Soal dan Pembahasan - Polinomial 6. Teorema Vieta
Soal No. 1
$p$, $q$, dan $r$ adalah akar-akar dari suku banyak $2x^3+3x^2+4x+2=0$ maka nilai dari $p^3+q^3+r^3$ adalah ….A. $-6$
B. $-\frac{27}{8}$
C. $-\frac{21}{8}$
D. $\frac{21}{8}$
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$2x^3+3x^2+4x+2=0$ akar-akarnya $p$, $q$, dan $r$ maka:$a=2$, $b=3$, $c=4$ dan $d=2$
$p+q+r=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$
$pq+pr+qr=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$
$pqr=-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1$
$p^3+q^3+r^3$ = $(p+q+r)$$\left( (p+q+r)^2-3(pq+pr+qr) \right)$ + $3pqr$
$p^3+q^3+r^3$ = $\left( -\frac{3}{2} \right)$$\left( \left( -\frac{3}{2} \right)^2-3.2 \right)$ + $3(-1)$
$p^3+q^3+r^3$ = $-\frac{3}{2}\left( \frac{9}{4}-6 \right)-3$
$p^3+q^3+r^3$ = $-\frac{3}{2}\left( -\frac{15}{4} \right)-3$
$p^3+q^3+r^3$ = $\frac{45}{8}-3$
$p^3+q^3+r^3$ = $\frac{21}{8}$
Jawaban: D
Soal No. 2
Diketahui persamaan $x^2-px+10=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$. Jika nilai $x_1+x_2=7$ maka nilai $2p$ adalah ….A. $-14$
B. $-7$
C. 7
D. 10
E. 14
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^2-px+10=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ maka:$\begin{align}x_1+x_2 &= -\frac{b}{a} \\ 7 &= -\frac{-p}{1} \\ 7 &= p \end{align}$
Jadi, $2p=2\times 7=14$.
Jawaban: E
Soal No. 3
Jika persamaan $2x^3+ax^2-18x+8=0$ memiliki dua akar yang saling berkebalikan, maka nilai $2a$ adalah ….A. $-6$
B. $-4$
C. 2
D. 4
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$2x^3+ax^2-18x+8=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.$A=2$, $B=a$, $C=-18$ dan $D=8$
Memiliki dua akar yang saling berkebalikan, misalkan $x_1=\frac{1}{x_2}$, maka $x_1x_2=1$.
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{D}{A} \\ 1.x_3 &= -\frac{8}{2} \\ x_3 &= -4 \end{align}$
Substitusi $x=-4$ ke persamaan:
$\begin{align}2x^3+ax^2-18x+8 &= 0 \\ 2(-4)^3+a(-4)^2-18(-4)+8 &= 0 \\ -128+16a+72+8 &= 0 \\ 16a &= 48 \\ a &= 3 \end{align}$
Jadi, $2a=2.3=6$
Jawaban: E
Soal No. 4
Jika akar-akar persamaan $x^4-8x^3+px^2-qx+r=0$ membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka $p+q+r$ adalah ….A. $-12$
B. $-10$
C. $-9$
D. $-8$
E. $-6$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^4-8x^3+px^2-qx+r=0$$a=1$, $b=-8$, $c=p$, $d=-q$ dan $e=r$
akar-akarnya $x_1$, $x_2$, $x_3$ dan $x_4$ membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka akar-akarnya:
$x_1$, $x_1+2$, $x_1+4$, $x_1+6$
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1+x_2+x_3+x_4 &= -\frac{b}{a} \\ x_1+x_1+2+x_1+4+x_1+6 &= -\frac{-8}{1} \\ 4x_1+12 &= 8 \\ 4x_1 &= -4 \\ x_1 &= -1 \end{align}$
$\begin{align}x_1+x_2+x_3+x_4 &= -\frac{b}{a} \\ x_1+x_1+2+x_1+4+x_1+6 &= -\frac{-8}{1} \\ 4x_1+12 &= 8 \\ 4x_1 &= -4 \\ x_1 &= -1 \end{align}$
$x_2=x_1+2=-1+2=1$
$x_3=x_1+4=-1+4=3$
$x_4=x_1+6=-1+6=5$
$x_1x_2$ + $x_1x_3$ + $x_1x_4$ + $x_2x_3$ + $x_2x_4$ + $x_3x_4$ = $\frac{c}{a}$
$(-1)1+(-1)3+(-1)5+1.3+1.5+3.5$ = $\frac{p}{1}$
$-1-3-5+3+5+15=p$
$p=14$
$x_1x_2x_3$ + $x_1x_2x_4$ + $x_1x_3x_4$ + $x_2x_3x_4$ = $-\frac{d}{a}$
$(-1).1.3+(-1).1.5+(-1).3.5+1.3.5$ = $-\frac{-q}{1}$
$-3-5-15+15$ = $q$
$q=-8$
$\begin{align}x_1x_2x_3x_4 &= \frac{e}{a} \\ (-1).1.3.5 &= \frac{r}{1} \\ -15 &= r \end{align}$
Jadi, $p+q+r=14+(-8)+(-15)=-9$
Jawaban: C
Soal No. 5
Kedua akar suku banyak $P(x)=x^2-63x+c$ merupakan bilangan prima. Banyak bilangan $c$ yang mungkin adalah ….A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. Lebih dari 3
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^2-63x+c=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$.Teorema vieta:
$\begin{align}x_1+x_2 &= -\frac{b}{a} \\ x_1+x_2 &= -\frac{-63}{1} \\ x_1+x_2 &= 63 \end{align}$
Diketahui $x_1$, $x_2$ bilangan prima dan 63 bilangan ganjil, maka kedua akar itu bilangan ganjil dan bilangan genap. Bilangan prima genap = 2.
Jika $x_1=2$ maka:
$\begin{align}x_1+x_2 &= 63 \\ 2+x_2 &= 63 \\ x_2 &= 61 \end{align}$
61 adalah bilangan prima.
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2 &= \frac{c}{a} \\ 2.61 &= c \\ 122 &= c \end{align}$
Jadi, nilai $c$ yang memenuhi hanya ada 1.
Jawaban: B
Soal No. 6
Akar-akar persamaan $x^3-7x^2+px+q=0$ membentuk deret geometri dengan rasio 2, nilai $2(p+q)$ adalah ….A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
E. 14
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3-7x^2+px+q=0$$a=1$, $b=-7$, $c=p$ dan $d=q$
Misalkan, akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Akibatnya akar-akarnya menjadi:
$x_1$, $2x_1$ dan $4x_1$.
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a} \\ x_1+2x_1+4x_1 &= -\frac{-7}{1} \\ 7x_1 &= 7 \\ x_1 &= 1 \end{align}$
$x_2=2x_1=2.1=2$
$x_3=4x_1=4.1=4$
$\begin{align}x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &= \frac{c}{a} \\ 1.2+1.4+2.4 &= \frac{p}{1} \\ 2+4+8 &= p \\ 14 &= p \end{align}$
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ 1.2.4 &= -\frac{q}{1} \\ 8 &= -q \\ -8 &= q \end{align}$
Nilai $2(p+q)=2(14+(-8))=12$
Jawaban: D
Soal No. 7
Akar-akar persamaan $x^3-6x^2+mx-8=0$ adalah $x_1$, $x_2$, $x_3$ dan jika $x_1x_2=2$ maka nilai $m$ adalah ….A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3-6x^2+mx-8=0$$a=1$, $b=-6$, $c=m$ dan $d=-8$
$x_1x_2=2$
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ 2x_3 &= -\frac{-8}{1} \\ x_3 &= 4 \end{align}$
Substitusi $x=4$ ke persamaan:
$\begin{align}x^3-6x^2+mx-8 &= 0 \\ 4^3-6.4^2+m.4-8 &= 0 \\ 64-96+4m-8 &= 0 \\ 4m &= 40 \\ m &= 10 \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 8
Jika $-2$ adalah salah satu akar dari persamaan $x^3+2x^2-qx+4=0$ maka hasil kali akar-akar yang lainnya adalah ….A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3+2x^2-qx+4=0$, akar-akarnya $x_1=-2$, $x_2$ dan $x_3$.$a=1$, $b=2$, $c=-q$ dan $d=4$
hasil kali akar-akar yang lainnya = $x_2x_3$= …?
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ -2.x_2x_3 &= -\frac{4}{1} \\ x_2x_3 &= 2 \end{align}$
Jawaban: E
Soal No. 9
Jumlah kuadrat semua akar-akar $x^3-6x^2-12x+7=0$ adalah ….A. 6
B. 19
C. 60
D. 42
E. 30
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3-6x^2-12x+7=0$$a=1$, $b=-6$, $c=-12$ dan $d=7$
Misal, akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$
Jumlah kuadrat semua akar-akar adalah:
$x_1^2+x_2^2+x_3^2$ = $(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2$ = $\left( -\frac{b}{a} \right)^2-2.\frac{c}{a}$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2$ = $\left( -\frac{-6}{1} \right)^2-2.\frac{-12}{1}$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2$ = 60
Jawaban: C
Soal No. 10
Persamaan $x^3+3x^2-16x+k=0$ mempunyai sepasang akar yang berlawanan. Nilai $k$ = ….A. $-52$
B. $-48$
C. 42
D. 48
E. 52
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3+3x^2-16x+k=0$$a=1$, $b=3$, $c=-16$ dan $d=k$
Misalkan akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, sepasang akar yang berlawanan $x_1=-x_2\Leftrightarrow x_1+x_2=0$.
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a} \\ 0+x_3 &= -\frac{3}{1} \\ x_3 &= -3 \end{align}$
Substitusi $x=-3$ ke persamaan:
$\begin{align}x^3+3x^2-16x+k &= 0 \\ (-3)^3+3(-3)^2-16(-3)+k &= 0 \\ -27+27+48+k &= 0 \\ k &= -48 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 11
Jika salah satu akar persamaan $x^3+2x^2-px-6=0$ adalah 2, maka jumlah dua akar lainnya adalah ….A. $-4$
B. $-2$
C. 1
D. 2
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3+2x^2-px-6=0$, akar-akarnya $x_1$, $x_2$ dan $x_3$$a=1$, $b=2$, $c=-p$ dan $d=-6$
Salah satu akarnya $x_1=2$ maka jumlah akar lainnya = $x_2+x_3$?
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a} \\ 2+x_2+x_3 &= -\frac{2}{1} \\ x_2+x_3 &= -4 \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 12
Diketahui suku banyak $p(x)=2x^3-4x^2-px-4$, jika persamaan suku banyak tersebut mempunyai sepasang akar yang berkebalikan, nilai $p$ yang memenuhi adalah ….A. $-2$
B. $-1$
C. 2
D. 4
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$p(x)=2x^3-4x^2-px-4$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, sepasang akar berkebalikan maka $x_1=\frac{1}{x_2}\to x_1.x_2=1$Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ 1.x_3 &= -\frac{-4}{2} \\ x_3 &= 2 \end{align}$
Substitusi ke persamaan $2x^3-4x^2-px-4=0$ maka:
$\begin{align}2.2^3-4.2^2-p.2-4 &= 0 \\ 16-16-4p-4 &= 0 \\ -4p &= 4 \\ p &= -1 \end{align}$
Jawaban: B
Soal No. 13
Diketahui $6x^3+px^2-3x+2=0$ memiliki akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$, jika $x_2=2$ maka jumlah ketiga akar tersebut adalah ….A. $\frac{10}{6}$
B. $\frac{11}{6}$
C. $\frac{12}{6}$
D. $\frac{13}{6}$
E. $\frac{14}{6}$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x=2$ maka:$\begin{align}6x^3+px^2-3x+2 &= 0 \\ 6.2^3+p.2^2-3.2+2 &= 0 \\ 48+4p-6+2 &= 0 \\ 4p &= -44 \\ p &= -11 \end{align}$
maka persamaannya menjadi:
$6x^3-11x^2-3x+2=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.
$a=6$, $b=-11$, $c=-3$ dan $d=2$
Teorema vieta:
Jumlah ketiga akar adalah:
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{6}=\frac{11}{6}$
Jawaban: B
Soal No. 14
Persamaan $2x^3+3x^2+px+8=0$ mempunyai sepasang akar yang berkebalikan. Nilai $p$ = ….A. $-18$
B. $-16$
C. $-10$
D. $-8$
E. $-3$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$2x^3+3x^2+px+8=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.$a=2$, $b=3$, $c=p$ dan $d=8$
Sepasang akar berkebalikan maka $x_1=\frac{1}{x_2}\to x_1x_2=1$.
Teorema vieta:
$\begin{align}x_1x_2x_3 &= -\frac{d}{a} \\ 1.x_3 &= -\frac{8}{2} \\ x_3 &= -4 \end{align}$
Substitusi $x=-4$ ke persamaan:
$\begin{align}2x^3+3x^2+px+8 &= 0 \\ 2(-4)^3+3(-4)^2+p(-4)+8 &= 0 \\ -128+48-4p+8 &= 0 \\ -4p &= 72 \\ p &= -18 \end{align}$
Jawaban: A
Soal No. 15
Persamaan $2x^3+px^2+7x+6=0$ mempunyai akar $x=-2$. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ….A. $-3$
B. $-1$
C. 1
D. 3
E. 6
Penyelesaian: Lihat/Tutup
Substitusi $x=-2$ ke persamaan:$\begin{align}2x^3+px^2+7x+6 &= 0 \\ 2(-2)^3+p(-2)^2+7(-2)+6 &= 0 \\ -16+4p-14+6 &= 0 \\ 4p &= 24 \\ p &= 6 \end{align}$
maka persamaannya menjadi:
$2x^3+6x^2+7x+6=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.
Teorema vieta:
Jumlah ketiga akar adalah:
$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}=\frac{-6}{2}=-3$
Jawaban: A
Soal No. 16
Diketahui akar-akar $2x^3+2x^2-16x-24=0$ adalah $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Nilai $x_1+x_2+x_3$ = ….A. $-12$
B. $-8$
C. $-1$
D. 1
E. 2
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$2x^3+2x^2-16x-24=0$$a=2$, $b=2$, $c=-16$ dan $d=-24$
Teorema vieta:
$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1$
Jawaban: C
Soal No. 17
Jika $x_1$, $x_2$ dan $x_3$ adalah akar-akar persamaan $6x^3-24x^2-66x+180=0$ maka nilai $x_1.x_2.x_3$ = ….A. $-30$
B. $-11$
C. 4
D. 11
E. 30
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$6x^3-24x^2-66x+180=0$, akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.$a=6$, $b=-24$, $c=-66$ dan $d=180$.
Teorema vieta:
$x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}=-\frac{180}{6}=-30$
Jawaban: A
Soal No. 18
Akar-akar persamaan $2x^4-px^3+42x^2+2x-60=0$ adalah $x_1$, $x_2$, $x_3$ dan $x_4$. Jika $x_1=-1$ maka hasil dari $x_1x_2x_3$+$x_1x_2x_4$+$x_2x_3x_4$+$x_3x_4x_1$ = ….A. 36
B. 21
C. 9
D. 1
E. $-1$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
Substitusi $x_1=-1$ ke persamaan:$2(-1)^4-p(-1)^3$ + $42(-1)^2+2(-1)-60$ = 0
$2+p+42-2-60=0$
$p=18$
maka persamaannya menjadi:
$2x^4-18x^3+42x^2+2x-60=0$
$a=2$, $b=-18$, $c=42$, $d=2$ dan $e=-60$
$x_1x_2x_3$ + $x_1x_2x_4$ + $x_2x_3x_4$ + $x_3x_4x_1$ = $-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1$
Jawaban: E
Soal No. 19
Hasil kali akar-akar riil dari $(2x+1)(3x+1)(4x+1)(5x+1)=2$ adalah ….A. $-\frac{1}{120}$
B. $-\frac{1}{24}$
C. 0
D. $\frac{1}{24}$
E. $\frac{1}{120}$
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$(2x+1)(3x+1)(4x+1)(5x+1)=2$$(6x^2+5x+1)(20x^2+9x+1)=2$
$120x^4+54x^3+6x^2$+$100x^3+45x^2+5x$ + $20x^2+9x+1$ = 2
$120x^4+154x^3+71x^2+14x-1=0$
$a=120$, $b=154$, $c=71$, $d=14$, $e=-1$.
Dengan teorema vieta:
Hasil kali akar-akarnya adalah:
$x_1x_2x_3x_4=\frac{(-1)^4.e}{a}=\frac{-1}{120}$
Jawaban: A
Soal No. 20
Diketahui akar-akar polinomial $x^3+5x^2-(m+8)x-16$ adalah $p$, $q$, dan $r$. Jika jumlah hasil kali setiap dua akar bernilai $-6$, maka nilai $m$ adalah …A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 1
E. 2
Penyelesaian: Lihat/Tutup
$x^3+5x^2-(m+8)x-16=0$$a=1$, $b=5$, $c=-m-8$ dan $d=-16$
Teorema vieta:
Jumlah hasil kali setiap dua akar = $-6$.
$\begin{align}x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &= -6 \\ \frac{c}{a} &= -6 \\ \frac{-m-8}{1} &= -6 \\ -m &= 2 \\ m &= -2 \end{align}$
Jawaban: A
Semoga postingan: Soal dan Pembahasan - Polinomial 6. Teorema Vieta ini bisa bermanfaat. Mohon keikhlasan hatinya, membagikan postingan ini di media sosial bapak/ibu guru dan adik-adik sekalian. Terima kasih.
Post a Comment for "Soal dan Pembahasan - Polinomial 6. Teorema Vieta"
Pertanyaan melalui kolom komentar akan direspon secepatnya. Jika tidak direspon, berarti pertanyaan serupa telah ada.