Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 1. Definisi, Bentuk dan Kesamaan Bilangan Kompleks

Soal No. 1

Penyelesaian persamaan kuadrat $x^2+2x+4=0$ adalah ….
A. $-1+\sqrt{2}i$ atau $-1-\sqrt{2}i$
B. $1+\sqrt{2}i$ atau $1-\sqrt{2}i$
C. $-1+\sqrt{3}i$ atau $-1-\sqrt{3}i$
D. $1+\sqrt{3}i$ atau $1-\sqrt{3}i$
E. $3+\sqrt{3}i$ atau $3-\sqrt{3}i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x^2+2x+4=0$
$a=1$, $b=2$, $c=4$
$\begin{align}x &= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2\pm \sqrt{{{2}^{2}}-4.1.4}}{2.1} \\ &= \frac{-2\pm \sqrt{-12}}{2} \\ &= \frac{-2\pm \sqrt{12}i}{2} \\ &= \frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2} \\ x &= -1\pm \sqrt{3}i \end{align}$
$x=-1+\sqrt{3}i$ atau $x=-1-\sqrt{3}i$
Jawaban: C

Soal No. 2

Bentuk polar dari bilangan kompleks $z=\frac{1}{2}\left( \sqrt{5}+\sqrt{15}i \right)$ adalah ….
A. $z=\sqrt{3}(\cos 30^\circ +i\sin 30^\circ )$
B. $z=\sqrt{3}(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ )$
C. $z=\sqrt{5}(\cos 30^\circ +i\sin 30^\circ )$
D. $z=\sqrt{5}(\cos 45^\circ +i\sin 45^\circ )$
E. $z=\sqrt{5}(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ )$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=\frac{1}{2}\left( \sqrt{5}+\sqrt{15}i \right)$
$z=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}i$
$x=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ,$y=\frac{\sqrt{15}}{2}$ maka $\theta $ berada di kuadran I.
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{\sqrt{15}/2}{\sqrt{5}/2} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} \right) \\ &= arc\,\tan \sqrt{3} \\ \theta &= 60^\circ \end{align}$
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{15}}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{5}{4}+\frac{15}{4}} \\ r &= \sqrt{5} \end{align}$
Bentuk polar:
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
$z=\sqrt{5}(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ )$
Jawaban: E

Soal No. 3

Bentuk kartesius dari bilangan kompleks $z=\sqrt{3}(\cos 30^\circ +i\sin 30^\circ )$ adalah ….
A. $z=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}$
B. $z=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$
C. $z=\frac{\sqrt{3}+3i}{2}$
D. $z=\frac{\sqrt{3}-3i}{2}$
E. $z=\frac{3+3i}{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z &= \sqrt{3}(\cos 30^\circ +i\sin 30^\circ ) \\ &= \sqrt{3}\left( \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i \right) \\ &= \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i \\ z &= \frac{3+\sqrt{3}i}{2} \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 4

Bentuk eksponen dari bilangan kompleks $z=\frac{1}{2}(3-\sqrt{3}i)$ adalah ….
A. $\sqrt{2}{e^{i.30^\circ }}$
B. $\sqrt{3}{e^{i.150^\circ }}$
C. $\sqrt{3}{e^{i.330^\circ }}$
D. $\sqrt{5}{e^{i.210^\circ }}$
E. $\sqrt{5}{e^{i.330^\circ }}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=\frac{1}{2}(3-\sqrt{3}i)$
$z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$x=\frac{3}{2}$, $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ maka $\theta $ di kuadran IV.
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{-\sqrt{3}/2}{3/2} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{-\sqrt{3}}{3} \right) \\ &= arc\,\tan \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ \theta &= 330^\circ \end{align}$
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2+\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}} \\ r &= \sqrt{3} \end{align}$
Bentuk eksponen bilangan kompleks:
$z=r{e^{i.\theta }}=\sqrt{3}{e^{i.330^\circ }}$
Jawaban: C

Soal No. 5

Bentuk kartesius dari bilangan kompleks $z=\sqrt{2}{e^{i,225^\circ }}$ adalah ….
A. $-1-i$
B. $-1-2i$
C. $1+i$
D. $1+2i$
E. $2-2i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=\sqrt{2}{e^{i,225^\circ }}$
$r=\sqrt{2}$ dan $\theta =225^\circ $
$\begin{align}z &= r(\cos \theta +i\sin \theta ) \\ &= \sqrt{2}(\cos 225^\circ +i\sin 225^\circ ) \\ &= \sqrt{2}\left( -\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}i \right) \\ z &= -1-i \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 6

Misal $z_1=x+5i$ dan $z_2=5-yi$. Jika $z_1=z_2$ maka nilai $x^2-y$ = ….
A. -5
B. 5
C. 25
D. 30
E. 55

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_1=z_2$ maka:
$\begin{align}\operatorname{Re}(z_1) &= \operatorname{Re}(z_2) \\ x &= 5 \end{align}$
$\begin{align}\operatorname{Im}(z_1) &= \operatorname{Im}(z_2) \\ 5 &= -y \\ -5 &= y \end{align}$
$x^2-y=5^2-(-5)=30$
Jawaban: D

Soal No. 7

Persamaan kuadrat yang mempunyai penyelesaian $x_1=1+2i$ dan $x_2=1-2i$ adalah …
A. $x^2-2x+3=0$
B. $x^2-2x+4=0$
C. $x^2-2x+5=0$
D. $x^2-3x+4=0$
E. $x^2-3x+6=0$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x_1+x_2=1+2i+1-2i=2$
$\begin{align}x_1.x_2 &= (1+2i)(1-2i) \\ &= 1-2i+2i-4i^2 \\ &= 1-4(-1) \\ x_1.x_2 &= 5 \end{align}$
Persamaan kuadrat:
$\begin{align}x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2 &= 0 \\ x^2-2x+5 &= 0 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 8

Manakah dari empat bilangan kompleks berikut yang berbeda satu dengan yang lain?
(1) $i^{31}$
(2) $i^{87}$
(3) $i^{115}$
(4) $i^{221}$
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
E. Semua sama

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}i^{31} &= i^{30}.i \\ &= (i^2)^{15}.i \\ &= (-1)^{15}.i \\ i^{31} &= -i \end{align}$
$\begin{align}i^{87} &= i^{86}.i \\ &= (i^2)^{43}.i \\ &= (-1)^{43}.i \\ i^{87} &= -i \end{align}$
$\begin{align}i^{115} &= i^{114}.i \\ &= (i^2)^{57}.i \\ &= (-1)^{57}.i \\ i^{115} &= -i \end{align}$
$\begin{align}i^{221} &= i^{220}.i \\ &= (i^2)^{110}.i \\ &= (-1)^{110}.i \\ &= 1.i \\ i^{221} &= i \end{align}$
Jadi, yang berbeda adalah (4).
Jawaban: D

Soal No. 9

Diberikan pernyataan
(1) Setiap bilangan real adalah bilangan kompleks.
(2) Bilangan kompleks mempunyai tiga bentuk yaitu bentuk kartesius, bentuk eksponen dan bentuk logaritma.
(3) Bilangan kompleks $z=5-2i$ jika digambarkan pada bidang kompleks, maka berada di kuadran IV.
(4) Hasil pencerminan bilangan kompleks $z=2-3i$ oleh sumbu $\operatorname{Re}(z)$ adalah $z=2+3i$.
Banyak pernyataan yang benar ada ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Pernyataaan (1) benar
Bilangan kompleks mempunyai tiga bentuk yaitu bentuk kartesius, bentuk polar dan bentuk eksponen. Jadi, pernyataan (2) salah.
$z=5-2i=(5,-2)$, x positif, y negatif, maka z di kuadran IV. Jadi, pernyataan (3) benar.
Pernyataan (4) benar
Jadi, banyak pernyataan yang benar ada 3.
Jawaban: D

Soal No. 10

Nilai dari $\frac{i^4+i^9+i^6}{2-i^5+i^{10}-i^{15}}$ = ….
A. $i$
B. $1+i$
C. $2+i$
D. $3+i$
E. $4+i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}\frac{i^4+i^9+i^6}{2-i^5+i^{10}-i^{15}} &= \frac{(i^2)^2+i^8.i+(i^2)^3}{2-i^4.i+(i^2)^5-i^{14}.i} \\ &= \frac{(-1)^2+(i^2)^4.i+(-1)^3}{2-(i^2)^2.i+(-1)^5-(i^2)^7.i} \\ &= \frac{1+(-1)^4.i-1}{2-(-1)^2.i-1-(-1)^7.i} \\ &= \frac{i}{2-i-1+i} \\ &= i \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 11

Jika bilangan kompleks $z=x+yi$ dimana $x$ dan $y$ memenuhi $(4-3i)x^2+(3+2i)xy$ = $4y^2-\frac{1}{2}x^2+(3xy-2y^2)i$ maka $\frac{x}{y}$ = ….
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. 1
D. $\frac{4}{3}$
E. $\frac{5}{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(4-3i)x^2+(3+2i)xy$ = $4y^2-\frac{1}{2}x^2+(3xy-2y^2)i$
$4x^2-3x^2i+3xy+2xyi$ = $4y^2-\frac{1}{2}x^2+(3xy-2y^2)i$
$4x^2+3xy+(2xy-3x^2)i$ = $4y^2-\frac{1}{2}x^2+(3xy-2y^2)i$
$\begin{align}4x^2+3xy &= 4y^2-\frac{1}{2}x^2 \\ 3xy &= 4y^2-\frac{9}{2}x^2 \\ xy &= \frac{4}{3}y^2-\frac{3}{2}x^2 \end{align}$
$\begin{align}2xy-3x^2 &= 3xy-2y^2 \\ 2y^2-3x^2 &= xy \\ 2y^2-3x^2 &= \frac{4}{3}y^2-\frac{3}{2}x^2 \\ -\frac{3}{2}x^2 &= -\frac{2}{3}y^2 \\ \frac{x^2}{y^2} &= -\frac{2}{3}.\left( -\frac{2}{3} \right) \\ \frac{x^2}{y^2} &= \frac{4}{9} \\ \frac{x}{y} &= \frac{2}{3} \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 12

Jika diberikan bentuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka solusi secara umum dari persamaan kuadrat tersebut untuk sembarang $a\ne 0$ dan $b$, $c$ adalah bilangan real adalah ….
A. $\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{-2a}$
B. $\frac{-b\pm \sqrt{4ac-b^2}i}{2a}$
C. $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}i}{-2a}$
D. $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}i}{2a}$
E. $\frac{b\pm \sqrt{b^2-4ac}i}{2a}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Jawaban: B

Soal No. 13

Bila diketahui bahwa $i=\sqrt{-1}$maka $i^7+5i^5+6i^4+i$ = ….
A. $5+6i$
B. $5-6i$
C. $6+5i$
D. $6-5i$
E. $i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$i^7+5i^5+6i^4+i$
= $i^6.i+5i^4.i+6i^4+i$
= $(i^2)^3.i+5(i^2)^2.i+6(i^2)^2+i$
= $(-1)^3.i+5(-1)^2.i+6(-1)^2+i$
= $-i+5i+6+i$
= $6+5i$
Jawaban: C

Soal No. 14

Nilai $x$ dan $y$ berturut-turut yang memberi kesamaan $(2x+yi)+(3y+4xi)=-4+2i$ adalah …
A. 1 dan – 2
B. 1 dan – 5
C. – 1 dan 2
D. 1 dan 5
E. 1 dan 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}(2x+yi)+(3y+4xi) &= -4+2i \\ (2x+3y)+(4x+y)i &= -4+2i \end{align}$
$2x+3y=-4\,....\,(1)$
$\begin{align}4x+y &= 2 \\ y &= 2-4x\,....\,(2) \end{align}$
Substitusi $y=2-4x$ ke persamaan (1) maka:
$\begin{align}2x+3y &= -4 \\ 2x+3(2-4x) &= -4 \\ 2x+6-12x &= -4 \\ -10x &= -10 \\ x &= 1\end{align}$
Substitusi $x=1$ ke persamaan (2) maka:
$\begin{align}y &= 2-4x \\ &= 2-4.1 \\ y &= -2 \end{align}$
Jadi, nilai $x$ dan $y$ berturut-turut 1 dan $-2$.
Jawaban: A

Soal No. 15

Diketahui $2+6i=(x-y)+(x+y)i$. Nilai $x$ dan $y$ berturut-turut adalah ……
A. –2 dan –4
B. –2 dan 4
C. 2 dan –4
D. 2 dan 4
E. 4 dan 2

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$2+6i=(x-y)+(x+y)i$
$\frac{\begin{align}x-y &= 2 \\ x+y &= 6 \end{align}}{\begin{align}2x &= 8 \\ x &= 4 \end{align}}+$
$\begin{align}x+y &= 6 \\ 4+y &= 6 \\ y &= 2 \end{align}$
Nilai $x$ dan $y$ berturut-turut adalah 4 dan 2.
Jawaban: E

Soal No. 16

Bilangan kompleks berikut yang memiliki bagian imajiner 0 adalah ….
A. $\sqrt{3}i+i^2$
B. $\sqrt{3}+i$
C. $\sqrt{3}+i^2$
D. $1-2i$
E. $2+i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\sqrt{3}+{i^{2}}=\sqrt{3}-1$
Bagian realnya $\sqrt{3}-1$ dan bagian imajinernya 0.
Jawaban: C

Soal No. 17

Nilai dari $i^{40}$ adalah ….
A. $-1$
B. 0
C. 1
D. 2
E. 5

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$i^{40}=(i^2)^{20}=(-1)^{20}=1$
Jawaban: C

Soal No. 18

Diketahui $z_1=-3+\sqrt{-4}$ dan $z_2=y+xi$. Tentukan nilai $x$ dan $y$ berturut-turut jika $z_1=z_2$.
A. $-3$ dan 2
B. $2$ dan $-3$
C. $-3$ dan $-4$
D. $-4$ dan 2
E. 2 dan $-4$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z_1 &= -3+\sqrt{-4} \\ &= -3+\sqrt{4}i \\ z_1 &= -3+2i \end{align}$
$z_1=z_2$ maka:
$\operatorname{Im}(z_2)=\operatorname{Im}(z_1)\Leftrightarrow x=2$
$\operatorname{Re}(z_2)=\operatorname{Re}(z_1)\Leftrightarrow y=-3$
Jawaban: B

Soal No. 19

Diketahui bilangan kompleks $z=\frac{12+\sqrt{-9}}{3}$. Bentuk umum bilangan kompleks tersebut adalah …
A. $9+9i$
B. $3-3i$
C. $4+3i$
D. $4+i$
E. $3-i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z &= \frac{12+\sqrt{-9}}{3} \\ &= \frac{12+\sqrt{9}i}{3} \\ &= \frac{12+3i}{3} \\ z &= 4+i \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 20

Bentuk eksponen dari $z=1-i$ dan $z=\sqrt{2}{e^{i\theta }}$. Nilai $\theta $ yang memenuhi adalah ….
A. $325^\circ $
B. $315^\circ $
C. $60^\circ $
D. $45^\circ $
E. $115^\circ $

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=1-i=(1,-1)$, karena $x=1$ dan $y=-1$ maka $\theta $ di kuadran IV.
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{-1}{1} \right) \\ &= arc\,\tan (-1) \\ \theta &= 315^\circ \end{align}$
Jawaban: B

Soal No. 21

Bentuk polar dari $-1-i$ adalah ….
A. $\sqrt{2}(\cos 45^\circ +i\sin 45^\circ )$
B. $\sqrt{2}(\cos 225^\circ +i\sin 225^\circ )$
C. $2(\cos 225^\circ +i\sin 225^\circ )$
D. $2(\cos 115^\circ +i\sin 115^\circ )$
E. $\sqrt{2}(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ )$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=-1-i=(-1,-1)$, karena $x=-1$ dan $y=-1$ maka $\theta $ di kuadran III.
$\begin{align}\theta &= arc\,\tan \left( \frac{y}{x} \right) \\ &= arc\,\tan \left( \frac{-1}{-1} \right) \\ &= arc\,\tan 1 \\ \theta &= 225^\circ \end{align}$
$\begin{align}r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \\ r &= \sqrt{2} \end{align}$
Bentuk polar bilangan kompleks:
$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ = $\sqrt{2}(\cos 225^\circ +i\sin 225^\circ )$
Jawaban: B

---

Semoga postingan: Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 1. Definisi, Bentuk dan Kesamaan Bilangan Kompleks ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :