Bilangan Kompleks 1 - Definisi dan Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks

A. Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks ialah suatu bilangan yang terdiri atas bagian real dan bagian tidak real, bagian tidak real sering dinyatakan sebagai bagian imajiner. Secara umum bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk $z=a+bi$ untuk $a$ dan $b$ bilangan real. Bilangan $a$ disebut sebagai bagian real dari $z$ yang dinotasikan dengan $\operatorname{Re}(z)=a$ dan bilangan $b$ disebut bagian imaginer dari $z$ dinotasikan dengan $\operatorname{Im}(z)=b$.
Di dalam memahami definisi bilangan kompleks, diberikan notasi Euler untuk menyatakan bentuk yang bukan real yakni $i$ dimana $i^2=-1$ sehingga bentuk $\sqrt{-1}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $i=\sqrt{-1}$.

Contoh 1.
Tentukan bagian bilangan real dan imajiner dari bilangan kompleks berikut:
$z_1=2+\sqrt[4]{(-2)^2}$, $z_2=2+i^2$, $z_3=1+\sqrt{-9}$ dan $z_4=1+2i$.
Penyelesaian:
$\begin{align}z_1 &= 2+\sqrt[4]{(-2)^2} \\ &= 2+(-2)^{\frac{2}{4}} \\ &= 2+(-2)^{\frac{1}{2}} \\ &= 2+\sqrt{-2} \\ z_1 &= 2+\sqrt{2}i \end{align}$
maka: $\operatorname{Re}(z)=2$ dan $\operatorname{Im}(z)=\sqrt{2}$
$\begin{align}z_2 &= 2+i^2 \\ &= 2+(-1) \\ z_2 &= 1+0i \end{align}$
maka $\operatorname{Re}(z_2)=2$ dan $\operatorname{Im}(z_2)=0$
$\begin{align}z_3 &= 1+\sqrt{-9} \\ &= 1+\sqrt{9\times (-1)} \\ &= 1+3\sqrt{-1} \\ z_3 &= 1+3i \end{align}$
maka $\operatorname{Re}(z_3)=1$ dan dan $\operatorname{Im}(z)=3$
$z_4=1+2i$ maka $\operatorname{Re}(z_4)=1$ dan $\operatorname{Im}(z_4)=2$

Contoh 2.
Tentukan penyelesaian dari persaman kuadrat $x^2-2x+8=0$.
Penyelesaian:
$x^2-2x+8=0$
$a=1$, $b=-2$ dan $c=8$ maka:
$\begin{align}x &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4.1.8}}{2.1} \\ &= \frac{2\pm \sqrt{-28}}{2} \\ &= \frac{2\pm \sqrt{28}i}{2} \\ &= \frac{2\pm 2\sqrt{7}i}{2} \\ x &= \pm \sqrt{7}i \end{align}$
$x_1=1+\sqrt{7}i$ atau $x_2=1+\sqrt{7}i$

---

B. Bentuk Kartesius Bilangan Kompleks

Bentuk kartesius bilangan kompleks adalah $z=x+yi$ atau $z=(x,y)$ dengan $x$, $y$ bilangan real. Bilangan $x$ disebut sebagai bagian real dari $z$ yang dinotasikan dengan $\operatorname{Re}(z)=x$ dan bilangan $y$ disebut bagian imaginer dari $z$ dinotasikan dengan $\operatorname{Im}(z)=y$.

Secara geometri, bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam sistem koordinat yang biasanya dinyatakan sebagai bidang kompleks. Bagian real dari bilangan kompleks dinyatakan pada sumbu garis horizontal dan bagian imajiner bilangan kompleks dinyatakan pada garis vertikal, seperti pada gambar berikut ini.

Contoh:
Gambarlah bilangan kompleks bilangan-bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks.
a. $z_1=3+2i$
b. $z_2=-1-i$
c. $z_3=2$
Penyelesaian:

---

C. Bentuk Polar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks $z=x+yi$ dapat dinyatakan dalam bentuk polar yaitu:
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
dengan:
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$x=r\cos \theta $
$y=r\sin \theta $
$\theta =arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right)$
Nilai $\theta $ tergantung pada nilai $x$ dan $y$, perhatikan tabel berikut:

Nilai $x$	Nilai $y$	$\theta$ di Kuadran
Positif	Positif	I
Negatif	Positif	II
Negatif	Negatif	III
Positif	Negatif	IV

Contoh:
Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks berikut:
a. $z_1=1+\sqrt{3}i$
b. $z_2=-i$
Penyelesaian:
a. $z_1=1+\sqrt{3}i$
$x=1$ dan $y=\sqrt{3}$ maka $\theta $ di kuadran I
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) \\ &= arc\,\tan (\sqrt{3}) \\ \theta &= 60^\circ \end{align}$
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} \\ r &= 2 \end{align}$
Jadi, bentuk polar bilangan kompleks $z_1=1+\sqrt{3}i$ adalah:
$z_1=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
$z_1=2(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ )$

b. $z_2=-i$
$x=0$ dan $y=-1$ maka $\theta =270^\circ $
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{0^2+(-1)^2} \\ r &= 1 \end{align}$
Jadi, bentuk polar bilangan kompleks $z_2=-i$ adalah:
$\begin{align}z_2 &= r(\cos \theta +i\sin \theta ) \\ &= 1(\cos 270^\circ +i\sin 270^\circ ) \\ z_2 &= \cos 270^\circ +i\sin 270^\circ \end{align}$

---

D. Bentuk Eksponen Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks $z=x+yi$ dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen yaitu:
$z=re^{i\theta }$ dengan $\theta =arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right)$ dan $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta $.

Contoh:
Tentukan bentuk eksponen dari bilangan kompleks berikut:
a. $z_1=\frac{(\cos 15^\circ +i\sin 15^\circ )}{2}$
b. $z_2=2-2i$
Penyelesaian:
a. $z_1=\frac{(\cos 15^\circ +i\sin 15^\circ )}{2}$
$z_1=\frac{1}{2}(\cos 15^\circ +i\sin 15^\circ )$
$r=\frac{1}{2}$ dan $\theta =15^\circ $
Jadi, bentuk eksponen dari $z_1=\frac{(\cos 15^\circ +i\sin 15^\circ )}{2}$ adalah $z_1=re^{i\theta }=\frac{1}{2}{{e}^{i.15^\circ }}$.

b. $z_2=2-2i$
$x=2$ dan $y=-2$ maka $\theta $ di kuadran IV
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{-2}{2} \right) \\ &= arc\,\tan (-1) \\ \theta &= 315^\circ \end{align}$
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{2^2+(-2)^2} \\ &= \sqrt{8} \\ r &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, bentuk eksponen dari $z_2=2-2i$ adalah $z_2=re^{i\theta }=2\sqrt{2}{{e}^{i.315^\circ }}$.

---

E. Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks $z_1=x_1+iy_1$ dan $z_2=x_2+iy_2$, jika $z_1=z_2$ maka $x_1=x_2$ dan $y_1=y_2$.

Contoh:
Diketahui $z_1=a+3i$ dan $z_2=7-bi$. Jika $z_1=z_2$ maka nilai ${{a}^{2}}-2b$ = …
Penyelesaian:
$\operatorname{Re}(z_1)=\operatorname{Re}(z_2)\Leftrightarrow a=7$
$\begin{align}\operatorname{Im}(z_2) &= \operatorname{Im}(z_1) \\ -b &= 3 \\ b &= -3 \end{align}$
maka nilai ${{a}^{2}}-2b={{7}^{2}}-2(-3)=55$

---

F. Soal Latihan

1. Nyatakan bilangan kompleks $z=2+2i$ dalam bentuk polar.
2. Nyatakan $z=-\frac{1}{2}\left( 3-\sqrt{3}i \right)$ dalam bentuk eksponen.
3. Tentukan bilangan $x$ dan $y$ dengan $z_1=x+3i$ dan $z_2=3-yi$ agar $z_1=z_2$.
4. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat $x^2-2x+6=0$.
5. Gambarlah bilangan kompleks $z_1=5-4i$ dan $z_2=5+4i$ pada bidang kompleks.

---

Semoga postingan: Bilangan Kompleks 1 - Definisi dan Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :