Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 3. Konjugat, Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks

Pada postingan ini Catatan Matematika berbagi:

1. Soal Konjugat Bilangan Kompleks dan Pembahasannya
2. Soal Modulus Bilangan Kompleks dan Pembahasannya
3. Soal Argumen Bilangan Kompleks dan Pembahasannya

Soal No. 1

Konjugat dari bilangan kompleks $z=\frac{2+2i}{3+2i}+\frac{3i}{3-2i}$ adalah ….
A. $4-11i$
B. $4+11i$
C. $\frac{4}{13}-\frac{11}{13}i$
D. $\frac{4}{13}+\frac{11}{13}i$
E. $\frac{11}{13}+\frac{4}{13}i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{array}{rl}z& =\frac{2+2i}{3+2i}+\frac{3i}{3-2i}\\ & =\frac{(2+2i)(3-2i)+3i(3+2i)}{(3+2i)(3-2i)}\\ & =\frac{6-4i+6i-4i^2+9i+6i^2}{9-6i+6i-4i^2}\\ & =\frac{6+11i+2i^2}{9-4(-1)}\\ & =\frac{6+11i+2(-1)}{9+4}\\ z& =\frac{4+11i}{13}\\ \overline{z}& =\frac{4-11i}{13}\\ \overline{z}& =\frac{4}{13}-\frac{11}{13}i\end{array}$
Jawaban: C

Soal No. 2

Jika bilangan kompleks $z=2-3i$ maka $\overline{z^{-1}}$ = ….
A. $\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i$
B. $\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i$
C. $3-2i$
D. $2+3i$
E. $3+2i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=2-3i=(2,-3)$ maka $x=2$ dan $y=-3$
$\begin{array}{rl}{z}^{-1}& =\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\\ & =\frac{2}{2^2+{(-3)}^2}-\frac{-3}{2^2+{(-3)}^2}i\\ z^{-1}& =\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i\\ \overline{z^{-1}}& =\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i\end{array}$
Jawaban: A

Soal No. 3

Modulus dari bilangan kompleks $\frac{10+10i}{3+i}+\frac{10i}{3-i}$ adalah ….
A. $\sqrt{30}$
B. $\sqrt{31}$
C. $4\sqrt{2}$
D. $\sqrt{33}$
E. $\sqrt{34}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{array}{rl}z& =\frac{10+10i}{3+i}+\frac{10i}{3-i}\\ & =\frac{(10+10i)(3-i)+10i(3+i)}{(3+i)(3-i)}\\ & =\frac{30+50i}{9-3i+3i-i^2}\\ & =\frac{30+50i}{9-(-1)}\\ & =\frac{30+50i}{10}\\ z& =3+5i\end{array}$
$x=3$ dan $y=5$ maka modulus dari bilangan kompleks $z=3+5i$ adalah:
$\begin{array}{rl}\left|z\right|& =\sqrt{x^2+y^2}\\ & =\sqrt{3^2+5^2}\\ \left|z\right|& =\sqrt{34}\end{array}$
Jawaban: E

Soal No. 4

Misal $z_1=x_1+y_{1}i$ dan $z_2=x_2+y_{2}i$ adalah bilangan kompleks maka fakta yang $z_1\times \overline{z_2}+\overline{z_1}\times z_2$ adalah ….
A. hasilnya $2x_1{x}_2+2y_1{y}_{2}i$ yaitu bilangan kompleks.
B. hasilnya $2x_1{x}_2$ yaitu bilangan real.
C. hasilnya $2y_1{y}_{2}i$ yaitu bilangan kompleks.
D. hasilnya $2x_1{x}_2-2y_1{y}_2$ yaitu bilangan kompleks.
E. hasilnya $2x_1{x}_2+2y_1{y}_2$ yaitu bilangan real.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_1\times \overline{z_2}+\overline{z_1}\times z_2$
= $(x_1+y_{1}i)(x_2-y_{2}i)$ + $(x_1-y_{1}i)(x_2+y_{2}i)$
= $x_1{x}_2-x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2{i}^2$ + $x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i-x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2{i}^2$
= $2x_1{x}_2-2y_1{y}_2{i}^2$
= $2x_1{x}_2-2y_1{y}_2(-1)$
= $2x_1{x}_2+2y_1{y}_2$
= $2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)$
$2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)$ adalah bilangan real.
Jawaban: E

Soal No. 5

Jika bilangan kompleks $z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$ maka $|z+\overline{z^2}|$ = ….
A. $\sqrt{2-\sqrt{2}}$
B. $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$
E. $3\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{array}{rl}z& =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\\ z^2& ={(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)}^2\\ & ={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2-2.\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}i+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}-i+\frac{1}{2}{i}^2\\ & =\frac{1}{2}-i+\frac{1}{2}.(-1)\\ z^2& =0-i\end{array}$
$\overline{z^2}=0+i=i$
$\begin{array}{rl}z+\overline{z^2}& =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i+i\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}+(1-\frac{1}{\sqrt{2}})i\end{array}$
$\begin{array}{rl}|z+\overline{z^2}|& =\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{(1-\frac{1}{\sqrt{2}})}^2}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{2}}}\\ & =\sqrt{2-\sqrt{2}}\end{array}$
Jawaban: A

Soal No. 6

Jika bilangan kompleks $z=2+i$ maka $|z+\frac{1}{z}|$ = ….
A. $\frac{1}{5}\sqrt{10}$
B. $\frac{2}{5}\sqrt{10}$
C. $\frac{3}{5}\sqrt{10}$
D. $\frac{4}{5}\sqrt{10}$
E. $\sqrt{10}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{array}{rl}z+\frac{1}{z}& =2+i+\frac{1}{2+i}\\ & =2+i+\frac{1}{2+i}\times \frac{2-i}{2-i}\\ & =2+i+\frac{2-i}{4-i^2}\\ & =2+i+\frac{2-i}{5}\\ & =2+i+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\\ z+\frac{1}{z}& =\frac{12}{5}+\frac{4}{5}i\end{array}$
$\begin{array}{rl}|z+\frac{1}{z}|& =\sqrt{{\left(\frac{12}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{16}{25}}\\ & =\sqrt{\frac{160}{25}}\\ & =\sqrt{\frac{16\times 10}{25}}\\ |z+\frac{1}{z}|& =\frac{4}{5}\sqrt{10}\end{array}$
Jawaban: D

Soal No. 7

Ditentukan $z_1=x+yi$, $z_2=6+8i$ dan $z_1=z_2$. Nilai $\left|z_1\right|$ adalah …
A. 6
B. 8
C. 10
D. 14
E. 48

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_2=6+8i$
$\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{6^2+8^2}=10$
Jawaban: C

Soal No. 8

Ditentukan dua bilangan kompleks $z_1=2-3i$ dan $z_2$ sekawan dengan $z_1$, maka $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$ = …
A. $-\frac{13}{5}$
B. $-\frac{12}{13}$
C. $\frac{13}{13}$
D. $\frac{169}{13}$
E. $\frac{169}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_1=2-3i$ dan $z_2$ sekawan dengan $z_1$ maka $z_2=2+3i$.
$\begin{array}{rl}\frac{z_1}{z_2}& =\frac{2-3i}{2+3i}\\ & =\frac{2-3i}{2+3i}\times \frac{2-3i}{2-3i}\\ & =\frac{4-6i-6i+9i^2}{4-6i+6i-9i^2}\\ & =\frac{4-12i+9(-1)}{4-9(-1)}\\ & =\frac{-5-12i}{13}\\ \frac{z_1}{z_2}& =-\frac{5}{13}-\frac{12}{13}\end{array}$
$\begin{array}{rl}\left|\frac{z_1}{z_2}\right|& =\sqrt{{(-\frac{5}{13})}^2+{(-\frac{12}{13})}^2}\\ & =\sqrt{\frac{25}{169}+\frac{144}{169}}\\ & =\sqrt{\frac{169}{169}}\\ & =1\end{array}$
Jawaban: C

Soal No. 9

Konjugat dari $z=5+\sqrt{2}i$ adalah …
A. $\sqrt{2}+5i$
B. $5+\sqrt{2}i$
C. $\sqrt{2}-5i$
D. $5+2i$
E. $5-\sqrt{2}i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=5+\sqrt{2}i$ maka $\overline{z}=5-\sqrt{2}i$
Jawaban: E

Soal No. 10

Diketahui $z=-\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i$. Modulus dari $z$ adalah ….
A. 0
B. $-\frac{1}{5}$
C. 1
D. $-1$
E. $-\frac{1}{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=-\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i$ diperoleh $x=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $y=\frac{1}{2}$
$\begin{array}{rl}\left|z\right|& =\sqrt{x^2+y^2}\\ & =\sqrt{{(-\frac{1}{2}\sqrt{3})}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}\\ \left|z\right|& =1\end{array}$
Jawaban: C

Soal No. 11

Diketahui bilangan kompleks $z=4+3i$ dan $f(z)=z^2+2z$. Jika $\overline{z}$ adalah kawan dari z , maka $f(\overline{z})$ adalah ……
A. $15-6i$
B. $15-30i$
C. $17-18i$
D. $30-18i$
E. $33-30i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=4+3i$ maka $\overline{z}=4-3i$
$f(z)=z^2+2z$ maka:
$\begin{array}{rl}f(\overline{z})& ={\overline{z}}^2+2\overline{z}\\ & =(4-3i{)}^2+2(4-3i)\\ & =16-24i+9i^2+8-6i\\ & =24-30i+9(-1)\\ f(\overline{z})& =15-30i\end{array}$
Jawaban: B

---

Share :

You may like these posts :

• 
  Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 2. Operasi Aljabar dan Invers Bilangan Kompleks
• 
  Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 1. Definisi, Bentuk dan Kesamaan Bilangan Kompleks
• 
  Bilangan Kompleks 1 - Definisi dan Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks
• 
  Bilangan Kompleks 2. Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
• 
  Bilangan Kompleks 3. Konjugat, Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks