Bilangan Kompleks 3. Konjugat, Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks

A. Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari $z$ dinotasikan $\bar{z}$. Konjugat dari bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah $\bar{z}=x-yi$.

Contoh 1.
Tentukan konjugat dari bilangan kompleks $z_1=4+3i$, $z_2=-1-6i$ dan $z_3=2+\frac{5}{i}$.
Penyelesaian:
$z_1=4+3i\Leftrightarrow \overline{z_1}=4-3i$
$z_2=-1-6i\Leftrightarrow \overline{z_2}=-1+6i$
$\begin{align}z_3 &= 2+\frac{5}{i} \\ &= 2+\frac{5}{i}\times \frac{i}{i} \\ &= 2+\frac{5i}{i^2} \\ &= 2+\frac{5i}{-1} \\ z_3 &= 2-5i \\ \overline{z_3} &= 2+5i \end{align}$

Contoh 2.
Misalkan diberikan bilangan kompleks $z=x+yi$, tentukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi $\operatorname{Re}\left( \overline{2i+2\bar{z}} \right)=8$
Penyelesaian:
$\begin{align}\operatorname{Re}\left( \overline{2i+2\bar{z}} \right) &= 8 \\ \operatorname{Re}\left( \overline{2i+2(\overline{x+yi})} \right) &= 8 \\ \operatorname{Re}\left( \overline{2i+2(x-yi)} \right) &= 8 \\ \operatorname{Re}\left( \overline{2i+2x-2yi} \right) &= 8 \\ \operatorname{Re}\left( \overline{2x+(2-2y)i} \right) &= 8 \\ \operatorname{Re}\left( 2x-(2-2y)i \right) &= 8 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{align}$
Jadi, $x=4$ dan $y$ sembarang bilangan real.

Sifat Operasi Konjugat Bilangan Kompleks: Misalkan $z$, $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks maka:

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
3. $\overline{z_1\times z_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$
4. $\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
5. $\overline{z^{-1}}=\left( \overline{z} \right)^{-1}$
6. $\bar{\bar{z}}=z$
7. $z\times \bar{z}=[\operatorname{Re}(z)]^2+[\operatorname{Im}(z)]^2$
8. $z-\bar{z}=2i\operatorname{Im}(z)$
9. $z+\bar{z}=2i\operatorname{Re}(z)$

---

B. Modulus Bilangan Kompleks

Modulus bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah $\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Contoh:
Tentukan modulus setiap bilangan kompleks berikut: $z_1=2+i^2$, $z_2=1+\frac{1}{i}$ dan $z_3=1+2i$.
Penyelesaian:
$\begin{align}z_1 &= 2+i^2 \\ &= 2+(-1) \\ &= 1 \\ z_1 &= 1+0i \\ z_1 &= (1,0) \end{align}$
$\begin{align}\left| z_1 \right| &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{1^2+0^2} \\ \left| z_1 \right| &= 1 \end{align}$

$\begin{align}z_2 &= 1+\frac{1}{i} \\ &= 1+\frac{1}{i}\times \frac{i}{i} \\ &= 1+\frac{i}{i^2} \\ &= 1+\frac{i}{-1} \\ z_2 &= 1-i \\ z_2 &= (1,-1) \end{align}$
$\begin{align}\left| z_2 \right| &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{1^2+(-1)^2} \\ \left| z_2 \right| &= \sqrt{2} \end{align}$

$\begin{align}z_3 &= 1+2i \\ z_3 &= (1,2) \\ \end{align}$
$\begin{align}\left| z_3 \right| &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{1^2+2^2} \\ \left| z_3 \right| &= \sqrt{5} \end{align}$

Sifat Operasi Modulus Bilangan Kompleks:
Misalkan $z$, $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks maka diperoleh:

1. $\left| z \right|=\left| -z \right|=\left| {\bar{z}} \right|$
2. $\left| z_1-z_2 \right|=\left| z_2-z_1 \right|$
3. $\left| z^2 \right|=\left| z \right|^2=z\times \bar{z}$
4. $\left| z_1\times z_2 \right|=\left| z_1 \right|\times \left| z_2 \right|$
5. $\left| \frac{z_1}{z_2} \right|=\frac{\left| z_1 \right|}{\left| z_2 \right|}$
6. $\left| z_1+z_2 \right|\ne \left| z_1 \right|+\left| z_2 \right|$, lebih jauh diperoleh $\left| z_1+z_2 \right|\le \left| z_1 \right|+\left| z_2 \right|$

