Soal dan Pembahasan - Polinomial 4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor
Teorema Sisa 1. $f(x):(x-k)$
Soal No. 1
Jika $f(x)=3x^3+4x^2-6x+1$ dibagi $x-2$ maka sisanya ….A. 25
B. 38
C. 28
D. 29
E. 30
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=3x^3+4x^2-6x+1$$f(x):(x-2)$ maka sisa:
$\begin{align}f(2) &= 3.2^3+4.2^2-6.2+1 \\ &= 24+16-12+1 \\ &= 29 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 2
Sisa pembagian $f(x)=2x^4-3x^3+5x^2+4x-3$ dengan $(x-2)$ adalah ….A. 20
B. 33
C. 42
D. 60
E. 65
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^4-3x^3+5x^2+4x-3$$f(x):(x-2)$ maka sisa:
$\begin{align}f(2) &= 2.2^4-3.2^3+5.2^2+4.2-3 \\ &= 32-24+20+8-3 \\ &= 33 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 3
Jika $f(x)=3x^6+5x^4-3x^2+5$ dibagi $(x+2)$ maka sisanya adalah ….A. 255
B. 258
C. 260
D. 265
E. 267
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=3x^6+5x^4-3x^2+5$$f(x):(x+2)$ maka sisa:
$\begin{align}f(-2) &= 3.(-2)^6+5.(-2)^4-3.(-2)^2+5 \\ &= 192+80-12+5 \\ &= 265 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 4
Pembagian polinom $x^5+2x^2-px+7$ oleh $(x-3)$ memberikan sisa 4 maka nilai $p$ yang memenuhi adalah ….A. 80
B. 84
C. 86
D. 88
E. 90
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=x^5+2x^2-px+7$$f(x):(x-3)$ maka sisa:
$\begin{align}f(3) &= 4 \\ 3^5+2.3^2-p.3+7 &= 4 \\ 243+18-3p+7 &= 4 \\ -3p &= -264 \\ p &= 88 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 5
Jika $f(x)=3x^3+4x^2-6x+12$ dibagi dengan $(x-1)$ maka sisanya adalah ….A. 15
B. 14
C. 13
D. 12
E. 11
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=3x^3+4x^2-6x+12$$f(x):(x-1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(1) &= 3.1^3+4.1^2-6.1+12 \\ &= 3+4-6+12 \\ &= 13 \end{align}$
Jawaban: C
Soal No. 6
Jika $f(x)=3x^{13}+4x^{10}+k$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa 10 maka nilai $k$ adalah ….A. 28
B. 9
C. 8
D. $-12$
E. $-22$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=3x^{13}+4x^{10}+k$$f(x):(x+1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(-1) &= 10 \\ 3(-1)^{13}+4(-1)^{10}+k &= 10 \\ -3+4+k &= 10 \\ k &= 9 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 7
Jika $f(x)=5x^{13}+3x^{10}+k$ dibagi dengan $(x+1)$ bersisa 12 maka nilai $k$ adalah ….A. 28
B. 14
C. 8
D. $-12$
E. $-22$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=5x^{13}+3x^{10}+k$$f(x):(x+1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(-1) &= 12 \\ 5(-1)^{13}+3(-1)^{10}+k &= 12 \\ -5+3+k &= 12 \\ k &= 14 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 8
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3+x^2-px+6$ habis dibagi oleh $(x+2)$, maka nilai $2p$ adalah ….A. 4
B. $-6$
C. $-3$
D. 3
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^3+x^2-px+6$$f(x):(x+2)$ maka sisa:
$\begin{align}f(-2) &= 0 \\ 2(-2)^3+(-2)^2-p(-2)+6 &= 0 \\ -16+4+2p+6 &= 0 \\ 2p &= 6 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 9
Jika suku banyak $2x^3-kx^2-x+16$ dibagi $(x-1)$ mempunyai sisa 10, maka nilai $k$ adalah ….A. 7
B. 10
C. 12
D. 15
E. 17
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=~2x^3-kx^2-x+16$$f(x):(x-1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(1) &= 10 \\ 2.1^3-k.1^2-1+16 &= 10 \\ 2-k-1+16 &= 10 \\ -k &= -7 \\ k &= 7 \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 10
Diketahui $f(x)=2x^3-(p+1)x^2+(3p-1)x-4$. Jika $f(x)$ dibagi $(x+3)$ memberi sisa $-100$ maka nilai $p$ = ….A. $-2$
B. 0
C. 2
D. 3
E. 5
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^3-(p+1)x^2+(3p-1)x-4$$f(x):(x+3)$ maka sisa:
$f(-3)=-100$
$2(-3)^3-(p+1)(-3)^2+(3p-1)(-3)-4=-100$
$-54-9p-9-9p+3-4=-100$
$-18p=36$
$p=-2$
Jawaban: A
Soal No. 11
Sisa pembagian $f(x)=2x^3+3x^2-4x+1$ dengan $(x-1)$ adalah ….A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^3+3x^2-4x+1$$f(x):(x-1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(1) &= 2.1^3+3.1^2-4.1+1 \\ &= 2+3-4+1 \\ &= 2 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 12
Sisa pembagian $f(x)=5x^4-3x^3+6x^2+4x-3$ dengan $(x+1)$ adalah ….A. 3
B. 4
C. 6
D. 7
E. 9
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=5x^4-3x^3+6x^2+4x-3$$f(x):(x+1)$ maka sisa:
$\begin{align}f(-1) &= 5(-1)^4-3(-1)^3+6(-1)^2+4(-1)-3 \\ &= 5+3+6-4-3 \\ &= 7 \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 13
Jika $P(x)=x^4+5x^3+9x^2+13x+a$ dibagi dengan $(x+3)$ bersisa 2, maka $P(x)$ dibagi $(x+1)$ akan bersisa ….A. 2
B. $-3$
C. 4
D. $-5$
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$P(x)=x^4+5x^3+9x^2+13x+a$$P(x):(x+2)$ maka sisa:
$\begin{align}P(-3) &= 2 \\ (-3)^4+5(-3)^3+9(-3)^2+13(-3)+a &= 2 \\ 81-135+81-39+a &= 2 \\ a &= 14 \end{align}$
$P(x)=x^4+5x^3+9x^2+13x+14$
$P(x):(x+1)$ maka sisa:
$\begin{align}P(-1) &= (-1)^4+5(-1)^3+9(-1)^2+13(-1)+14 \\ &= 1-5+9-13+14 \\ &= 6 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 14
Jika pembagian $x^2+3px-2$ dan $x^3-4p^2x^2+x+p$ dengan $(x+1)$ masing-masing menghasilkan sisa yang sama maka $p$ = ….A. $-2$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 2
Penyelesaian: Lihat/Tutup
Misal: $f(x)=x^2+3px-2$ dan $g(x)=x^3-4p^2x^2+x+p$$f(x)$ dan $g(x)$ dibagi $(x+1)$ memberi sisa yang sama maka:
$\begin{align}f(-1) &= g(-1) \\ (-1)^2+3p(-1)-2 &= (-1)^3-4p^2(-1)^2+(-1)+p \\ 1-3p-2 &= -1-4p^2-1+p \\ -3p-1 &= -2-4p^2+p \\ 4p^2-4p+1 &= 0 \\ (2p-1)(2p-1) &= 0 \\ 2p-1 &= 0 \\ 2p &= 1 \\ p &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 15
Jika suku banyak $2x^3-x^2+ax+7$ dan $x^3+3x^2-4x-1$ dibagi $(x+1)$ akan diperoleh sisa yang sama maka nilai $a$ = ….A. $-10$
B. $-1$
C. 1
D. 5
E. 10
Penyelesaian: Lihat/Tutup
Misal$f(x)=2x^3-x^2+ax+7$ dan $g(x)=x^3+3x^2-4x-1$ dibagi $(x+1)$ memberi sisa yang sama, maka:$f(-1)=g(-1)$
$2(-1)^3-(-1)^2+a(-1)+7$= $(-1)^3+3(-1)^2-4(-1)-1$
$\begin{align}-2-1-a+7 &= -1+3+4-1 \\ -a+4 &= 5 \\ -a &= 1 \\ a &= -1 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 16
Diketahui fungsi polinom $f(x)=3x^2+kx-15$ dan $g(x)=kx^4-3x^3-15x$, apabila $f(x)$ dan $g(x)$ sama-sama dibagi oleh $(x+2)$, maka sisa $f(x)$ sama dengan setengah sisa $g(x)$. Nilai $k$ yang memenuhi adalah ….A. $-3$
B. $-2$
C. $-1$
D. 4
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$\begin{align}f(-2) &= \frac{1}{2}g(-2) \\ 3(-2)^2+k(-2)-15 &= \frac{1}{2}\left( k(-2)^4-3(-2)^3-15(-2) \right) \\ 12-2k-15 &= \frac{1}{2}\left( 16k+24+30 \right) \\ 24-4k-30 &= 16k+24+30 \\ -20k &= 60 \\ k &= -3 \end{align}$Jawaban: A
Soal No. 17
Diketahui $p(x)=ax^5+bx-1$, dengan $a$ dan $b$ konstan. Jika $p(x)$ dibagi dengan $(x-2006)$ bersisa 3, maka bila $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ akan bersisa ….A. $-1$
B. $-2$
C. $-3$
D. $-4$
E. $-5$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$p(x)=ax^5+bx-1$$p(x):(x-2006)$ maka sisa:
$\begin{align}p(2006) &= 3 \\ a.2006^3+b.2006 &= 3 \end{align}$
$p(x):(x+2006)$ maka sisa:
$\begin{align}p(-2006) &= a.(-2006)^3+b.(-2006) \\ &= -a.2006^3-b.2006 \\ &= -(a.2006^3+b.2006) \\ &= -3 \end{align}$
Jawaban: C
Teorema Sisa 2. $f(x):(ax-b)$
Soal No. 18
Jika $f(x)=2x^3+3x^2-4x+3$ dibagi $(2x-1)$ maka sisanya adalah ….A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. $-1$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^3+3x^2-4x+3$$f(x):(2x-1)$ maka sisa:
$\begin{align}f\left( \frac{1}{2} \right) &= 2\left( \frac{1}{2} \right)^3+3\left( \frac{1}{2} \right)^2-4\left( \frac{1}{2} \right)+3 \\ &= 2.\frac{1}{8}+3.\frac{1}{4}-2+3 \\ &= \frac{1}{4}+\frac{3}{4}+1 \\ &= 2 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 19
Jika suku banyak $5x^3+21x^2+9x-1$ dibagi $5x+1$, maka sisanya adalah ….A. $-6$
B. $-2$
C. 2
D. 6
E. 34
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=5x^3+21x^2+9x-1$$f(x):(5x+1)$ maka sisa:
$\begin{align}f\left( -\frac{1}{5} \right) &= 5\left( -\frac{1}{5} \right)^3+21\left( -\frac{1}{5} \right)^2+9\left( -\frac{1}{5} \right)-1 \\ &= 5\left( -\frac{1}{125} \right)+21\left( \frac{1}{25} \right)-\frac{9}{5}-1 \\ &= -\frac{1}{25}+\frac{21}{25}-\frac{9}{5}-1 \\ &= -\frac{1}{25}+\frac{21}{25}-\frac{45}{25}-\frac{25}{25} \\ &= -2 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 20
Jika $f(x)=4x^4-x^3-x^2+\frac{1}{2}x$ dibagi dengan $(2x+\sqrt{2})$ maka sisanya adalah ….A. $-\sqrt{2}$
B. $-1$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=4x^4-x^3-x^2+\frac{1}{2}x$$f(x):(2x+\sqrt{2})$ maka sisa:
$\begin{align}f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) &= 4\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4-\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3-\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2+\frac{1}{2}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ &= 4.\frac{4}{16}+\frac{2\sqrt{2}}{8}-\frac{2}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= 1+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: D
Soal No. 21
Jika suku banyak $2x^3+x^2+4x+4$ dan $2x^3+x^2+2x+a$ dibagi dengan $2x-3$ bersisa sama maka nilai $a$ = ….A. 19
B. 7
C. 5
D. 1
E. $-6$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=2x^3+x^2+4x+4$ dan $g(x)=2x^3+x^2+2x+a$ dibagi dengan $2x-3$ bersisa sama maka:$\begin{align}f\left( -\frac{3}{2} \right) &= g\left( -\frac{3}{2} \right) \\ 2\left( -\frac{3}{2} \right)^3+\left( -\frac{3}{2} \right)^2+4\left( -\frac{3}{2} \right)+4 &= 2\left( -\frac{3}{2} \right)^3+\left( -\frac{3}{2} \right)^2+2\left( -\frac{3}{2} \right)+a \\ 4\left( -\frac{3}{2} \right)+4 &= 2\left( -\frac{3}{2} \right)+a \\ -6+4 &= -3+a \\ 1 &= a \end{align}$
Jawaban: D
Teorema Sisa 3. $f(x):(ax^2+bx+c)$
Soal No. 22
Diketahui $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya 24 sedangkan dibagi $(x+5)$ sisanya 10. Jika $f(x)$ dibagi $x^2+3x-10$ sisanya adalah ….A. $x+34$
B. $x-34$
C. $2x+20$
D. $2x-20$
E. $x+14$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x-2)$ maka sisa = $f(2)=24$$f(x):(x+5)$ maka sisa = $f(-5)=10$
$f(x):(x^2+3x-10)$ maka sisa = $px+q$?
karena $x^2+3x-10=(x-2)(x+5)$ maka:
$\frac{\begin{align}f(2)=2p+q &= 24 \\ f(-5)=-5p+q &= 10 \end{align}}{\begin{align}7p &= 14 \\ p &= 2 \end{align}}-$
Substitusi $p=2$ ke persamaan:
$\begin{align}2p+q &= 24 \\ 2.2+q &= 24 \\ q &= 20 \end{align}$
Jadi, sisa = $px+q$ = $2x+20$
Jawaban: C
Soal No. 23
Diketahui $f(x)$ dibagi $(x+2)$ bersisa 14 dan dibagi $(x-4)$ sisanya $-4$. Jika $f(x)$ dibagi $(x^2-2x-8)$ bersisa ….A. $3x-8$
B. $8x+3$
C. $2x+4$
D. $2x-4$
E. $-3x+8$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x+2)$ maka sisa = $f(-2)=14$$f(x):(x-4)$ maka sisa = $f(4)=-4$
$f(x):(x^2-2x-8)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2-2x-8=(x+2)(x-4)$ maka:
$\frac{\begin{align}f(-2)=-2p+q &= 14 \\ f(4)=4p+q &= -4 \end{align}}{\begin{align}-6p &= 18 \\ p &= -3 \end{align}}-$
Substitusi $p=-3$ ke persamaan:
$\begin{align}-2p+q &= 14 \\ -2.(-3)+q &= 14 \\ q &= 8 \end{align}$
Jadi, sisa = $px+q$ = $-3x+8$
Jawaban: E
Soal No. 24
Diketahui suku banyak $f(x)$ dengan $f\left( \frac{1}{3} \right)=2$ dan $f(2)=-3$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $3x^2-7x+2$ sisanya adalah ….A. $-2x-7$
B. $-3x+3$
C. $3x+1$
D. $3x-9$
E. $9x-1$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f\left( \frac{1}{3} \right)=2$ dan $f(2)=-3$$f(x):(3x^2-7x+2)$ maka sisanya = $px+q$
karena $3x^2-7x+2=(3x-1)(x-2)$ maka:
$\frac{\begin{align}f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{1}{3}p+q &= 2 \\ f(2)=2p+q &= -3 \end{align}}{\begin{align}-\frac{5}{3}p &= 5 \\ -5p &= 15 \\ p &= -3 \end{align}}-$
Substitusi $p=-3$ ke persamaan:
$\begin{align}2p+q &= -3 \\ 2(-3)+q &= -3 \\ q &= 3 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $-3x+3$
Jadi, $f(x)$ dibagi oleh $3x^2-7x+2$ sisanya adalah $-3x+3$.
Jawaban: B
Soal No. 25
Suku banyak $f(x)$ jika dibagi $(x-1)$ sisanya 4 dan dibagi $(x-2)$ sisanya 5. Jika $f(x)$ dibagi $(x^2-3x+2)$ sisanya adalah ….A. $3x-1$
B. $x-3$
C. $x+3$
D. $3x+1$
E. $-x+3$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x-1)$ maka sisa = $f(1)=4$$f(x):(x-2)$ maka sisa = $f(2)=5$
$f(x):(x^2-3x+2)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka:
$\frac{\begin{align}f(1)=p+q &= 4 \\ f(2)=2p+q &= 5 \end{align}}{\begin{align}-p &= -1 \\ p &= 1 \end{align}}-$
Substitusi $p=1$ ke persamaan:
$\begin{align}p+q &= 4 \\ 1+q &= 4 \\ q &= 3 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $x+3$
Jadi, $f(x)$ dibagi $(x^2-3x+2)$ sisanya adalah $x+3$.
Jawaban: C
Soal No. 26
Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)$ sisanya 24, sedangkan jika $f(x)$ dibagi dengan $(2x-3)$ sisanya 20. Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)(2x-3)$ sisanya adalah ….A. $8x+8$
B. $8x-8$
C. $-8x+8$
D. $-8x-8$
E. $-8x+6$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x-2)$ maka sisa = $f(2)=24$$f(x):(2x-3)$ maka sisa = $f\left( \frac{3}{2} \right)=20$
$f(x)$ dibagi $(x-2)(2x-3)$ maka sisa = $px+q$
$\frac{\begin{align}f(2)=2p+q &= 24 \\ f\left( \frac{3}{2} \right)=\frac{3}{2}p+q &= 20 \end{align}}{\begin{align}\frac{1}{2}p &= 4 \\ p &= 8 \end{align}}-$
Substitusi $p=8$ ke persamaan:
$\begin{align}2p+q &= 24 \\ 2.8+q &= 24 \\ q &= 8 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $8x+8$
Jadi, $f(x)$ dibagi dengan $(x-2)(2x-3)$ sisanya adalah $8x+8$.
Jawaban: A
Soal No. 27
Jika $f(x)=ax^3+3bx^2+(2a-b)x+4$ dibagi dengan $(x-1)$ sisanya 10, sedangkan jika dibagi dengan $(x+2)$ sisanya $-2$. Nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah ….A. $\frac{4}{3}$ dan 1
B. $\frac{3}{4}$ dan 1
C. 1 dan $\frac{4}{3}$
D. 1 dan $\frac{3}{4}$
E. $-\frac{4}{3}$ dan 1
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=ax^3+3bx^2+(2a-b)x+4$$f(x):(x-1)$ maka sisanya:
$\begin{align}f(1) &= 10 \\ a.1^3+3b.1^2+(2a-b).1+4 &= 10 \\ a.+3b+2a-b+4 &= 10 \\ 3a+2b &= 6\,....\,(1) \end{align}$
$f(x):(x+2)$ maka sisanya:
$\begin{align}f(-2) &= -2 \\ a(-2)^3+3b(-2)^2+(2a-b)(-2)+4 &= -2 \\ -8a+12b-4a+2b+4 &= -2 \\ -12a+14b &= -2 \\ -6a+7b &= -1\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $a$ dari persamaan (1) dan (2);
$\left. \begin{align}3a+2b &= 6 \\ -6a+7b &= -1 \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$\frac{\begin{align}6a+4b &= 12 \\ -6a+7b &= -1 \end{align}}{\begin{align}11b &= 11 \\ b &= 1 \end{align}}+$
Substitusi $b=1$ ke persamaan:
$\begin{align}3a+2b &= 6 \\ 3a+2.1 &= 6 \\ 3a &= 4 \\ a &= \frac{4}{3} \end{align}$
Jadi, $a=\frac{4}{3}$ dan $b=1$
Jawaban: A
Soal No. 28
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa 2 bila dibagi $(x+1)$, bersisa 3 bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $-3$ bila dibagi $(x+1)$ dan sisa 2 bila dibagi $(x-2)$. Jika $h(x)=f(x).g(x)$ maka sisa $h(x)$ dibagi $x^2-x-2$ adalah ….A. $3x-2$
B. $4x-2$
C. $3x+2$
D. $4x+2$
E. $5x-2$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x+1)$ maka sisa = $f(-1)=2$$f(x):(x-2)$ maka sisa = $f(2)=3$
$g(x):(x+1)$ maka sisa = $g(-1)=-3$
$g(x):(x-2)$ maka sisa = $g(2)=2$
$h(x):(x^2-x-2)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ dan $h(x)=f(x).g(x)$ maka:
$\begin{align}h(-1) &= -p+q \\ f(-1).g(-1) &= -p+q \\ 2.(-3) &= -p+q \\ -p+q &= -6\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}h(2) &= 2p+q \\ f(2).g(2) &= 2p+q \\ 3.2 &= 2p+q \\ 2p+q &= 6\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $q$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}-p+q &= -6 \\ 2p+q &= 6 \end{align}}{\begin{align}-3p &= -12 \\ p &= 4 \end{align}}-$
Substitusi $p=4$ ke persamaan:
$\begin{align}-p+q &= -6 \\ -4+q &= -6 \\ q &= -2 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $4x-2$
Jadi, $h(x)$ dibagi $x^2-x-2$ sisanya adalah $4x-2$.
Jawaban: B
Soal No. 29
Diketahui suku banyak $P(x)$ jika dibagi dengan $(x^2-2x)$ sisanya $2-3x$ dan jika dibagi $(x^2+x-2)$ sisanya $x+2$. Jika $P(x)$ dibagi dengan $(x^2-3x+2)$, maka sisanya adalah ….A. $x-10$
B. $-x+10$
C. $-7x-10$
D. $7x-10$
E. $-7x+10$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$P(x):(x^2-2x)$ sisanya = $2-3x$karena $x^2-2x=x(x-2)$ maka:
$P(0)=2-3.0=2$
$P(2)=2-3.2=-4$
$P(x):(x^2+x-2)$ sisanya = $x+2$
karena $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ maka:
$P(-2)=-2+2=0$
$P(1)=1+2=3$
$P(x):(x^2-3x+2)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka:
$\frac{\begin{align}P(1)=p+q &= 3 \\ P(2)=2p+q &= -4 \end{align}}{\begin{align}-p &= 7 \\ p &= -7 \end{align}}-$
Substitusi $p=-7$ ke persamaan:
$\begin{align}p+q &= 3 \\ -7+q &= 3 \\ q &= 10 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $-7x+10$
Jadi, $P(x):(x^2-3x+2)$ maka sisa = $-7x+10$.
Jawaban: E
Soal No. 30
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $(x^2+4x+3)$ bersisa $2x+17$ dan apabila dibagi $(x^2-4)$ bersisa $3x-5$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x^2+x-6)$ adalah ….A. $-3x+17$
B. $-2x+5$
C. $2x-5$
D. $3x-17$
E. $3x+17$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x^2+4x+3)$ sisa = $2x+17$karena $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ maka:
$f(-1)=2(-1)+17=15$
$f(-3)=2(-3)+17=11$
$f(x):(x^2-4)$ sisa = $3x-5$
karena $x^2-4=(x+2)(x-2)$ maka:
$f(-2)=3(-2)-5=-11$
$f(2)=3.2-5=1$
$f(x):(x^2+x-6)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ maka:
$\frac{\begin{align}f(-3)=-3p+q &= 11 \\ f(2)=2p+q &= 1 \end{align}}{\begin{align}-5p &= 10 \\ p &= -2 \end{align}}-$
Substitusi $p=-2$ ke persamaan:
$\begin{align}2p+q &= 1 \\ 2(-2)+q &= 1 \\ q &= 5 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $-2x+5$
Jadi, $f(x):(x^2+x-6)$ maka sisa = $-2x+5$.
Jawaban: B
Soal No. 31
Suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $x+1$ dan $2x+1$ berturut-turut memberikan sisa 2 dan $-2$, sedangkan suku banyak $g(x)$ dibagi $x+1$ dan $2x+1$ berturut-turut memberikan sisa 1 dan $-1$, maka suku banyak $m(x)=f(x)+g(x)$ dibagi oleh $2x^2+3x+1$ akan bersisa ….A. $-12x-9$
B. $-12x+9$
C. $12x-9$
D. $-2x-9$
E. $-9x-12$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x):(x+1)$ maka sisa = $f(-1)=2$$f(x):(2x+1)$ maka sisa = $f\left( -\frac{1}{2} \right)=-2$
$g(x):(x+1)$ maka sisa = $g(-1)=1$
$g(x):(2x+1)$ maka sisa = $g\left( -\frac{1}{2} \right)=-1$
$m(x)=f(x)+g(x)$ dibagi $2x^2+3x+1$ maka sisa = $px+q$
karena $2x^2+3x+1=(x+1)(2x+1)$ maka:
$\begin{align}m(-1) &= -p+q \\ f(-1)+g(-1) &= -p+q \\ 2+1 &= -p+q \\ -p+q &= 3\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}m\left( -\frac{1}{2} \right) &= -\frac{1}{2}p+q \\ f\left( -\frac{1}{2} \right)+g\left( -\frac{1}{2} \right) &= -\frac{1}{2}p+q \\ -2+(-1) &= -\frac{1}{2}p+q \\ -\frac{1}{2}p+q &= -3\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $q$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}-p+q &= 3 \\ -\frac{1}{2}p+q &= -3 \end{align}}{\begin{align}-\frac{1}{2}p &= 6 \\ p &= -12 \end{align}}-$
Substitusi $p=-12$ ke persamaan:
$\begin{align}-p+q &= 3 \\ -(-12)+q &= 3 \\ q &= -9 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $-12x-9$.
Jadi, $m(x)=f(x)+g(x)$ dibagi $2x^2+3x+1$ maka sisa = $-12x-9$
Jawaban: A
Soal No. 32
Diketahui suku banyak ${{(f(x))}^{3}}$ dibagi oleh $x^2-x-2$ bersisa $9x+1$ dan suku banyak $(x^2+2)f(x)$ dibagi oleh $(x+2)$ bersisa 6, maka sisa dari pembagian suku banyak $f(x)$ dengan $x^2+3x+2$ adalah ….A. $-2x-3$
B. $-3x-5$
C. $-2x+3$
D. $3x-5$
E. $-3x+5$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(f(x))^3:(x^2-x-2)$ bersisa $9x+1$karena $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ maka:
$\begin{align}(f(-1))^3 &= 9(-1)+1 \\ (f(-1))^3 &= -8 \\ (f(-1))^3 &= (-2)^3 \\ f(-1) &= -2 \end{align}$
$\begin{align}(f(2))^3 &= 9.2+1 \\ (f(2))^3 &= 19 \\ f(2) &= \sqrt[3]{19} \end{align}$
$(x^2+2)f(x)$ dibagi oleh $(x+2)$ bersisa 6 maka:
$\begin{align}((-2)^2+2)f(-2) &= 6 \\ 6f(-2) &= 6 \\ f(-2) &= 1 \end{align}$
$f(x):(x^2+3x+2)$ maka sisa = $px+q$
karena $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ maka:
$\frac{\begin{align}f(-1)=-p+q &= -2 \\ f(-2)=-2p+q &= 1 \end{align}}{p=-3}-$
Substitusi $p=-3$ ke persamaan:
$\begin{align}-p+q &= -2 \\ -(-3)+q &= -2 \\ q &= -5 \end{align}$
Sisa = $px+q$ = $-3x-5$
Jadi, $f(x):(x^2+3x+2)$ maka sisa = $-3x-5$.
Jawaban: B
Soal No. 33
Sisa pembagian $a(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2$ oleh $x^2-3x+2$ adalah $bx-1$. Nilai $5a+3b$ adalah ….A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8
Penyelesaian: Lihat/Tutup
Misal: $f(x)=a(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2$$f(x):(x^2-3x+2)$ bersisa $bx-1$
karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka:
$f(1)=b-1$ dan $f(2)=2b-1$
$f(x)=a(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2$
$\begin{align}f(1) &= b-1 \\ a(1-2)^{2014}+(1-1)^{2015}-(1-2)^2 &= b-1 \\ a(-1)^{2014}+0^{2015}-(-1)^2 &= b-1 \\ a-1 &= b-1 \\ a &= b \end{align}$
$\begin{align}f(2) &= 2b-1 \\ a(2-2)^{2014}+(2-1)^{2015}-(2-2)^2 &= 2b-1 \\ 1 &= 2b-1 \\ 2 &= 2b \\ b &= 1 \end{align}$
$a=b\to a=1$
Jadi, $5a+3b=5.1+3.1=8$
Jawaban: E
Teorema Faktor
Soal No. 34
Jika $x-2$ merupakan faktor dari $2x^3+x^2-8x+k$ maka salah satu faktor yang lain adalah ….A. $x+2$
B. $x-2$
C. $x+1$
D. $x-1$
E. $x+3$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x-2$ faktor dari $f(x)=2x^3+x^2-8x+k$ maka:$\begin{align}f(2) &= 0 \\ 2.2^3+2^2-8.2+k &= 0 \\ 16+4-16+k &= 0 \\ k &= -4 \end{align}$
$f(x)=2x^3+x^2-8x-4$ : ($x-2$)
$2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(2x+1)$ dan $(x+2)$.
Jawaban: A
Soal No. 35
Salah satu faktor dari $P(x)=x^3+ax^2-x+2$ adalah $x+1$. Salah satu faktor lainnya dari $P(x)$ adalah ….A. $x-2$
B. $x+2$
C. $x+3$
D. $x-3$
E. $x-4$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x+1$ faktor dari $P(x)=x^3+ax^2-x+2$ maka:$\begin{align}P(-1) &= 0 \\ (-1)^3+a(-1)^2-(-1)+2 &= 0 \\ -1+a+1+2 &= 0 \\ a &= -2 \end{align}$
$P(x)=x^3-2x^2-x+2$ : ($x+1$)
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(x-1)$ dan $(x-2)$.
Jawaban: A
Soal No. 36
Salah satu faktor dari $P(x)=x^3+kx+6$ adalah $x-2$. Salah satu faktor lainnya dari $P(x)$ adalah ….A. $x+1$
B. $x+2$
C. $x+3$
D. $x-3$
E. $x-4$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x-2$ faktor dari $P(x)=x^3+kx+6$ maka:$\begin{align}P(2) &= 0 \\ 2^3+k.2+6 &= 0 \\ 8+2k+6 &= 0 \\ 2k &= -14 \\ k &= -7 \end{align}$
$P(x)=x^3-7x+6$ : ($x-2$)
$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(x-1)$ dan $(x+3)$.
Jawaban: C
Soal No. 37
Bila $(2x-1)$ adalah faktor dari $f(x)=4x^3+px^2-x+3$, salah satu faktor linear yang lain adalah ….A. $x+1$
B. $x-1$
C. $x+3$
D. $x-3$
E. $-x-3$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(2x-1)$ faktor dari $f(x)=4x^3+px^2-x+3$ maka:$\begin{align}f\left( \frac{1}{2} \right) &= 0 \\ 4\left( \frac{1}{2} \right)^3+p\left( \frac{1}{2} \right)^2-\frac{1}{2}+3 &= 0 \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}p-\frac{1}{2}+3 &= 0 \\ \frac{1}{4}p &= -3 \\ p &= -12 \end{align}$
$f(x)=4x^3-12x^2-x+3$ : $(2x-1)$
$\begin{align}\frac{4x^2-10x-6}{2} &= 2x^2-5x-3 \\ &= (2x+1)(x-3) \end{align}$
Jadi, faktor lainnya adalah $2x+1$ dan $(x-3)$.
Jawaban: D
Soal No. 38
Salah satu faktor dari suku banyak $f(x)=2x^3+ax^2-11x+6$ yaitu $(x+2)$. Faktor linier yang lain adalah ….A. $2x+1$
B. $2x+3$
C. $x-3$
D. $x-2$
E. $x-1$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(x+2)$ faktor dari $f(x)=2x^3+ax^2-11x+6$ maka:$\begin{align}f(-2) &= 0 \\ 2(-2)^3+a(-2)^2-11(-2)+6 &= 0 \\ -16+4a+22+6 &= 0 \\ 4a &= -12 \\ a &= -3 \end{align}$
$f(x)=2x^3-3x^2-11x+6$ : $(x+2)$
$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(2x-1)$ dan $(x-3)$.
Jawaban: C
Soal No. 39
Salah satu faktor dari suku banyak $P(x)=x^4-15x^2-10x+n$ adalah $(x+2)$. Faktor lainnya adalah ….A. $x-4$
B. $x+4$
C. $x+6$
D. $x-6$
E. $x-8$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(x+2)$ faktor dari $P(x)=x^4-15x^2-10x+n$ maka:$\begin{align}P(-2) &= 0 \\ (-2)^4-15(-2)^2-10(-2)+n &= 0 \\ 16-60+20+n &= 0 \\ n &= 24 \end{align}$
$P(x)=x^4-15x^2-10x+24$ : $(x+2)$
$x^3-2x^2-11x+12$ dapat difaktorkan dengan trial and error.
Faktor dari 12: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$.
Kita coba substitusi nilai-nilai ini dalam persamaan untuk menemukan faktor yang mungkin.
Untuk $x=1$ maka:
$1^3-2.1^2-11.1+12=1-2-11+12=0$
Jadi, $x-1$ adalah salah satu faktor dari $x^3-2x^2-11x+12$.
Selanjutnya dengan metode horner kita bagikan $x^3-2x^2-11x+12$ dengan $(x-1)$.
$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(x-1)$, $(x-4)$ dan $(x+3)$.
Jawaban: A
Soal No. 40
Suku banyak $x^3+2x^2-5x-6$ mempunyai faktor $x+1$ maka faktor lainnya adalah ….A. $(x-2)$ dan $(x+3)$
B. $(x-2)$ dan $(x+2)$
C. $(x-1)$ dan $(x+2)$
D. $(x-1)$ dan $(x-3)$
E. $(x+2)$ dan $(x-1)$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$ : $(x+1)$
$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(x-2)$ dan $(x+3)$.
Jawaban: A
Soal No. 41
Salah satu faktor linear suku banyak $f(x)=2x^3+px^2-17x+10$ adalah $(x+2)$. Salah satu faktor linear yang lainnya adalah ….A. $x+5$
B. $x-5$
C. $x-2$
D. $2x+1$
E. $2x-3$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(x+2)$ faktor dari $f(x)=2x^3+px^2-17x+10$ maka:$\begin{align}f(-2) &= 0 \\ 2(-2)^3+p(-2)^2-17(-2)+10 &= 0 \\ -16+4p+34+10 &= 0 \\ 4p &= -28 \\ p &= -7 \end{align}$
$f(x)=2x^3-7x^2-17x+10$ : $(x+2)$
$2x^2-11x+5=(2x-1)(x-5)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(2x-1)$ dan $(x-5)$.
Jawaban: B
Soal No. 42
Salah satu faktor dari $2x^3-5x^2-px+3$ adalah $(x+1)$. Faktor lain dari suku banyak tersebut adalah ….A. $(x-2)$ dan $(x-3)$
B. $(x+2)$ dan $(2x-1)$
C. $(x+3)$ dan $(x+2)$
D. $(2x+1)$ dan $(x-2)$
E. $(2x-1)$ dan $(x-3)$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(x+1)$ faktor dari $f(x)=2x^3-5x^2-px+3$ maka:$\begin{align}f(-1) &= 0 \\ 2(-1)^3-5(-1)^2-p(-1)+3 &= 0 \\ -2-5+p+3 &= 0 \\ p &= 4 \end{align}$
$f(x)=2x^3-5x^2-4x+3$ : $(x+2)$
$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$
Jadi, faktor lainnya adalah $(2x-1)$ dan $(x-3)$.
Jawaban: E
Soal No. 43
Jika $(2x+1)$ adalah faktor dari $2x^5-3x^4+7x^2-x+p$, maka nilai dari $p^2+p$ sama dengan ….A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
E. $-2$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(2x+1)$ faktor dari $f(x)=2x^5-3x^4+7x^2-x+p$ maka:$f\left( -\frac{1}{2} \right)=0$
$2\left( -\frac{1}{2} \right)^5-3\left( -\frac{1}{2} \right)^4+7\left( -\frac{1}{2} \right)^2-\left( -\frac{1}{2} \right)+p=0$
$-\frac{1}{16}-\frac{3}{16}+\frac{7}{4}+\frac{1}{2}+p=0$ kali 16 kedua ruas
$-1-3+28+8+16p=0$
$16p=-32$
$p=-2$
Jadi, $p^2+p=(-2)^2+(-2)=2$
Jawaban: C
Semoga postingan: Soal dan Pembahasan - Polinomial 4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan - Polinomial 4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.