Soal dan Pembahasan - Polinomial 5. Akar-akar Persamaan Polinomial

Pada postingan ini Catatan Matematika berbagi Kumpulan Soal dan Pembahasan Mengenai Akar-akar Persamaan Polinomial.

Soal No. 1

Diketahui $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor suku banyak $P(x)=x^3+ax^2-13x+b$. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ untuk $x_1>x_2>x_3$, maka nilai $x_1-x_2-x_3$ = ….
A. 8
B. 6
C. 3
D. 2
E. $-4$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor $P(x)=x^3+ax^2-13x+b$ maka:
$\begin{align}P(2) &= 0 \\ 2^3+a2.2^2-13.2+b &= 0 \\ 8+4a-26+b &= 0 \\ 4a+b &= 18\,....\,(1) \end{align}$
$\begin{align}P(1) &= 0 \\ 1^3+a.1^2-13.1+b &= 0 \\ 1+a-13+b &= 0 \\ a+b &= 12\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $b$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}4a+b &= 18 \\ a+b &= 12 \end{align}}{\begin{align}3a &= 6 \\ a &= 2 \end{align}}-$
Substitusi $a=2$ ke persamaan (2):
$\begin{align}a+b &= 12 \\ 2+b &= 12 \\ b &= 10 \end{align}$
$\begin{align}x^3+ax^2-13x+b &= 0 \\ x^3+2x^2-13x+10 &= 0 \\ (x-2)(x-1)(x+5) &= 0 \end{align}$
Akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah:
$x-2=0\to x=2$
$x-1=0\Rightarrow x=1$
$x+5=0\to x=-5$
karena $x_1>x_2>x_3$ maka $x_1=2$, $x_2=1$ dan $x_3=-5$.
Jadi, $x_1-x_2-x_3=2-1-(-5)=6$.
Jawaban: B

---

Soal No. 2

Banyaknya akar-akar real bulat dari persamaan $x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$ adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$
Koefisien variabel pangkat tertinggi: 1
Faktor dari 1 adalah: $\pm 1$
Konstanta: 6
Faktor dari 6 adalah: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$
Akar yang mungkin:

Jadi, akar yang mungkin adalah:
$\pm \frac{1}{1}$, $\pm \frac{2}{1}$, $\pm \frac{3}{1}$, $\pm \frac{6}{1}$
$\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$
Substitusi akar-akar yang mungkin ke persamaan $x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$.
Untuk $x=1$
$\begin{align}1^4-3.1^3-3.1^2+7.1+6 &= 0 \\ 8 &= 0\,(salah) \end{align}$
Untuk $x=-1$
$(-1)^4-3(-1)^3-3(-1)^2$ + $7(-1)$ + 6 = 0
1 + 3 – 3 – 7 + 6 = 0
0 = 0 (benar)
Jadi, $(x+1)$ adalah salah satu faktor dari $x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$.
Untuk $x=2$
$\begin{align}2^4-3.2^3-3.2^2+7.2+6 &= 0 \\ 16-24-12+14+6 &= 0 \\ 0 &= 0\,(benar) \end{align}$
Jadi, $(x-2)$ adalah salah satu faktor dari $x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$
Gunakan skema horner: $x^4-3x^3-3x^2+7x+6$ dibagi $(x+1)(x-2)$.

$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
Jadi,
$\begin{align}x^4-3x^3-3x^2+7x+6 &= 0 \\ (x+1)(x-2)(x+1)(x-3) &= 0 \end{align}$
$x+1=0\to x_1=-1$
$x-2=0\to x_2=2$
$x-3=0\to x_3=3$
Jadi, akar-akar real bulat dari persamaan $x^4-3x^3-3x^2+7x+6=0$ ada sebanyak 3.
Jawaban: B

---

Soal No. 3

Hasil kali akar-akar riil dari $(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=0$ adalah ….
A. $-\frac{1}{900}$
B. $-\frac{1}{15}$
C. 0
D. $\frac{1}{15}$
E. $\frac{1}{900}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$2x+1=0\to x=-\frac{1}{2}$
$3x+1=0\to x=-\frac{1}{3}$
$5x+1=0\to x=-\frac{1}{5}$
$30x+1=0\to x=-\frac{1}{30}$
Hasil kali akar-akar riil adalah:
$-\frac{1}{2}.\left( -\frac{1}{3} \right).\left( -\frac{1}{5} \right).\left( -\frac{1}{30} \right)$ = $\frac{1}{900}$
Jawaban: E

---

Soal No. 4

Salah satu akar real persamaan $x^3+cx^2-2=0$ adalah $x=1$. Akar-akar real lainnya adalah ….
A. 0 dan $-2$
B. 0 dan 1
C. $-1$ dan 1
D. 1 saja
E. Tidak ada

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Substitusi $x=1$ ke persamaan:
$\begin{align}x^3+cx^2-2 &= 0 \\ 1^3+c.1^2-2 &= 0 \\ c &= 1 \end{align}$
$x^3+cx^2-2=0$ menjadi $x^3+x^2-2=0$
Gunakan skema horner, dimana $(x^3+x^2-2)$ dibagi $(x-1)$.

Cek diskriminan dari $x^2+x+2$,
$\begin{align}D &= b^2-4ac \\ &= 2^2-4.1.2 \\ D &= -4 \end{align}$
$D < 0$, maka akar-akar imaginer.
Jadi, tidak ada akar real lainnya.
Jawaban: E

---

Soal No. 5

Jika $x=2$ merupakan akar dari $2x^4+5x^3-ax^2-20x+12=0$ maka himpunan penyelesaian dari akar yang lain adalah ….
A. $\left( -\frac{1}{2},2,3 \right)$
B. $\left( -3,-2,-\frac{1}{2} \right)$
C. $\left( -2,-\frac{1}{2},3 \right)$
D. $\left( -3,-2,\frac{1}{2} \right)$
E. $\left( -2,\frac{1}{2},3 \right)$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Substitusi $x=2$ ke persamaan $2x^4+5x^3-ax^2-20x+12=0$ maka:
$\begin{align}2.2^4+5.2^3-a2.2^2-20.2+12 &= 0 \\ 32+40-4a-40+12 &= 0 \\ -4a &= -44 \\ a &= 11 \end{align}$
diperoleh $2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0$
Koefisien variabel pangkat tertinggi: 2
Faktor dari 2 adalah: $\pm 1$, $\pm 2$
Konstanta: 12
Faktor dari 12 adalah: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$
Akar yang mungkin:

Jadi, akar yang mungkin adalah:
$\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm \frac{3}{2}$
Substitusi akar-akar yang mungkin ke persamaan $2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0$.
Untuk $x=-3$ maka:
$2(-3)^4$ + $5(-3)^3-11(-3)^2-20(-3)$ + 12 = 0
162 – 135 – 99 + 60 + 12 = 0
0 = 0 (benar)
Jadi, $(x-2)$ dan $(x+3)$ adalah faktor-faktor dari $2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0$.
Selanjutnya gunakan skema horner untuk $2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0$ dibagi $(x-2)(x+3)$.

$2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$
Jadi,
$2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0$
$(x-2)(x+3)(x+2)(2x-1)=0$
$x-2=0\to x=2$
$x+3=0\to x=-3$
$x+2=0\to x=-2$
$2x-1=0\to x=\frac{1}{2}$
Jadi, himpunan penyelesaian selain $x=2$ adalah $\left( -3,-2,\frac{1}{2} \right)$.
Jawaban: D

---

Soal No. 6

Dua akar dari $2x^3-11x^2+px+q=0$ adalah 2 dan 3. Jika akar ketiga adalah $r$ maka nilai $p+q+r$ = ….
A. 8,5
B. 10
C. 11
D. 11,5
E. 17,5

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Substitusi $x_1=2$ ke $2x^3-11x^2+px+q=0$ maka:
$\begin{align}2.2^3-11.2^2+p.2+q &= 0 \\ 16-44+2p+q &= 0 \\ 2p+q &= 28\,....\,(1) \end{align}$
Substitusi $x_2=3$ ke $2x^3-11x^2+px+q=0$ maka:
$\begin{align}2.3^3-11.3^2+p.3+q &= 0 \\ 54-99+3p+q &= 0 \\ 3p+q &= 45\,....\,(2) \end{align}$
Eliminasi $q$ dari persamaan (2) dan (1):
$\frac{\begin{align}3p+q &= 45 \\ 2p+q &= 28 \end{align}}{p=17}-$
Substitusi $p=17$ ke persamaan (1);
$\begin{align}2p+q &= 28 \\ 2.17+q &= 28 \\ q &= -6 \end{align}$
Jadi, persamaan polinomialnya adalah $2x^3-11x^2+17x-6=0$. Untuk mencari akar lainnya gunakan skema horner dengan $2x^3-11x^2+17x-6$ dibagi $(x-2)(x-3)$.

$\begin{align}2x-1 &= 0 \\ x_3 &= \frac{1}{2} \\ r &= \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, $p+q+r=17+(-6)+\frac{1}{2}$ = 11,5.
Jawaban: D

---

Soal No. 7

Akar-akar rasional dari $2x^3-3x^2-2x+3=0$ adalah ….
A. 1, $-1$ dan $\frac{2}{3}$
B. 1, $-1$ dan $\frac{3}{2}$
C. 1, 2 dan $\frac{1}{3}$
D. 1, $-2$ dan $\frac{2}{3}$
E. $-1$ , 2 dan $\frac{2}{3}$

Penyelesaian: Lihat/Tutup

$2x^3-3x^2-2x+3=0$
Koefisien variabel pangkat tertinggi: 2
Faktor dari 2 adalah: $\pm 1$, $\pm 2$
Konstanta: 3
Faktor dari 3 adalah: $\pm 1$, $\pm 3$
Akar yang mungkin:

Jadi, akar yang mungkin adalah:
$\pm 1$, $\pm \frac{1}{2}$, $\pm 3$, $\pm \frac{3}{2}$
Substitusi akar-akar yang mungkin ke persamaan $2x^3-3x^2-2x+3=0$.
Untuk $x=1$
$\begin{align}2x^3-3x^2-2x+3 &= 0 \\ 2.1^3-3.1^2-2.1+3 &= 0 \\ 2-3-2+3 &= 0 \\ 0 &= 0\,(benar) \end{align}$
diperoleh $x=1$ adalah salah satu akarnya.
Gunakan skema horner, dimana $2x^3-3x^2-2x+3$ dibagi $(x-1)$.

$\begin{align}2x^2-x-3 &= 0 \\ (2x-3)(x+1) &= 0 \end{align}$
$2x-3=0\to x=\frac{3}{2}$
$x+1=0\to x=-1$
Jadi, akar-akar rasional dari $2x^3-3x^2-2x+3=0$ adalah 1, $-1$ dan $\frac{3}{2}$.
Jawaban: B

---

Soal No. 8

Akar-akar persamaan $x^3-(a+1)x^2-(3b+1)x+10$ adalah 1 dan $-2$. Nilai $a+2b$ adalah ….
A. 9
B. 7
C. 5
D. 3
E. 1

Penyelesaian: Lihat/Tutup

Substitusi $x=1$ ke persamaan:
$x^3-(a+1)x^2-(3b+1)x+10=0$
$1^3-(a+1).1^2-(3b+1).1+10=0$
$1-a-1-3b-1+10=0$
$-a-3b=-9$
$a+3b=9\,....\,(1)$
Substitusi $x=-2$ ke persamaan:
$x^3-(a+1)x^2-(3b+1)x+10=0$
$(-2)^3-(a+1)(-2)^2-(3b+1)(-2)$ + 10 = 0
$-8-4a-4+6b+2+10=0$
$-4a+6b=0$
$-2a+3b=0\,....\,(2)$
Eliminasi $b$ dari persamaan (1) dan (2):
$\frac{\begin{align}a+3b &= 9 \\ -2a+3b &= 0 \end{align}}{\begin{align}3a &= 9 \\ a &= 3 \end{align}}-$
Substitusi $a=3$ ke persamaan (1):
$\begin{align}a+3b &= 9 \\ 3+3b &= 9 \\ 3b &= 6 \\ b &= 2 \end{align}$
Nilai $a+2b=3+2.2=7$
Jawaban: B

---

Semoga postingan: Soal dan Pembahasan - Polinomial 5. Akar-akar Persamaan Polinomial ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.

Share :