Bilangan Kompleks 2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
A. Perkalian Skalar dan Penjumlahan Bilangan Kompleks
Misalkan $c$ adalah sebuah skalar, $z_1=x_1+y_1i$ dan $z_2=x_2+y_2i$ merupakan dua bilangan kompleks maka:
Contoh:| 1. | Perkalian skalar $c$ dengan bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah: $c.z=cx+cyi$ |
| 2. | Penjumlahan bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$ adalah: $z_1+z_2=x_1+y_1i+x_2+y_2i$ $z_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$ atau $z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ |
| 3. | Selisih bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$ adalah: $z_1-z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)$ $z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$ atau $z_1-z_2=(x_1-x_2,y_1-y_2)$ |
Diberikan $z_1=-2-4i$ dan $z_2=-8+6i$, tentukan $5z_1-2z_2$.
Penyelesaian:
$\begin{align}5z_1-2z_2 &= 5(-2-4i)-2(-8+6i) \\ &= -10-20i+16-12i \\ &= -10+16-20i-12i \\ 5z_1-2z_2 &= 6-32i \end{align}$
B. Perkalian Bilangan Kompleks
Misalkan bilangan kompleks $z_1=x_1+y_1i$ dan $z_2=x_2+y_2i$, maka:
$\begin{align}z_1\times z_2 &= (x_1+y_1i)(x_2+y_2i) \\ &= x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2 \\ &= x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i+y_1y_2(-1) \\ z_1\times z_2 &= x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i \end{align}$
Contoh:$\begin{align}z_1\times z_2 &= (x_1+y_1i)(x_2+y_2i) \\ &= x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2 \\ &= x_1x_2+(x_1y_2+x_2y_1)i+y_1y_2(-1) \\ z_1\times z_2 &= x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i \end{align}$
Misalkan diberikan bilangan kompleks $z_1=1+i$ dan $z_2=\frac{1}{2}-2i$, tentukanlah $z_1\times z_2$.
Penyelesaian:
$\begin{align}z_1\times z_2 &= (1+i)\left( \frac{1}{2}-2i \right) \\ &= \frac{1}{2}-2i+\frac{1}{2}i-2i^2 \\ &= \frac{1}{2}-\frac{3}{2}i-2(-1) \\ &= \frac{1}{2}+2-\frac{3}{2}i \\ z_1\times z_2 &= \frac{5}{2}-\frac{3}{2}i \end{align}$
C. Pembagian Bilangan Kompleks
Misalkan bilangan kompleks $z_1=x_1+y_1i$ dan $z_2=x_2+y_2i$, maka:
$\begin{align}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \\ &= \frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)} \\ &= \frac{x_1x_2-x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2i^2}{x_2^2-y_2^2i^2} \\ &= \frac{x_1x_2+(x_2y_1-x_1y_2)i-y_1y_2(-1)}{x_2^2-y_2^2(-1)} \\ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2} \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2} \end{align}$
Contoh:$\begin{align}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i} \\ &= \frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)} \\ &= \frac{x_1x_2-x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2i^2}{x_2^2-y_2^2i^2} \\ &= \frac{x_1x_2+(x_2y_1-x_1y_2)i-y_1y_2(-1)}{x_2^2-y_2^2(-1)} \\ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2+(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2} \\ \frac{z_1}{z_2} &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{(x_2y_1-x_1y_2)i}{x_2^2+y_2^2} \end{align}$
Misalkan diberikan bilangan kompleks $z_1=3-2i$ dan $z_2=-5+4i$, maka tentukan $\frac{z_1}{z_2}$.
Penyelesaian:
$\begin{align}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{3-2i}{-5+4i} \\ &= \frac{(3-2i)}{(-5+4i)} \times \frac{(-5-4i)}{(-5-4i)} \\ &= \frac{-15-12i+10i+8i^2}{25+20i-20i-16i^2} \\ &= \frac{-15-2i+8(-1)}{25-16(-1)} \\ &= \frac{-23-2i}{25+16} \\ &= \frac{-23-2i}{41} \\ \frac{z_1}{z_2} &= -\frac{23}{41}-\frac{2}{41}i \end{align}$
D. Invers Perkalian Bilangan Kompleks
Invers perkalian dari bilangan kompleks $z=x+yi\ne 0$ adalah:
$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$.
Contoh:$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$.
Diberikan bilangan kompleks $z_1=1-i$ dan $z_2=2+3i$, tentukan invers dari $z_1+z_2$.
Penyelesaian:
Misalkan, $z=z_1+z_2$ maka:
$z=1-i+2+3i\Rightarrow z=3+2i$
$x=3$ dan $y=2$, maka invers dari $z_1+z_2$ adalah:
$\begin{align}(z_1+z_2)^{-1} &= z^{-1} \\ &= \frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i \\ &= \frac{3}{3^2+2^2}-i\frac{2}{3^2+2^2} \\ (z_1+z_2)^{-1} &= \frac{3}{13}-\frac{2}{13}i \end{align}$
E. Soal Latihan
| 1. | Diketahui $z_1=3+2i$ dan $z_2=5-4i$ tentukanlah $2z_1-7z_2$. |
| 2. | Diberikan $z_1=-3+4i$ dan $z_2=1+3i$ tentukan $z_1\times z_2$. |
| 3. | Diketahui $z_1=2-5i$ dan $z_2=3+4i$, tentukan $6z_2\times z_1$. |
| 4. | Diketahui $z_1=3-2i$ dan $z_2=-5+4i$ tentukanlah $\frac{z_2}{z_1}$. |
| 5. | Diketahui bilangan kompleks $z=(3,1)$, tentukanlah invers dari $z$. |
Semoga postingan: Bilangan Kompleks 2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Bilangan Kompleks 2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.