---

C. Argumen Bilangan Kompleks

Bentuk polar dari bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$, maka $\theta $ dinyatakan sebagai argumen utama dari $z$ dan dinotasikan dengan $Arg(z)=\theta $ dan $0\le \theta \le 2\pi $.
Jika diketahui bilangan kompleks $z=x+yi$ maka argumen utama dari $z$ adalah $Arg(z)=arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right)$.
Nilai $\theta $ tergantung pada nilai $x$ dan $y$, perhatikan tabel berikut:

Nilai $x$	Nilai $y$	$\theta$ di Kuadran
Positif	Positif	I
Negatif	Positif	II
Negatif	Negatif	III
Positif	Negatif	IV

Contoh:
Tentukan argumen utama bilagnan kompleks $z_1=1+\sqrt{3}i$ dan $z_2=-i$.
Penyelesaian:
$z_1=1+\sqrt{3}i\Leftrightarrow z_1=(1,\sqrt{3})$ maka $\theta $ di kuadran I.
$\begin{align}Arg(z) &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) \\ &= arc\,\tan \sqrt{3} \\ Arg(z) &= 60^\circ \end{align}$

$z_2=-i\Leftrightarrow z_2=(0,-1)$ terletak pada sumbu Y negatif, maka $Arg(z_2)=270^\circ $.

Argumen bilangan kompleks $z$, bukanlah suatu besaran yang tunggal. Setiap bilangan kompleks $z$ mempunyai tak hingga banyaknya argumen yang berbeda satu sama lainnya dengan kelipatan $2\pi $.

Oleh karena itu, argumen dari bilangan kompleks $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ dapat dinyatakan dengan $Arg(z)=\{\theta +2k\pi ;\,k\,\text{bilangan}\,\text{bulat}\}$.

Sifat Operasi Argumen Bilangan Kompleks:
Misalkan $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ dan $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ adalah dua bilangan kompleks maka diperoleh:

a.	Argumen dari $z_1\times z_2$ adalah: $Arg(z_1\times z_2)$ = $\{Arg(z_1)+Arg(z_2)+2k\pi ;\,k\in Z \}$
b.	Misalkan $z_2\ne 0$, argumen dari $\frac{z_1}{z_2}$ adalah: $Arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right)$ = $\{Arg(z_1)-Arg(z_2)+2k\pi ;\,k\in Z \}$

Contoh:
Tentukan argumen hasil perkalian dan pembagian $z_1=-2+2i$ dan $z_2=2(\cos 360^\circ +i\sin 360^\circ )$.
Penyelesaian:
$z_1=-2+2i$
$z_1=(-2,2)$ jadi $\theta $ di kuadran II
$\begin{align}Arg(z_1) &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{2}{-2} \right) \\ &= arc\,\tan (-1) \\ Arg(z_1) &= 135^\circ \end{align}$
$z_2=2(\cos 360^\circ +i\sin 360^\circ )$ maka $Arg(z_2)=360^\circ $

Argumen dari $z_1\times z_2$ adalah:
$Arg(z_1\times z_2)$
= $\{Arg(z_1)+Arg(z_2)+2k\pi ;\,k\in Z \}$
= $\{135^\circ +360{}^\circ +2k\pi ;\,k\in Z \}$
= $\{495^\circ +2k\pi ;\,k\in Z \}$

argumen dari $\frac{z_1}{z_2}$ adalah:
$Arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right)$
= $\{Arg(z_1)-Arg(z_2)+2k\pi ;\,k\in Z \}$
= $\{135^\circ -360{}^\circ +2k\pi ;\,k\in Z \}$
= $\{-225^\circ +2k\pi ;\,k\in Z \}$

---

D. Latihan Soal

1. Tentukan konjugat dari $z_1=3+2i$ dan $z_2=5+\frac{3}{i}$.
2. Tentukan modulus dari $z=5-3i$.
3. Tentukan modulus dari $z=-3+2i$.
4. Tentukan argumen utama dari bilangan kompleks $z=-3-3i$.
5. Tentukan argumen utama dari bilangan kompleks $z=\sqrt{3}-i$.

---

Semoga postingan: Bilangan Kompleks 3. Konjugat, Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :