Soal dan Pembahasan Bilangan Kompleks 3. Konjugat, Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks

Pada postingan ini Catatan Matematika berbagi:

1. Soal Konjugat Bilangan Kompleks dan Pembahasannya
2. Soal Modulus Bilangan Kompleks dan Pembahasannya
3. Soal Argumen Bilangan Kompleks dan Pembahasannya

Soal No. 1

Konjugat dari bilangan kompleks $z=\frac{2+2i}{3+2i}+\frac{3i}{3-2i}$ adalah ….
A. $4-11i$
B. $4+11i$
C. $\frac{4}{13}-\frac{11}{13}i$
D. $\frac{4}{13}+\frac{11}{13}i$
E. $\frac{11}{13}+\frac{4}{13}i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z &= \frac{2+2i}{3+2i}+\frac{3i}{3-2i} \\ &= \frac{(2+2i)(3-2i)+3i(3+2i)}{(3+2i)(3-2i)} \\ &= \frac{6-4i+6i-4i^2+9i+6i^2}{9-6i+6i-4i^2} \\ &= \frac{6+11i+2i^2}{9-4(-1)} \\ &= \frac{6+11i+2(-1)}{9+4} \\ z &= \frac{4+11i}{13} \\ \bar{z} &= \frac{4-11i}{13} \\ \bar{z} &= \frac{4}{13}-\frac{11}{13}i \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 2

Jika bilangan kompleks $z=2-3i$ maka $\overline{z^{-1}}$ = ….
A. $\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i$
B. $\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i$
C. $3-2i$
D. $2+3i$
E. $3+2i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=2-3i=(2,-3)$ maka $x=2$ dan $y=-3$
$\begin{align}z^{-1} &=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i \\ &= \frac{2}{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}-\frac{-3}{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}i \\ z^{-1} &=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i \\ \overline{z^{-1}} &= \frac{2}{13}-\frac{3}{13}i \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 3

Modulus dari bilangan kompleks $\frac{10+10i}{3+i}+\frac{10i}{3-i}$ adalah ….
A. $\sqrt{30}$
B. $\sqrt{31}$
C. $4\sqrt{2}$
D. $\sqrt{33}$
E. $\sqrt{34}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z &= \frac{10+10i}{3+i}+\frac{10i}{3-i} \\ &= \frac{(10+10i)(3-i)+10i(3+i)}{(3+i)(3-i)} \\ &= \frac{30+50i}{9-3i+3i-i^2} \\ &= \frac{30+50i}{9-(-1)} \\ &= \frac{30+50i}{10} \\ z &= 3+5i \end{align}$
$x=3$ dan $y=5$ maka modulus dari bilangan kompleks $z=3+5i$ adalah:
$\begin{align}\left| z \right| &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{3^2+5^2} \\ \left| z \right| &= \sqrt{34} \end{align}$
Jawaban: E

Soal No. 4

Misal $z_1=x_1+y_1i$ dan $z_2=x_2+y_2i$ adalah bilangan kompleks maka fakta yang $z_1\times \overline{z_2}+\overline{z_1}\times z_2$ adalah ….
A. hasilnya $2x_1x_2+2y_1y_2i$ yaitu bilangan kompleks.
B. hasilnya $2x_1x_2$ yaitu bilangan real.
C. hasilnya $2y_1y_2i$ yaitu bilangan kompleks.
D. hasilnya $2x_1x_2-2y_1y_2$ yaitu bilangan kompleks.
E. hasilnya $2x_1x_2+2y_1y_2$ yaitu bilangan real.

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_1\times \overline{z_2}+\overline{z_1}\times z_2$
= $(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)$ + $(x_1-y_1i)(x_2+y_2i)$
= $x_1x_2-x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2i^2$ + $x_1x_2+x_1y_2i-x_2y_1i-y_1y_2i^2$
= $2x_1x_2-2y_1y_2i^2$
= $2x_1x_2-2y_1y_2(-1)$
= $2x_1x_2+2y_1y_2$
= $2(x_1x_2+y_1y_2)$
$2(x_1x_2+y_1y_2)$ adalah bilangan real.
Jawaban: E

Soal No. 5

Jika bilangan kompleks $z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$ maka $\left| z+\overline{z^2} \right|$ = ….
A. $\sqrt{2-\sqrt{2}}$
B. $\sqrt{2+\sqrt{2}}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$
E. $3\sqrt{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z &= \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \\ z^2 &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \right)^2 \\ &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2-2.\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}i+\left( \frac{1}{\sqrt{2}}i \right)^2 \\ &= \frac{1}{2}-i+\frac{1}{2}i^2 \\ &= \frac{1}{2}-i+\frac{1}{2}.(-1) \\ z^2 &= 0-i \end{align}$
$\overline{z^2}=0+i=i$
$\begin{align}z+\overline{z^2} &= \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i+i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}+\left( 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)i \end{align}$
$\begin{align}\left| z+\overline{z^2} \right| &= \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2+\left( 1-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{2}}} \\ &= \sqrt{2-\sqrt{2}} \end{align}$
Jawaban: A

Soal No. 6

Jika bilangan kompleks $z=2+i$ maka $\left| z+\frac{1}{z} \right|$ = ….
A. $\frac{1}{5}\sqrt{10}$
B. $\frac{2}{5}\sqrt{10}$
C. $\frac{3}{5}\sqrt{10}$
D. $\frac{4}{5}\sqrt{10}$
E. $\sqrt{10}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$\begin{align}z+\frac{1}{z} &= 2+i+\frac{1}{2+i} \\ &= 2+i+\frac{1}{2+i}\times \frac{2-i}{2-i} \\ &= 2+i+\frac{2-i}{4-i^2} \\ &= 2+i+\frac{2-i}{5} \\ &= 2+i+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i \\ z+\frac{1}{z} &= \frac{12}{5}+\frac{4}{5}i \end{align}$
$\begin{align}\left| z+\frac{1}{z} \right| &= \sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^2+\left( \frac{4}{5} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{144}{25}+\frac{16}{25}} \\ &= \sqrt{\frac{160}{25}} \\ &= \sqrt{\frac{16\times 10}{25}} \\ \left| z+\frac{1}{z} \right| &= \frac{4}{5}\sqrt{10} \end{align}$
Jawaban: D

Soal No. 7

Ditentukan $z_1=x+yi$, $z_2=6+8i$ dan $z_1=z_2$. Nilai $\left| z_1 \right|$ adalah …
A. 6
B. 8
C. 10
D. 14
E. 48

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_2=6+8i$
$\left| z_1 \right|=\left| z_2 \right|=\sqrt{6^2+8^2}=10$
Jawaban: C

Soal No. 8

Ditentukan dua bilangan kompleks $z_1=2-3i$ dan $z_2$ sekawan dengan $z_1$, maka $\left| \frac{z_1}{z_2} \right|$ = …
A. $-\frac{13}{5}$
B. $-\frac{12}{13}$
C. $\frac{13}{13}$
D. $\frac{169}{13}$
E. $\frac{169}{5}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z_1=2-3i$ dan $z_2$ sekawan dengan $z_1$ maka $z_2=2+3i$.
$\begin{align}\frac{z_1}{z_2} &= \frac{2-3i}{2+3i} \\ &= \frac{2-3i}{2+3i}\times \frac{2-3i}{2-3i} \\ &= \frac{4-6i-6i+9i^2}{4-6i+6i-9i^2} \\ &= \frac{4-12i+9(-1)}{4-9(-1)} \\ &= \frac{-5-12i}{13} \\ \frac{z_1}{z_2} &= -\frac{5}{13}-\frac{12}{13} \\ \end{align}$
$\begin{align}\left| \frac{z_1}{z_2} \right| &= \sqrt{{{\left( -\frac{5}{13} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{12}{13} \right)}^{2}}} \\ &= \sqrt{\frac{25}{169}+\frac{144}{169}} \\ &= \sqrt{\frac{169}{169}} \\ &= 1 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 9

Konjugat dari $z=5+\sqrt{2}i$ adalah …
A. $\sqrt{2}+5i$
B. $5+\sqrt{2}i$
C. $\sqrt{2}-5i$
D. $5+2i$
E. $5-\sqrt{2}i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=5+\sqrt{2}i$ maka $\bar{z}=5-\sqrt{2}i$
Jawaban: E

Soal No. 10

Diketahui $z=-\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i$. Modulus dari $z$ adalah ….
A. 0
B. $-\frac{1}{5}$
C. 1
D. $-1$
E. $-\frac{1}{2}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=-\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i$ diperoleh $x=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$ dan $y=\frac{1}{2}$
$\begin{align}\left| z \right| &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{\left( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right)^2+\left( \frac{1}{2} \right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}} \\ \left| z \right| &= 1 \end{align}$
Jawaban: C

Soal No. 11

Diketahui bilangan kompleks $z=4+3i$ dan $f(z)=z^2+2z$. Jika $\bar{z}$ adalah kawan dari z , maka $f(\bar{z})$ adalah ……
A. $15-6i$
B. $15-30i$
C. $17-18i$
D. $30-18i$
E. $33-30i$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$z=4+3i$ maka $\bar{z}=4-3i$
$f(z)=z^2+2z$ maka:
$\begin{align}f(\bar{z}) &= {\bar{z}}^2+2\bar{z} \\ &= (4-3i)^2+2(4-3i) \\ &= 16-24i+9i^2+8-6i \\ &= 24-30i+9(-1) \\ f(\bar{z}) &= 15-30i \end{align}$
Jawaban: B

---

Share :