -a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} a+1 \\ 2a-1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2+a \\ -2 \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} a+2 \\ 2a \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$2a=-2\to a=-1$

---

Contoh 3.
Tentukan bayangan garis $4x+5y-7=0$ jika dirotasikan terhadap titik (2,4) sejauh $90^\circ $.
Penyelesaian:
$(x,y)\xrightarrow{R[(2,4),90^\circ ]}(x',y')$ maka:
$\begin{align}\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\\end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y-4 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-2 \\ y-4 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix}-y+4 \\ x-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -y+6 \\ x+2 \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$\begin{align}-y+6 &= x' \\ -y &= x'-6 \\ y &= -x'+6 \end{align}$
$\begin{align}x+2 &= y' \\ x &= y'-2 \end{align}$
Substitusi $y=-x'+6$ dan $x=y'-2$ ke persamaan:
$\begin{align}4x+5y-7 &= 0 \\ 4(y'-2)+5(-x'+6) &= 0 \\ 4y'-8-5x'+30 &= 0 \\ -5x'+4y'+22 &= 0 \\ 5x'-4y'-22 &= 0 \end{align}$
Jadi, bayangan garis $4x+5y-7=0$ jika dirotasikan terhadap titik (2,4) sejauh $90^\circ $ adalah $5x-4y-22=0$

---

D. Soal Latihan

1.	Tentukan bayangan titik $P(3,2)$, $Q(2,5)$ dan $R(-3,4)$ apabila diputar dengan pusat O(0,0) sejauh $135^\circ $.
2.	Tentukan bayangan titik $(0,-6)$ oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh $-\frac{1}{3}\pi $.
3.	Tentukan bayangan lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y-5=0$ jika dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh $180^\circ $.
4.	Tentukan bayangan titik \[K(3,-5)\] dan $L(-4,2)$ jika dirotasikan terhadap titik $(3,2)$ sejauh $\frac{1}{2}\pi $.
5.	Tentukan bayangan garis $x+3y+5=0$ oleh rotasi dengan pusat rotasi $P(4,5)$ sejauh $90^\circ $.

Semoga postingan: Transformasi Geometri 3. Rotasi (Perputaran) ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :